数字信号处理答案第2章.ppt

1,第3章 离散傅里叶变换(DFT) 及其快速算法(FFT),2,1 计算以下序列的N点DFT， 在变换区间0nN1内， 序列定义为 (1) x(n)=1 (2) x(n)=(n) (3) x(n)=(nn0) 0n0N (4) x(n)=Rm(n) 0mN (5) (6) ,3,(7) x(n)=ej0nRN(n) (8) x(n)=sin(0n)RN(n) (9) x(n)=cos(0n)RN(N) (10) x(n)=nRN(n) 解：,(1),4,（2）,（3）,(4),5,(5),0kN1,(6),7,0kN1,(7),8,或,（8） 解法一 直接计算：,9,解法二 由DFT的共轭对称性求解。 因为,所以,所以,10,即,结果与解法一所得结果相同。 此题验证了共轭对称性。 (9) 解法一 直接计算:,11,解法二 由DFT共轭对称性可得同样结果。 因为,12,（10） 解法一,上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为x(n)=nRN(n)， 所以 x(n)x(n1)NRN(n)+N(n)=RN(n) 等式两边进行DFT， 得到 X(k)X(k)WkN+N=N(k),13,故,当k=0时， 可直接计算得出X(0)为,这样， X(k)可写成如下形式：,14,解法二 k=0时，,k0时，,15,所以，,，即,2 已知下列X(k)， 求x(n)=IDFTX(k),(1),16,(2),其中， m为正整数， 0mN/2, N为变换区间长度。,17,解: （1）,n=0, 1, , N1,18,(2),n=0, 1, , N1,19,3 已知长度为N=10的两个有限长序列：,做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循环卷积区间长度L=10。 解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分别如题3解图（a）、 （b）、 （c）所示。,20,题3解图,21,4 证明DFT的对称定理， 即假设X(k)=DFTx(n)， 证明 DFTX(n)=Nx(Nk) 证： 因为,所以,22,由于,所以 DFTX(n)=Nx(Nk) k=0, 1, , N1 5 如果X(k)=DFTx(n)， 证明DFT的初值定理,证: 由IDFT定义式,23,可知,6 设x(n)的长度为N， 且 X(k)=DFTx(n) 0kN1 令 h(n)=x(n)NRmN(n) m为自然数 H(k)=DFTh(n)mN 0kmN1 求H(k)与X(k)的关系式。 解: H(k)=DFTh(n) 0kmN1 令n=n+lN, l=0, 1, , m1, n=0, 1, , N1, 则,24,因为,25,所以,7 证明: 若x(n)为实序列， X(k)=DFTx(n)N， 则X(k)为共轭对称序列， 即X(k)=X*（Nk)； 若x(n)实偶对称， 即x(n)=x(Nn)， 则X(k)也实偶对称； 若x(n)实奇对称， 即x(n)=x(Nn)， 则X(k)为纯虚函数并奇对称。,26,证: (1) 由教材(3.2.17)(3.2.20)式知道， 如果将x(n)表 示为 x(n)=xr(n)+jxi(n) 则 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k) 其中， Xep(k)=DFTxr(n)， 是X(k)的共轭对称分量； Xop(k)=DFTjxi(n), 是X(k)的共轭反对称分量。 所以， 如果x(n)为实序列， 则Xop(k)=DFTjxi(n)=0， 故X(k)= DFTx(n)=Xep(k)， 即X(k)=X*(Nk)。,27,（2） 由DFT的共轭对称性可知， 如果 x(n)=xep(n)+xop(n) 且 X(k)=ReX(k)+j ImX(k) 则 ReX(k)=DFTxep(n), j ImX(k)=DFTxop(n) 所以， 当x(n)=x(Nn)时， 等价于上式中xop(n)=0, x(n)中只有xep(n)成分， 所以X(k)只有实部， 即X(k)为实函数。 又由（1）证明结果知道， 实序列的DFT必然为共轭对称函数， 即X(k)=X*(Nk)=X(Nk)， 所以X(k)实偶对称。,28,同理， 当x(n)=x(Nn)时， 等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0）， 故X(k)只有纯虚部， 且由于x(n)为实序列， 即X(k)共轭对称， X(k)=X*(Nk)=X(Nk), 为纯虚奇函数。 8 证明频域循环移位性质： 设X(k)=DFTx(n)， Y(k)=DFTy(n)， 如果Y(k)=X(k+l )NRN(k)， 则,29,证：,30,令m=k+l , 则,9 已知x(n)长度为N， X(k)=DFTx(n)，,31,求Y(k)与X(k)的关系式。 解:,32,10 证明离散相关定理。 若 X(k)=X1* (k)2(k) 则,证： 根据DFT的惟一性， 只要证明,即可。,33,34,令m=l+n， 则,所以,35,当然也可以直接计算X(k)=X1 *(k)X2(k)的IDFT。,0nN1,36,由于,0nN1,所以,37,11 证明离散帕塞瓦尔定理。 若X(k)=DFTx(n)， 则,证：,38,12 已知f(n)=x(n)+jy(n)， x(n)与y(n)均为长度为N的实序列。 设 F(k)=DFTf(n)N 0kN1,(1),(2) F(k)=1+jN 试求X(k)=DFTx(n)N， Y(k)=DFTy(n)N以及x(n)和y(n)。 解: 由DFT的共轭对称性可知 x(n) X(k)=Fep(k) jy(n) jY(k)=Fop(k),39,方法一 （1）,40,0nN1,由于,0n, mN1,41,所以 x(n)=an 0nN1 同理 y(n)=bn 0nN1 （2） F(k)=1+jN,，,42,方法二 令,只要证明A(k)为共轭对称的，B(k)为共轭反对称， 则就会有 A(k)=Fep(k)=X(k), B(k)=Fop(k)=jY(k) 因为,，共轭对称,43,，共轭反对称,所以,44,由方法一知 x(n)=IDFTX(k)=anRN(n) y(n)=IDFTY(k)=bnRN(n) 13 已知序列x(n)=anu(n)， 0a1, 对x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔采样N点， 采样序列为,求有限长序列IDFTX(k)N。 