《绪论及函数》PPT课件.ppt

经济数学微积分 陈 业 2014-09-25,本章我们首先介绍函数，关于极限理论的基本概念、运算和性质，以及函数的连续性到下一章再介绍。,第一章 函 数,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,第一节 集合,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,集合之间的关系及运算,定义,则称 A,若,且,则称 A 与 B 相等,例如 ,显然有下列关系 :,若,设有集合,记作,记作,必有,定义 给定两个集合 A, B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,余集,直积,例:,为平面上的全体点集,或,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,3.邻域:,4.绝对值:,运算性质:,绝对值不等式:,绝对值不等式的两个变形公式：,绝对值不等式的证明,两式相加得,几何直观,分四种情况验证,在复数范围内成立,为证三角不等式只须证明,为证上式，又只须证明,又只须证明,由基本不等式,上式是显然的,对三角不等式及其证明方法要加深印象，深刻 理解，灵活运用，后面将要讲到的极限在很多情况 下要用到三角不等式来对不等式进行放大和缩小。,同理,一、 映射的概念,第二节 映射与函数,定义,设 X , Y 是两个非空集合,若存在一个对应规,则 f ,使得,有唯一确定的,与之对应 ,则,称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作,元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 ,记作,元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .,集合 X 称为映射 f 的定义域 ;,Y 的子集,称为 f 的 值域 .,注意:,1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 .,2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .,对映射,若, 则称 f 为满射;,若,有,则称 f 为单射;,若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射.,引例2, 3,引例2,引例2,例1.,例2.,如图所示,对应阴影部分的面积,则在数集,自身之间定义了一种映射,(满射),例3.,如图所示,则有,(满射),(满射),二 逆映射与复合映射,(1) 逆映射的定义,定义:,若映射,为单射,则存在一新映射,使,习惯上 ,的逆映射记成,例如, 映射,其逆映射为,其中,称此映射,为 f 的逆映射 .,定义.,则当,由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复,设有映射链,记作,合映射 ,时,或,注意: 构成复合映射的条件,不可少.,(2) 复合映射,定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，若对于任意的x D，变量y按照确定的法则总有唯一 确定的数值和它对应，则称y是x的函数,记作,自变量,因变量,三、 函数的概念,函数的两要素:,定义域与对应法则.,自变量,对应法则f,因变量,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,定义:,几个特殊的函数举例,(1) 符号函数,取整函数 y=x x表示不超过 x 的最大整数,(3) 狄利克雷函数,(4) 取最值函数,(5)绝对值函数,定义域R,值域,例,脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间 的函数关系式.,解,单三角脉冲信号的电压,例,解,故,四、函数的基本性态,1函数的有界性:,有界,无界,2函数的单调性:,3函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,4函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,一、 复合函数,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数 , 复合映射的特例,u 称为中间变量.,注意: 构成复合函数的条件,不可少.,例如, 函数链 :,函数,但函数链,不能构成复合函数 .,可定义复合,第三节 复合函数与反函数 初等函数,两个以上函数也可构成复合函数.,例如,可定义复合函数:,二 反函数,(1) 反函数的概念及性质,若函数,为单射,则存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为 f 的反函数 .,其反函数,(减),(减) .,1) yf (x) 单调递增,且也单调递增,性质:,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,指数函数,三 初等函数,(1) 基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2) 初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成 ,称为初等函数 .,可表为,故为初等函数.,非初等函数举例:,符号函数