基于CC方法的Lauo指数计算

第 2 5卷第 4期 2 0 0 2年 8月 Vo1 25 N O 4 Aug 20 02 文 章 编 号 ： 1 0 0 0 2 0 2 2( 2 0 0 2 ) 0 4 0 5 5 5 0 5 基 于 C C方 法 的 L y a p u n o v指数 计 算 陶诏 灵 ， 陈 国华。 ( 1 南 京气 象学 院 数学 系 ， 江苏 南京2 1 0 0 4 4 ； 2 南京 大学 管 理科 学与 工程研 究院 ， 江苏 南京 2 1 0 0 9 3 ) 摘 要 ： 识 别 混沌 是 对 非 线 性 时 间序 列进 行 分 析 、 预 测 、 控 制 的基 础 。 克 服 已有 文献 用 L y a p u n o v指 数 识 别 混 沌 时计 算 L y a p u n o v指 数 的 不 足 ， 用 C C 方 法计 算相 空 间 重 构 的 参 数 ， 然 后 利 用混 沌 的 遍 历 性 及 定 义 ， 提 出计 算 最 大 L y a p u n o v指 数 的 新 方 法 。 典 型 实例证 明 新 算 法 的 高效 性 与 正确 性 。 关 键 词 ： I y a p u n o v指 数 ； 混 沌 ； 非 线 性 时 间序 列 ； 相 空 间 重 构 中 图 分 类 号 ： O2 1 1 ； O2 4 1 文 献 标 识 码 ： A 时间序列分 析 中的一个主要 问题是选择 与待处理的序列数据相 一致 的处理方法 。 为此 ， 必 须 判 断 序 列 数 据 是 确 定 性 的 还 是 随机 的 。 如果 是 随 机 的 ， 就 没 有 必 要 研 究 吸 引 子 的性 质 ， 甚 至 重构基本 的动力 系统 。 如果序 列是低 自由度 的确定性混 沌 ， 则 系统必 是存 在非线性机制 的耗散 系 统 。 于 是 如 何 判 定 时序 是 确 定性 的 还 是 随机 性 的成 为 了 国 内外 学 者 关 注 的一 个 重 要 问 题 _ 1 。 目前 在 如 何 识 别 确 定 性 混 沌 的方 法 中_ 1 。 L y a p u n o v指 数 是 检 验 系 统 不 稳 定 、 出 现 混 沌 的一 个 非 常 有 用 的 特 征 量 。此 方 法 问 题 的 焦 点 集 中在 重 构 相 空 间 时 的 参 数 选 择 和 L y a p u n o v指 数 的 计 算 方 法 上 。I y a p u n o v指 数 的计 算方 法 常用 的有 Wo l f轨 线算 法 、 J a c o b i 方法 和 QR 方法 等 。 文献 5 用虚假邻域法 ( F NN) 确 定相空间重构 的参数后再计 算最大 L y a p u n o v指数 。 F NN 法 关 心 的 是 重 构 吸 引 子 没 有 自相 交 的 基 本 条 件 ， 即在 维 嵌 入 空 间 中 ， 吸 引 子 重 构 成 功 ， 则 在 维 嵌 入 空 间 为 邻 域 的点 在 + 1 维 空 间 中也 保 持 。 事 实 上 ， 邻 域 点 间距 离在 从 维 嵌 入 空 间 到 + 1维 空 间 时保 持不 变 ， 并 不 能保 证 原 始 吸 引 子 上 的点 也 在 一 个 真 正 的 邻 域 中 ； 更 何 况 虚 假邻域 有时是始终存在 的 。此外 ， 虚假邻域法对嵌 入维数 和时 间延迟 的独立性 缺乏分析 ， 嵌 入 维 数 的 选 择 与 时 间延 迟 的选 择 之 间 的关 系 有 点 任 意 。 虚假 邻 域 法 对 噪 声 也 非 常 敏感 _ 3 。 这 里 将 c c方法叫运用 于相空 间重构 时的参数选择 过程 ， 重构吸 引子 的相空 间 。然后利 用混沌 的 遍历性 和沿不稳定流形指数发散 的性质 ， 用方程 d( f ) =C e 来计算最 大 L y a p u n o v指数 ， 其中 d( f ) 为 时 刻 t 的平 均发 散 ， c 为规 范 化 常数 。这 种 方 法 充 分 利 用 全 部 可 用 的 数 据 和 重 构 的 相 空 间的统计性 质 ， 并非仅仅分 析时间序列在某些方 向上的时间演化 ， 具 有容易实现 、 计算量小 、 对 数 据 集 的 采样 及 长 度 等 要 求 低 的特 点 。 