A3(第十二章第5、6、7节).ppt

2019年7月29日星期一,1,5. 对坐标的曲面积分,(又称第二类曲面积分),一、对坐标的曲面积分的概念与性质,1. 曲面的侧,设所讨论的曲面都是光滑的，双侧的。,如一张包围某一空间区域的闭曲面，就有 外侧与内侧之分。,2019年7月29日星期一,2,观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,2019年7月29日星期一,3,大家大概都知道莫比乌斯带。,你可以把一条纸带的一端扭180度，再和,单侧曲面例子 ( 注: 本课程不讨论此类曲面 ),另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。,这是一张只有一个侧面的曲面。,2019年7月29日星期一,4,用法向量的指向,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧,侧的规定,来指定曲面的侧的方法如下:,现用曲面上法向量的指向来定曲面的侧,指定了侧的曲面叫有向曲面.,2019年7月29日星期一,5,2、有向曲面在坐标面上的投影,设是有向曲面，,在上取小块曲面S，,S在xoy面上的投影区域面积,假设S上各点处,的法向量与 z 轴正向的夹角,有相同符号, 则,规定S在xoy面上的投影,余弦,记为,S,2019年7月29日星期一,6,类似规定：,2019年7月29日星期一,7,3、引例:,求流向曲面一侧的流量,设稳定流动( 速度V 与时间 t 无关的流动 ),的不可压缩流体的速度场为常向量,(设流体密度 = 1)，速度场中有一有向平面 A,(面积记为 A)，,先讨论特殊情形：,A,A,求单位时间内流向 A 一侧的流量。,2019年7月29日星期一,8,一般情形：,设流体 ( = 1) 的速度场为,为流速场中一片光滑有向曲面，函数,P, Q, R 在上连续，求单位时间内流向,的指定侧的流量 。,利用元素法,2019年7月29日星期一,9,(1) 把任分成 n 个小块曲面Si ;,(2) 在Si 中任取一点,用,2019年7月29日星期一,10,同理：,2019年7月29日星期一,11,4. 定义,设 R(x, y, z) 在光滑有向曲面上有界，,任分为n个小曲面,在xoy平面的投影,作乘积,存在，则称此极限值为函数 R(x, y, z) 在有,向曲面上对坐标 x, y 的曲面积分。,2019年7月29日星期一,12,类似可定义：,P(x, y, z) 在有向曲面上对坐标 y, z 的曲面积分,Q(x, y, z) 在有向曲面上对坐标 x, z 的曲面积分,记作,2019年7月29日星期一,13,常用其组合形式：,说明：,(1),函数 P, Q, R 中变量 x, y, z 不独立，受到,曲面方程的限制；,(2),为有向面积元素,2019年7月29日星期一,14,(3),对坐标的曲面积分又称为第二类曲面积分，,如：,则,其性质与第二类曲线积分相仿。,2019年7月29日星期一,15,二、对坐标的曲面积分的计算法,2019年7月29日星期一,16,类似，,取前侧,(后侧),(),取右侧,(),(左侧),2019年7月29日星期一,17,例1：,1,解：,1,2019年7月29日星期一,18,解：,(取上侧),(取下侧),1,1,例1：,2019年7月29日星期一,19,例2：,解：,(前后曲面),曲面向 xoy平面投影时，,曲面向 yoz平面投影时，,= 0 .,投影为曲线，,1,2,2019年7月29日星期一,20,曲面向 yoz平面投影时，,(前后曲面),例2：,1,2,2019年7月29日星期一,21,法向量的方向余弦。,三、两类曲面积分之间的联系,2019年7月29日星期一,22,例：,其中 f (x, y, z) 为连续函数，,是平面,在第四卦限部分的上侧。,解：,的法向量,2019年7月29日星期一,23,则，原式 =,2019年7月29日星期一,24,课 外 作 业,习题12 5(A),2(2, 4, 6),2, 4(2),习题12 5(B),2019年7月29日星期一,25,6 高斯公式 通量与散度,2019年7月29日星期一,26,一、高斯(Gauss)公式,格林公式表达了平面闭区域上的二 重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。,2019年7月29日星期一,27,是在点(x, y, z)处的法向量 的方向余弦。,定理：,设空间闭区域由分片光滑的闭曲面,在上具有一阶连续偏导数，则有,其中为闭区域的整个边界曲面的外侧。,或,2019年7月29日星期一,28, 高斯公式,其中为闭区域的边界曲面的外侧。,则有：,2019年7月29日星期一,29,例1：,解：,2,2019年7月29日星期一,30,例2：,在第一卦限外侧部分的流量。,解：, 非闭曲面，,方向如图，,加辅助面:,2019年7月29日星期一,31,非闭曲面，,加辅助面:,0,= 0,0,= 0,0,= 0,2019年7月29日星期一,32,例3. 求,解：,利用高斯公式,为此引入辅,助曲面,易见,于是由高斯公式, 有,2019年7月29日星期一,33,例3. 求,于是由高斯公式, 有,2019年7月29日星期一,34,例3. 求,解二：,利用两类曲面积分之间的联系求解,则,2019年7月29日星期一,35,例3. 