《复变函数的积分》PPT课件.ppt

第3章 复变函数的积分,复变函数积分理论是复变函数的核心内容，关于复变函数的许多结论都是通过积分来讨论的，更重要的是我们要讨论解析函数积分的性质，并给出解析函数积分的基本定理与基本公式，这些性质是解析函数理论的基础，我们还将得到解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。,3.1: 复变函数的积分,3.2: 柯西-(古萨)积分定理,3.3: 复合闭路定理,3.4: 科西积分公式,3.5: 解析函数的高阶导数,3.6: 几个重要的定理,3.7: 解析函数与调和函数,本章补充新题型,本章小节,本章测试题,本章基本内容:,重点内容:,(1) 柯西积分定理(单、复连通区域);,(4) 调和函数的应用；,(2) 柯西积分公式(单、复连通,无界区域);,(3) 高阶导数公式及其应用;,3.1 复变函数的积分,3.1.1 复变函数积分的概念 在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：,定义3.1.1 有向曲线 在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的： (1) 如果曲线 是开口弧段，若规定它的端点 为起点， 为终点，则沿曲线 从 到 的方向为曲线 的正方向（简称正向），把正向曲线记为 或 . 而由 到 的方向称为的负方向（简称负向），负向曲线记为 .,(2) 如果 是简单闭曲线，通常总规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向 (3) 如果 是复平面上某一个复连通域的边界曲线，则 的正方向这样规定：当人沿曲线 行走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向,定义3.1.2 复变函数的积分 设函数 在给定的光滑或逐段光滑曲线 上有定义，且 是以 为起点， 为终点的一条有向曲线，如图3.1所示把 曲线任意分成n个小弧段，设分点依次为 ,在某小弧段 上任意取一点 ，并作和 其中 ，记 的最大长度为,则当n无限增大，且 时，如果无论对L的分法及 的取法如何，都有惟一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线L的积分，记作 ，即 我们称之为复变函数的积分，简称复积分,定义3.1.3 闭合环路积分 当L为封闭曲线时，那么沿L的积分为， 并称为复变函数 的闭合环路积分（简称环路积分）. 为了方便，我们还可以在积分中标出环路积分的方向, 若沿逆时针方向积分，可用环路积分 表示. 若沿顺时针方向积分，可用 表示.,由此可知，当 ，且小弧段长度的最大值 时，不论对L的分法如何，点 的取法如何，只要上式右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，由于 连续，则 都是连续函数，根据曲线积分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到 (3.1.3),即我们可以把复积分 的计算化为两个二元实变函数的曲线积分为便于记忆公式，可把 理解为 ，则 上式说明了两个问题： (1) 当 是连续函数，且L是光滑曲线时，积分 一定存在； (2) 可以通过两个二元实变函数的线积分来计算.,3.1.3 复积分的基本性质,(1)若 沿 可积，且 由 和 连接而成，则 （3.1.6） (2) 常数因子 可以提到积分号外，即 （3.1.7） (3) 函数和（差）的积分等于各函数积分的和（差），即,(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即 （3.1.9） 为 的负向曲线 (5)积分的模不大于被积表达式模的积分，即 (3.1.10) 这里 表示弧长的微分，即,【证明】 因为 ， 其中 分别表示曲线 上弧段 对应的弦长和弧长，两边取极限就得到,（6）积分估值定理 若沿曲线 ， 连续，且 在 上满足 ，则 (3.1.11) 其中 为曲线 的长度,【证明】 由于 在 上恒有 ， 所以 又 ，则 成立。,3.1.4 复积分的计算典型实例,公式（3.1.2）提供了一种复积分的计算方法，即把复积分的计算转化为两个二元实函数的曲线积分当曲线积分的积分路径C由参数方程给出时，复积分又可以转化为单变量的定积分 例3.1.1 计算 ，其中C为从原点到点3+4i的直线段,【解】 直线的方程可写成 或 于是 又因 由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积分与路径无关的条件，所以 的值不论 是怎样的曲线都等于 ，这说明有些函数的积分值与积分路径无关,3.1.5 复变函数环路积分的物理意义,而且有对应关系 则,故复变函数的环路积分为 由场论知识可知：闭合环路积分 的物理意义为, 实部 表示向量场 沿 曲线的环量虚部 表示向量场沿曲线 的通量,3.2 柯西积分定理,早在1825年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的一条基本定理，现称为柯西积分定理（简称柯西定理） 定理3.2.1 柯西积分定理 如果函数 在单连通区域 内及其边界线L上解析（即为在单连通闭区域 解析），那么函数 沿边界L或区域 内任意闭曲线 的积分为零，即 （3.2.1） 或 （3.2.2）,证明：如图 3.2所示，由于对函数 在闭区域解析概念的理解，故函数的导数即 在区域内部及其边界是存在的，而且可以证明也是连续的再根据格林定理有,由于函数在闭区域解析，故满足C-R条件 代入即得,如果我们在该闭区域 内任选某一单连通闭区域 ，其边界为 由上述推导中 将 , 则同理可证明 故结论成立. 