收稿 日期 ： 2 0 0 1 1 1 - 2 6 ； 改 回 日期 ： 2 0 0 2 0 3 2 2 基金 项 目： 南京气 象学 院科研 基金 项 目 Y1 0 1 第 一作者 简介 ： 陶诏 灵 ( 1 9 7 0 一 ) ， 女 ， 四川 人 ， 讲 师 ， 硕士 y O 报 学 院 学_三 象 气 京 南 a 维普资讯 5 5 6 南 京 气 象 学 院学 报 第 2 5卷 1 相 空 间重构 技术 及 参 数选 取 使 用 延 迟 法 来 重 构 相 空 间 。假 定 采 样 周 期 为 ， 从 实 际 系 统 得 到 的 观 察 序 列 为 z( ) ( 一 1 ， 2 ， ， ) ， 用 一定的延迟 时间 r和嵌入维数 m， 可 以构造一个 多重 的嵌入 空间的状态 向量 一 ( z( ) ， z( + r ) ， ， z( + ( 一 1 ) r ) ) ， 于 是 重 构 的 轨道 为 X I x ， X ， ， 。 ( 1 ) 其 中 一一 ( 一1 ) r为相 空间 中点的个数 。 相空间重构过程 中有两个非 常重 要的参数 ： 延迟 时间 r和嵌入维数 m。 它们选 择得好与坏 直 接 关 系 到 相 空 间 重 构 的质 量 。这 里 采 用 一 种 基 于 关 联 积 分 C( ， N ， r ， t )一 的 统 计 量 2 M ( M一 1) l H( r II z 一z ) ； r 0 ( 2 ) f W。 ( 1 1 ) 对相 空间中的每个点 ， 计算 出该邻近点对在 个 离散 时间步后 的距离 d ( )一ll x件 一 x ， J一 1 ， 2 ， ， rai n ( 一 i ， 一 ) 。 ( 1 2 ) 假 定第 i 个最 近邻点近似 以最大 L y a p u n o v指数 的速率 指数发散 ， 即 d ( ) 一c e ， 此处 C 为初始的分离距离常数 。对其两边取对数 ， 得 l n d ( j ： ) 一l n C + ( j A t ) ， i 一1 ， 2 ， ， 。 方程代 表 一 簇 近 似 平 行 线 ， 斜 率 为 。可 以用 最 小 二乘 法 拟 合 得 最 大 L y a p u n o v指 数 为 一 ( ) 。 ( 1 3 ) 2 J 3 其 中 ( )= l n d ( )， 户 为 非 零 ( j ) t kN。 3 算 例 根 据 前 面 的算 法 讨 论 ， 取 下 面 两 组 数 据 对 新 算 法进 行 验 证 ( 1 ) 对 H 色 n 。 n m a p j z “ = 1， - a x o + y ，取 日 一 1 4 ，b 一 0 3 标 准 混 沌 的 情 况 ， 采 样 周 期 A t 一 【 Y +l O xn 0 0 2 ， 利 用四阶 Ru n g e Ku t t a法计 算 3 2 分量 的值 ， 得时 间序列 。 前 1 0 0 0点作 为暂态 点去掉 ， 把 后 1 0 0 0 0点 作 为第 1组 原 始 数 据 点 。其 最 大 的 L y a p u n o v指 数 为 一 0 4 1 8 。 f 3 2 一 ( z ) ( 2 ) 对 L o r e n z吸引子 一 +z ， 取 日一1 6 0 ， 6 4 0 ， f 一4 5 9 2标准混沌 的情 况 ， 采 【 z = cr y 一 6 样 周期 At =0 0 1 ， 利 用 四 阶 Ru n g e Ku t t a法 计 算 3 2 分 量 的 值 ， 得 时 间 序 列 。前 1 0 0 0点 作 为 暂 态 点 去掉 ， 把 后 1 0 0 0 0点 作 为第 2组原 始 数 据 点 。其 最 大 的 L y a p u n o v指 数 为 一1 5 0 。 维普资讯 5 5 8 南 京 气 象 学 院 学 报 第 2 5卷 用 C C 方 法 对 H4 n o n ma p和 L o r e n z吸 引 子 的最 优 时 间延 迟 及 嵌 入 维 数 分 别 进 行 了 计 算 ， 并 对 它 们 分 别 进 行 相 空 间 重 构 。 对 于 H4 n o n ma p ， 其 最 优 时 间 延 迟 r 一4 ， 嵌 入 维 数 为 m一 2 ， 相 空 间 重 构相 图 如 图 1 。 