2017届高三数学复习分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件理.pptx

第十一篇 计数原理、概率、随机 变量及其分布(必修3、选修23),六年新课标全国卷试题分析,第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,知识链条完善,考点专项突破,易混易错辨析,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.分类加法计数原理中,各类中方法都能独立完成一件事吗? 提示:都能. 2.计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理? 提示:如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事,用分类加法计数原理;如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分,用分步乘法计数原理.,知识梳理,分类加法计数原理与分步乘法计数原理,夯基自测,1.乘积(a1+a2)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4)(d1+d2+d3+d4)的展开式中共有不同的项的个数为( ) (A)16 (B)24 (C)48 (D)96 解析:2344=96.,D,2.如图,一条电路由A到B接通时,有不同的线路的种数为( ) (A)3 (B)7 (C)8 (D)12,解析:3+1+22=8.,C,3.4名学生参加三个体育运动项目的比赛,每名学生可以参加任何一项比赛,每个项目产生一名冠军,则各项冠军获得者的不同情况种数为( ) (A)81 (B)64 (C)32 (D)27 解析:第一个项目的冠军获得情况有4种,同理第二、三个项目的冠军获得情况各有4种,故各项冠军获得者的不同情况有444=64(种).,B,4.从一个小组的10名同学中产生一名组长、一名学生代表,则组长和学生代表不允许重复和允许重复的选法分别有 种、 种. 解析:不允许重复时,组长选法有10种、学生代表选法有9种,根据分步乘法计数原理,得选法有109=90(种);如果允许重复,则组长和学生代表的选法均为10种,根据分步乘法计数原理,得选法共有1010 =100(种). 答案:90 100,5.用1,5,9,13中的任意一个数作分子,4,8,12,16中的任意一个数作分母,可构成 个不同的分数,可构成 个不同的真分数. 解析:由于1,5,9,13是奇数,4,8,12,16是偶数,所以以1,5,9,13中的任意一个为分子,都可以与4,8,12,16中的一个构成分数,因此可以分两步构成分数:第一步,选分子,有4种选法,第二步,选分母,也有4种选法,共有分数44=16(个);真分数分四类:分子为1时,分母可以从4,8,12,16中选一个,有4个;分子为5时,分母可以从8,12,16中选一个,有3个;分子为9时,分母可以从12,16中选一个,有2个;分子为13时,分母只能选16,有1个.所以共有真分数4+3+2+1=10(个). 答案:16 10,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,分类加法计数原理,【例1】 某单位有甲乙丙丁四个部门,甲部门有工作人员8名、乙部门有工作人员10名、丙部门有工作人员12名、丁部门有工作人员15名,现从该单位选派一名志愿者参加社会公益活动,共有多少种不同的选派方法. 解:从甲部门选派有8种不同的选派方法、从乙部门选派有10种不同的选派方法、从丙部门选派有12种不同的选派方法、从丁部门选派有15种不同的选派方法.根据分类加法计数原理,共有不同的选派方法数8+10+12+15=45(种).,反思归纳 本题是分类加法计数原理的直接应用,解题时首先把问题分类(不重复也不遗漏),确定每类中的方法数,最后按照分类加法计数原理得出结果.,【即时训练】 x,y是两个正整数,则满足x+y10的数对(x,y)有多少个? 解:当x=1时,y=1,2,3,4,5,6,7,8,9,有数对9个; 当x=2时,y=1,2,3,4,5,6,7,8有数对8个; 同理可得当x=3,4,5,6,7,8,9时分别有数对7,6,5,4,3,2,1个. 根据分类加法计数原理可得,共有数对9+8+2+1=45(个).,考点二,分步乘法计数原理,【例2】 (1)某单位有甲乙丙丁四个部门,甲部门有工作人员8名、乙部门有工作人员10名、丙部门有工作人员12名、丁部门有工作人员15名,现从该单位四个部门中各选派一名志愿者参加社会公益活动,共有多少种不同的选派方法? (2)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法有多少种? 解:(1)选派工作人员可以分四个步骤完成.第一步从甲部门选派一人,有8种不同的选派方法;第二步从乙部门选派一人,有10种不同的选派方法;第三步从丙部门选派一人,有12种不同的选派方法;第四步从丁部门选派一人,有15种不同的选派方法.