求,是如图所示的四面体 OABC 的整个边界曲面，,且取外侧。,0,x,y,z,A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),解：,2019年7月29日星期一,36,例4：,分析：,不可用高斯公式 !,1,2,1,2,2019年7月29日星期一,37,解：,1,2,1,2,2019年7月29日星期一,38,1,2,1,2,1,2,0,1,0,2,2019年7月29日星期一,39,二、通量与散度,引例.,设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为,理意义可知,设 为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面 的指定侧的流量为,则由对坐标的曲面积分的物,由两类曲面积分的关系,流量还可表示为,2019年7月29日星期一,40,若 为方向向外的闭曲面,当 0 时,说明流入 的流体质量少于,当 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的,则单位时间通过 的流量为,当 = 0 时,说明流入与流出 的流体质量相等.,流出的,表明 内有源;,表明, 内有汇;,根据高斯公式, 流量也可表为,(1),2019年7月29日星期一,41,方向向外的任一闭曲面,记 所围域为,设 是包含点 M 且,为了揭示场内任意点M 处的特性,在(1)式两边同除以 的体积 V,并令 以,任意方式缩小至点 M,则有,此式反应了流速场在点M 的特点:,其值为正, 负或 0,分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.,2019年7月29日星期一,42,定义:,设有向量场,其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片,则称,有向曲面,为向,在场中点 M(x, y, z) 处,2019年7月29日星期一,43,表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.,例如, 匀速场,故它是无源场.,说明:,由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且,2019年7月29日星期一,44,散度运算的基本公式：,2019年7月29日星期一,45,例：,设为一光滑闭曲面， 处的单,位外法线向量，,(1)不包含原点；,解：,由题意，,=,2019年7月29日星期一,46,(1) 不包含原点。,则 P, Q, R 在上连续,所以 I = 0,(1) 因为不包含原点，,2019年7月29日星期一,47,(2),解法1：,在上，r = a , 包含原点, 则不可直接用高斯公式。,(内无奇点),2019年7月29日星期一,48,解法2：,因为在球面上，点的向径与该点法向量,(x,y,z),方向一致，,又在上，r = a ,2019年7月29日星期一,49,课 外 作 业,习题12 6 (A),1(1), 2(1), 3(1),习题12 6 (B),1(2, 4), 2,2019年7月29日星期一,50,7、斯托克斯公式 环流量与旋度,一、斯托克斯(Stokes)公式,斯托克斯公式是格林公式的推广。 格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而斯托克斯公式则把曲面上的曲面积分与沿着的边界曲线上的曲线积分联系了起来。,2019年7月29日星期一,51,定理：,设为分段光滑的空间有向闭曲线，,是以为边界的分片光滑有向曲面, 的,正向与的侧符合右手法则, 函数,区域内具有一阶连续偏导数，则有, 斯托克斯公式,2019年7月29日星期一,52,右手法则,分片光滑有向曲面的边界曲线为,分段光滑的空间有向闭曲线.,2019年7月29日星期一,53,斯托克斯公式,又可写成：,其中,为有向曲面 的单位法向量。,2019年7月29日星期一,54,利用行列式记号，又写成：,或,2019年7月29日星期一,55,如果 是 xoy 平面上的一块平面闭区域， 则斯托克斯公式就变成了格林公式。因此， 格林公式是斯托克斯公式的一 个特殊情形。,2019年7月29日星期一,56,例1. 求,是从 A(a,0,0) 经过 B(0,a,0) 和 C(0,0,a) 回到,A(a,0,0) 的三角形。,0,x,y,z,A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a),解：,围成的平面,取上侧。,用Stokes公式。此时，,2019年7月29日星期一,57,2019年7月29日星期一,58,解,则单位法向量,91年北京市数学竞赛题,2019年7月29日星期一,59,则单位法向量,即,由斯托克斯公式,2019年7月29日星期一,60,即,由斯托克斯公式,2019年7月29日星期一,61,即,由斯托克斯公式,2019年7月29日星期一,62,例3.,其中,是圆周,若从 z 轴正向看去, 这圆,周是取逆时针方向。,x,z,y,解：,.,2,2019年7月29日星期一,63,称为向量场,设有向曲面上点 (x, y, z) 处的单位法向量为,的正向边界曲线上点 (x, y, z) 处的单位切向量为,则,斯托克斯公式：,则向量,记作,20