对 于 L o r e n z吸 引子 ， 其 最 优 时 间延 迟 r 一5 ， 嵌 入 维 数 为 m一 3 ， 相 空 间 重 构 相 图 如 图 2 。 然后 ， 用上述改进 的最 大 I y a p u n o v指数计算方法 分别对 H4 n o n ma p和 I o r e n z吸引子 的 最 大 Ly a p u n o v指 数 进 行 计 算 ， 计 算 得 到 的 He n o n ma p和 L o r e n z吸 引子 的最 大 L y a p u n o v指 数 分 别 为 一0 4 1 2和 一 1 5 0 7 。 与 标 准 值 相 比 ， 非 常 相 近 。 它 们 的 对 j A t的 图分 别 为 图 3和 图 4 ， 其 中 代 表 关 于 图 中 的 实 线 计 算 得 到 的结 果 ， 虚 线 为 期 望 的理 论 结 果 。 由 图 3和 图 4可见 ， 经过一个短暂 的暂态后 ， 可 以从一 个相对较长 的直线段 的最 小二乘拟合得 出 最 大 L y a p u n o v指数 。由于 系统 在相空 间 中有界且平均发散不 可能超过吸引子 的长度 ， 当曲线 经 过 一 段 相 当长 时 间后 ， 便 趋 于 饱 和 。 图 1 He n o n ma p的 相 图 Fi g1 Pha s e di a gr a m f or H6 non m a p 图 3 H6 n o n ma p的 l n d ( ) 一 图 Fi g3 l nd ( ) 一 di a gr a m f or H6 non map 图 2 L o r e n z 吸 引子 的 相 图 Fi g2 Pha s e di agr am f o r Lor e nz at t r a ct or 图 4 L o r e n z吸 引子 的 l n d ( ) 一 图 Fi g4 l nd, ( ) 一 di agr am f or Lor e nz at t r a c t or 维普资讯 第 4期 陶诏 灵 等 ： 基 于 C C 方 法 的 Ly a p u n o v指 数 计 算 5 5 9 4 结 语 从 算 例 的 计 算 过 程 可 知 ， 这 种 算 法 比通 常 的 Wo l f 算 法 对 最 大 L y a p u n o v指 数 进 行 计 算 简 洁 、 高 效 ， 它 充 分 利 用 所 有 可 用 的数 据 ， 不 必考 虑 保 持 相 空 间 中 的定 向 问题 ， 不 像 W o l f 算 法 那 样 ， 仅注 意到一些基 准轨线 ， 同一个最近邻域被 重复替代 。 另外 ， 在判断 系统 是否为混沌 时 ， 最 大 L y a p u n o v指数 大于零是 一个充分条 件 。这使得计 算 最大 L y a p u n o v指数 时可 以适 当放 宽些条件 ， 只要 能推导 出主要部分大 于零 即可 ， 这为算法 的改进 留有 了余地 。事实上 ， 由于( 7 ) 、 ( 8 ) 、 ( 9 ) 式都 是一种平均值 ， 在此均值 中 ， 噪声 的影 响平 均为 0 ， 因此新算法不仅 易于计 算 、 实现 ， 而且也是鲁棒 的 ， 它对 噪声 和一些参数 的变化都具有 良好 的 适 应 性 。 参 考 文献 ： Br oc k W A ， H s i e h D A ， Le Bar o n B No nl i e a r Dy n a m i c s， Ch a o s， a n d I n s t a b i l i t y：St a t i s t i c a l Th e o r y a n d Ec o n omi c Ev i d e n c e M C a mb r i d g e ： MI T Pr e s s ， 1 9 9 1 2 R a ma s u b r a ma n i a n K， S r i r a m M S A c o mp a r a t i v e s t u d y o f c o mp u t a t i o n o f Ly a p u n o v s p e c t r