这个定理是柯西(Cauchy)于1825年发表的，古莎(Goursat)于1900年提出了修改，故又称为柯西古莎定理.,说明：1根据第二章，函数在单连通区域D内及闭曲线L上解析，即为在闭区域 解析，我们应该理解为函数在比边界稍大一些的区域内部也是解析的； 2边界正方向规定：当沿边界线环行时，其边界线所包围的解析区域始终在左边，则前进的方向为边界线的正方向据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿逆时针方向为正方向而对于有界复连通区域，外边界取逆时针为边界线的正方向，内边界取顺时针方向为正方向（注意：对于无界区域则相反，内边界取顺时针方向为边界线的正方向）；,3格林（Green）定理（或格林公式：在单连通区域内，若 有连续的偏导数，则 其中L是区域 的边界； 4进一步指出，经修改后的柯西古萨积分定理成立的条件可以弱化为在区域 内解析，在边界上连续以后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立,3.2.2 不定积分：复积分的牛顿莱布尼兹公式,定理3.2.3 由定理 3.2.2 知道，解析函数 在单连通域 内的积分只与起点 和终点 有关，假设 是区域 内连接 和 的两条简单曲线，则 和 分别称为积分的上限和下限，当下限 固定，而上限 在 内变动时，积分 可以看作是上限的函数，记为 （3.2.4） 对 ，有以下的定理,定理 3.2.4 如果 在单连通域 内处处解析，则 在D内也解析，并且,【证明】 令 则 因为 和 是与路径无关的，因此,定理3.2.5 任何两个原函数相差一个常数 【证明】 若 均为 的原函数，则 利用原函数这个关系，我们可以得出： 定理3.2.6 若函数 在单连通域 内处处解析， 为 的一个原函数，那么 其中 , 为 中任意两点上式称为复积分的牛顿莱布尼兹公式：,3.2.3 典型应用实例,例3.2.2 （非闭合环路积分中的换元积分法） 计算积分,【解法1】,在整个复平面上解析，且,运用复积分的牛顿莱布尼兹公式有,【解法2】换元积分法 令,，则当,，有,；当,，有,所以,例3.2.3 求积分 并判断闭合环路积分 中换元积分法是否成立,【解法1】 作积分变换得：,?,例3.2.4 计算积分,因而积分与路径无关，可用分部积分法得,【解】 由于,在复平面内处处解析，,3.2.4 柯西积分定理的物理意义,3.3 复合闭路定理,不失一般性，取n1进行证明. 有下述定理：,（1） （3.3.3） （2） (3.3.4),定理3.3.2 设 L和 为复连通区域内的两条简单闭曲线，如图3.5所示， 在L内部且彼此不相交，以 和L为边界所围成的闭区域 全含于D则对于区域D内的解析函数 有,总结：单连通和复连通区域的柯西定理可以表述为： (i)在闭单连通区域中的解析函数，沿边界线或区域内任一闭合曲线的积分为零； (ii)在闭复连通区域中的解析函数，沿所有边界线的正方向（即外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方向）的积分为零； (iii) 在闭复连通区域中的解析函数，按逆时针方向沿外边界的积分等于按逆时针方向沿所有内边界的积分之和,关于常用积分符号的说明：为了以后计算环路积分的方便，在有界区域我们规定记号： （i） C代表取逆时针方向积分； （ii） 代表顺时针方向积分； （iii）而且 成立 上述定理3.3.2还说明在区域 内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值因此可得到闭路变形定理,本定理说明：（1）设 为包含奇点 的任意曲线，且 为边界， 为边界内的曲线. 由图3.6 容易看出，当积分路径由 变形为 曲线时，考虑一个微小区域 （不含奇点）的情况来分析，根据柯西定理有,当分区无限多时，两条直线 无限接近，且为相反方向。