解: 我们知道， , 是以2为周期的周期函数， 所以,45,以N为周期， 将 看作一周期序列 的DFS系数， 则,由式知 为,46,将式代入式得到,由于,所以,47,由题意知,所以根据有关X(k)与xN(n)的周期延拓序列的DFS系数的关系有,48,由于0nN1， 所以,因此,说明： 平时解题时， 本题推导,49,的过程可省去， 直接引用频域采样理论给出的结论（教材中式（3.3.2）和(3.3.3)）即可。 14 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为 x(n)=0 n0, 8n y(n)=0 n0, 20n 对每个序列作20点DFT， 即 X(k)=DFTx(n) k=0, 1, , 19 Y(k)=DFTy(n) k=0, 1, , 19 试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等, 为什么？,50,解: 如前所述， 记fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFTF(k)=x(n) 20 y(n)。 fl(n)长度为27， f(n)长度为20。 由教材中式（3.4.3）知道f(n)与fl(n)的关系为,只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上， 才满足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7n19,51,15 已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0。 （1） 求X(k)的其余3点的值； ,（2）,求X1(k)=DFTx1(n)8；,（3）,，求,。,52,解： （1）因为x(n)是实序列， 由第7题证明结果有X(k)=X*(Nk)， 即X(Nk)=X*(k), 所以， X（k）的其余3点值为 X(5), X(6), X(7)=0.125+j0.0518, 0, 0.125+j0.3018 （2） 根据DFT的时域循环移位性质，,(3),53,16 x(n)、 x1(n)和x2(n)分别如题16图(a)、 (b)和(c)所示， 已知X(k)=DFTx(n)8。 求,和,注: 用X(k)表示X1(k)和X2(k)。,解： 因为x1(n)=x(n+3)8R8(n), x2(n)=x(n2)8R8(n)， 所以根据DFT的时域循环移位性质得到,54,17 设x(n)是长度为N的因果序列， 且,试确定Y(k)与X(ej)的关系式。,55,解： y(n)是x(n)以M为周期的周期延拓序列的主值序列， 根据频域采样理论得到,18 用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨率F50 Hz， 信号最高频率为 1 kHz， 试确定以下各参数： (1) 最小记录时间Tp min； (2) 最大取样间隔Tmax； (3) 最少采样点数Nmin； (4) 在频带宽度不变的情况下， 使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N值。 ,56,解: （1） 已知F=50 Hz， 因而,（2）,（3）,57,（4） 频带宽度不变就意味着采样间隔T不变， 应该使记录时间扩大1倍， 即为0.04 s， 实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）。,19 已知调幅信号的载波频率fc=1 kHz， 调制信号频率fm=100 Hz， 用FFT对其进行谱分析， 试求： (1) 最小记录时间Tp min; (2) 最低采样频率fs min; (3) 最少采样点数Nmin。,58,解： 调制信号为单一频率正弦波时， 已调AM信号为 x(t)=cos(2fct+jc)1+cos(2fmt+jm) 所以， 已调AM信号x(t) 只有3个频率： fc、 fc+fm、 fcfm。 x(t)的最高频率fmax=1.1 kHz， 频率分辨率F100 Hz（对本题所给单频AM调制信号应满足100/F=整数， 以便能采样到这三个频率成分）。 故,(1),(2),59,(3),（注意， 对窄带已调信号可以采用亚奈奎斯特采样速率采样， 压缩码率。 而在本题的解答中， 我们仅按基带信号的采样定理来求解。 ） 20 在下列说法中选择正确的结论。 线性调频Z变换可以用来计算一个有限长序列h(n)在z平面实轴上诸点zk的Z变换H(zk)， 使,60,(1) zk=ak, k=0, 1, , N1, a为实数， a1; (2) zk=ak, k=0, 1, , N1, a为实数， a1; (3) (1)和(2)都不行， 即线性调频Z变换不能计算H(z)在z平面实轴上的取样值。 解： 在chirp-Z变换中， 在z平面上分析的N点为 zk=AWk k=0, 1, , N1 其中 所以 当A0=1, 0=0, W0=a1, j=0时， zk=ak 故说法（1）正确, 说法（2）、 （3）不正确。 ,61,21 我们希望利用h(n)长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理， 要求采用重叠保留法通过DFT(即FFT)来实现。 所谓重叠保留法， 就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为M=100个采样点)， 但相邻两段必须重叠V个点， 然后计算各段与h(n)的L点(本题取L=128)循环卷积， 得到输出序列ym(n)， m表示第m段循环卷积计算输出。 最后， 从ym(n)中选取B个样值， 使每段选取的B个样值连接得到滤波输出y(n)。,62,(1) 求V（相邻两段必须重叠点数）； (2) 求B（每段选取的样值个数）； (3) 确定取出的B个采样应为ym(n)中的哪些样点。 解: 为了便于叙述， 规定循环卷积的输出序列ym(n)的序列标号为n=0, 1, 2, , 127。 先以h(n)与各段输入的线性卷积ylm(n)分析问题， 因为当h(n)的50个样值点完全与第m段输入序列xm(n)重叠后， ylm(n)才与真正的滤波输出y(n)相等， 所以， ylm(n)中第0点到第48点（共49个点）不正确， 不能作为滤波输出， 第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列y(n)的第m段， 即B=51。,63,所以， 为了去除前面49个不正确点， 取出51个正确的点