a wi t h d i f f e r e n t a l g o r i t h ms _ J P h y s i c a D， 2 0 0 0 ， 1 3 9 ( 1 2 ) ： 7 2 8 6 3 4 3 5 6 7 8 Al e x e i Po t a p o v， J i i r g e n Kur t h s Cor r e l a t i on i nt e gr a l as a t o o l f o r d i s t i n gu i s h i n g b e t we e n dy n a mi c s an d s t a t i s t i c s i n t i me s e r i e s d a t a J P h y s i c a D， 1 9 9 8， 1 2 0 ( 3 4 ) ： 3 6 9 3 8 5 Ro s e n s t e i n M T， Co l l i ns J J ， De Lu c a C J A p r a c t i c a l me t h o d f o r c a l c u l a t i ng l ar g e s t Ly a p un o v e x p on e n t s f r o m s ma l l d a t a s e t s J P h y s i c a D， 1 9 9 3 ， 6 5 ( 1 2 ) ： 1 1 7 - 1 3 4 向小东 ， 郭耀 煌 混 沌时 间序列 最大 Ly a p u n o v指 数 的计算 J 预测 ， 2 0 0 1 ， 2 0 ( 5 ) ： 7 6 7 8 Kug i umt z i s D St a t e s pa c e r e c o n s t r uc t i on p a r a me t e r s i n t he a n a l ys i s o f c h a o t i c t i me s e r i e s t h e r ol e o f t h e t i me wi n d o w l e n g t h J P h y s i c a D， 1 9 9 6 ， 9 5 ( 1 - 2 ) ： 1 3 - 2 8 K i m H S， E y k h o l t R， S a l a s J D No n l i n e a r d y n a mi c s ， d e l a y t i me s ， a n d e mb e d d i n g wi n d o ws J P h y s i c a D， 1 9 9 9 ， 1 2 7 ( 1 2)： 4 8 60 J o hn s o n M ， Ha by a r i man a J An o p e r a t i o na l t e s t f o r d i s t i n g ui s hi n g b e t we e n c o mpl i c a t e d a nd c h a o t i c b e h a v i or i n de t e r mi n i s t i c s y s t e m J P h y s i c a D， 1 9 9 8 ， 1 1 6 ( 3 4 ) ： 2 8 9 3 0 0 Co m pu t a t i o na l Ly a pu no v Expo ne nt s Ba s e d o n C- C M e t ho d TAO Z h a o l i n g CHEN Gu o hu a ( 1 De p a r t me n t o f Ma t h e ma t i c s ， NI M ， Na n j i n g 2 1 0 0 4 4， Ch i n a ； 2 Ma n a g e me n t S c i e n c e a n d E n g i n e e r i n g I n s t i t u t e ， Na n j i n g Un i v e r s i t y， Na n j i n g 2 1 0 0 9 3 ， Ch i n a ) Ab s t r a c t： Ho w t o i de nt i f y ch a os i