根据积分性质,有 故得到 综合考虑各个小区域，自然得到 (2) 例如本章例3.1.3中，当L为以 为中心的正向圆周时： ，根据闭路变形原理，对于包含 的任何一条简单闭曲线 ,都有 成立,例3.3.1 计算 ，其中 为圆周 ，且取正向 【解】 要注意 在 内只有一个奇点 ，将 分成为 ， 则由闭路变形定理,3.4 柯西积分公式,3.4.1 有界区域的单连通柯西积分公式 定理3.4.1 （柯西积分公式） 如果 在有界区域D处处解析，L为D内的任何一条正向简单闭曲线，且其内部全含于D, 为L内的任一点，那么 (3.4.1) 称为柯西积分公式, 简称柯西公式但一定要注意其与柯西定理称谓上的区别,由复积分性质知道根据 在 连续，则对任意小的 对应于R足够小，有 又显见该积分的值与R无关这就证明了 ，即为柯西积分公式,它表明：对于解析函数，只要知道了它在区域边界上的值，那么通过上述积分公式，区域内部点上的值就完全确定了 特别地，从这里我们可以得到这样一个重要的结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等,【解】（1）注意到 在复平面内解析，而 在积分环路C内，由柯西积分公式得 （2）注意到函数 在 内解析，而 在 内，由柯西积分公式得,【解】根据柯西积分公式，得到,故得到,3.4.2有界区域的复连通柯西积分公式,(3.4.3),3.4.3 无界区域中的柯西积分公式,上面对柯西积分公式讨论了（1）单连通区域;(2)复连通区域. 但所涉及的积分区域都是有限的区域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何求解？我们可以证明如下的无界区域柯西积分公式仍然成立,1 无界区域柯西积分公式 定理3.4.3 无界区域中的柯西积分公式（当满足 时）： 若在 某一闭曲线L的外部解析，并且当 时，则对于L外部区域中的 点有 (3.4.4) 这就是无界区域的柯西积分公式,【证明】 为了将柯西积分公式推广到这一情况，以原点为中心，作一个半径为 的大圆 ，将L和点 全部包含在内，则在 与L之间的区域 解析，如图3.10应用复连通区域的柯西积分公式得到 (3.4.5) 这一式子的左边与 无关，右边第二项也与 无关，因而右边第一项也应与 无关可以进一步证明，当 时它趋于零，由此可以肯定它恒等于零,事实上，当 在上 时， 因而利用积分不等式性质有 其中 表示 在圆 上的最大值，根据条件 ，且注意到函数的连续性故有 时， ，由上式可知 ，且前面已经指出，这一积分的值与 R无关，因而恒等于零：,故由(3.4.5)得 这就是适用于无界区域的柯西积分公式,说明： 注意这一公式和有界区域柯西积分公式的区别： （1）有界区域中柯西积分公式中的 是闭合曲线 内部的一点，而无界区域柯西积分公式中的 为 外部的一点； （2）应用有界柯西积分公式的条件是 在 内部解析，而无界区域柯西积分公式的条件是在 外部解析，且当 时 ；,（3）应用有界区域公式的积分沿着逆时针方向进行，而无界区域的公式积分沿顺时针方向进行（两种情况下都是正方向，即为沿此方向环行时，所讨论的区域在左手边） 故图3.10中的取顺时针方向即为正方向,2. 无界区域的柯西积分公式应用推广（当 不趋于零时） 定理3.4.4 假设 在某一闭曲线L的外部解析，则对于L外部区域中的点 有,【证明】设 为包含点 的大圆周, 因为函数 在闭回路的 外部解析,故由复连通区域的柯西积分公式得 由于 在无限远处连续，即任给 ，有 ，其中 有界，于是,对于有限远点 ，显然 得 故 成立 说明：特别地，当 满足 时，即 ，则 即退化为定理3.4.3讨论的情形,3.5.1解析函数的无限次可微性（高阶导数公式） 作为柯西积分公式的推广，我们可以证明一个解析函数的导函数仍为解析函数，从而可以证明解析函数具有任意阶导数请特别注意：这一点和实函数完全不一样，一个实函数 有一阶导数，不一定有二阶或更高阶导数存在,3.5 柯西积分公式的几个重要推论,定理3.5.1 解析函数 的导数仍为解析函数，它的n阶导数为 (3.5.1) 其中 为 的解析区域 内并包含 的任一简单正向闭曲线，而且它的内部全属于 ,【证明】如图3.11所示. 我们先证 的情况. 为了理解方便，不妨设 在边界C上取值. 即要证. 设区域D内的 点的微小变化量为 ，其中 在区域D内部取值. 根据定义 由柯西积分公式得到,从而有,由于函数在边界上解析，故在边界上连续且有界. 即存在 ，使得在边界 上 ，设 为 到边界 上的点的最短距离，则,再考虑到 是 与 的微小偏移量，因此可取它满足 ， 则 所以 其中L为曲线C的长度，如果令 ，那么 ，故 因为 ，所以可以重复使用前面的方法，得出,3.5.2 解析函数的平均值公式,定理3.5.2 若函数 在闭圆 内及其圆周C上解析，则 （3.5.2） 即 在圆心 的值等于它在圆周上值的算术平均值上式称为解析函数的平均值公式,【证明】 我们知道 上的点可以写成 由柯西积分公式有 则 这表明一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上取值的平均值，式(3.5.2)称为解析函数的平均值公式,3.5.3柯西不等式 定理3.5.3（柯西不等式） 若函数 在圆C: 内部及其边界上解析，且 ，则,【证明】由柯西高阶导数公式 所以,柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式，表明解析函数在解析点 的各阶导数的模与它的解析区域大小密切相关,在整个复平面上解析的函数称为整函数例如多项式，,及,都是整函数，常数当然也是整函数应用柯西不等式可得到关于整函数的