根据分步乘法计数原理,共有不同的选派方法数8101215=14 400(种). (2)甲有7种站法、乙也有7种站法、丙也有7种站法,故不考虑限制共有站法777=343(种),其中三个人站在同一台阶上的有7种站法,故符合本题要求的不同站法有343-7=336(种).,反思归纳 如果“一件事情”需要分成若干步骤才能完成,则就需要使用分步乘法计数原理来计算完成这件事情的方法总数,如果其中存在某些特殊情况,则从总数中减去特殊情况的数目即可,这种间接求解的方法是计数问题中经常使用的.,【即时训练】 四名旅客到三家旅馆住宿,每家旅馆不限制人数,问共有多少种不同的住宿方法? 解:第一名有3种住宿方法;第二、三、四名旅客也各有3种住宿方法,只有这四名旅客都住宿完毕,这件事情才算完成,根据分步乘法计数原理,共有3333=81(种)不同的住宿方法.,两个计数原理的综合,考点三,【例3】 甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名,现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会,共有多少种不同的推选方法. 解:分为三类: 第一类:甲班选一名,乙班选一名,根据分步乘法计数原理有35=15(种); 第二类:甲班选一名,丙班选一名,根据分步乘法计数原理有32=6(种); 第三类:乙班选一名,丙班选一名,根据分步乘法计数原理有52=10(种). 综合以上三类,根据分类加法计数原理,共有15+6+10=31(种)不同选法.,反思归纳 使用两个基本原理进行计数的基本思想是“先分类,再分步”,即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类,再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”,求出每个步骤的方法数,按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数,最后再按照分类加法计数原理得出总数.,【即时训练】 在一个信号台上有三组信号灯,每组信号灯有三盏灯组成,每盏灯可出现红、黄、蓝三种颜色.其中第一组信号灯中的三盏灯可以出现三种颜色中的任意一种,第二组信号灯中的三盏灯不能出现完全相同颜色,第三组信号灯中的三盏灯出现的颜色各不相同. (1)若这三组信号灯只有一组发出信号,可以发出多少种不同的信号? (2)若三组同时发出信号,可以发出多少种不同的信号? 解:第一组能发出的信号数为N1=333=27(种);第二组能发出的信号数为N2=27-3=24(种);第三组能发出的信号数为N3=321=6(种). (1)三组信号灯只有一组发出信号,可发出信号N1+N2+N3=27+24+6=57(种). (2)若三组同时发出信号,可以发出信号N1N2N3=27246=3 888(种).,备选例题,【例1】 (1)设集合A=-1,0,1,集合B=0,1,2,3,定义A*B=(x,y)| xAB,yAB,则A*B中元素的个数是( ) (A)7 (B)10 (C)25 (D)52 (2)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有 个(用数字作答). 解析:(1)由题意知本题是一个分步乘法计数原理,因为集合A=-1,0,1,集合B=0,1,2,3,所以AB=0,1,AB=-1,0,1,2,3,所以x有2种取法,y有5种取法,所以根据分步乘法计数原理得25=10.故选B. (2)法一 用2,3组成四位数共有2222=16(个),其中不出现2或不出现3的共2个,因此满足条件的四位数共有16-2=14(个). 法二 满足条件的四位数可分为三类:第一类含有一个2,三个3,共有4个;第二类含有三个2,一个3共有4个;第三类含有二个2,二个3共有6个,因此满足条件的四位数共有4+4+6=14(个). 答案:(1)B (2)14,【例2】 用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图(1)、图(2),要求在A,B,C,D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色. (1)若n=6,为图(1)着色时共有多少种不同的方法?,解:(1)为A着色有6种方法,为B着色有5种方法,为C着色有4种方法,为D着色也有4种方法,所以,共有着色方法6544=480(种).,解:(2)图(2)与图(1)的区别在于与D相邻的区域由2块变成了3块,同理,不同的着色方法种数是 n(n-1)(n-2)(n-3). 因为n(n-1)(n-2)(n-3)=120, 又120480, 所以可分别将n=4、5代入得n=5时上式成立. 所以n=5.,(2)若为图(2)着色时共有120种不同的方法,求n.,易混易错辨析 用心练就一双慧眼,【典例】 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法? (1)每人恰好参加一项,每项人数不限; (2)每