离散时间傅里叶变换.ppt

第五章 离散时间傅立叶变换,本章主要内容,离散非周期信号的傅立叶变换；,离散周期信号的傅立叶变换；,傅立叶变换的性质；,系统的频率响应与频域分析；,CTFT:连续时间傅立叶变换 the continuous time Fourier transforms,DTFT:离散时间傅立叶变换 the discrete time Fourier transforms,CFS:连续时间傅立叶级数 the continuous Fourier series,DFS:离散时间傅立叶级数 the discrete Fourier series,常见英语缩写,5.1 非周期信号的表示 -离散时间傅立叶变换,主要内容,从傅立叶级数到傅立叶变换,常用离散时间信号的傅立叶变换,离散时间傅立叶变换的收敛性,一、从傅里叶级数到傅里叶变换,这里我们将采用与讨论连续时间傅里叶变换相同的思路，来研究离散时间非周期信号的频域分解问题。,从离散时间周期信号的傅里叶级数，分析得出离散时间傅里叶变换。 具体过程如下：,周期信号,非周期信号,取出 中的一个周期作为 ，设该周期的非零项为,离散周期信号的傅里叶级数：,其中系数,定义:,离散时间傅里叶变换,由上定义式,将其代入 的表达式，得,则,参考P255图5.1,注意：是一个周期性的函数。,当,时，,当,时，,注意：积分区域为任意 间隔。,离散时间傅里叶逆变换,综上，非周期序列的傅立叶变换对：,离散时间傅立叶变换,离散时间信号 的频谱,上述变换对表明，离散时间傅里叶级数与傅里叶变换 之间的关系，也就是，有限序列的傅里叶变换的等间隔样 本，就是周期信号的傅里叶系数 。,二、常用离散时间信号的傅立叶变换,例5.1,求其傅里叶变换。,解：,由非周期序列的傅里叶变换公式：,时,低通特性,时,高通特性,单调指数衰减,摆动指数衰减,例5.1 傅里叶变换的模和相位,例5.2,求其傅里叶变换。,解：由,例5.2中实偶离散信号和它的傅里叶变换,实偶离散信号：,对应的傅里叶变换,例5.3 矩形脉冲:,求其傅里叶变换。,解：由,本例题的时域信号为实偶序列，对应的傅里叶变换也是实偶函数，从而再次验证了例5.2的结论：,例5.3中N12时的矩形脉冲序列及对应的傅里叶变换,非周期矩形脉冲傅里叶变换的两点比较:,1. 与对应的离散周期性矩形脉冲频谱系数相比较,显然有,周期离散矩形脉冲的傅里叶级数系数：,非周期离散矩形脉冲的傅里叶变换：,连续时间非周期矩形脉冲傅里叶变换：,2. 与对应的连续时间矩形脉冲比较,离散时间矩形脉冲的傅里叶变换：,三、离散时间傅立叶变换的收敛性,这是一个无限项的求和，,条件1：,条件2：,例5.1，5.2是无限长序列,其傅里叶变换存在。,此时,若上式成立，需要以下两个收敛条件：,例5.4 离散时间非周期信号,解：,求傅里叶变换。, 5.2 周期信号的离散时间傅里叶变换,连续周期信号的傅里叶变换的求解思路:先构造一个频域冲激，然后求出对应的时域信号。得到：,对离散周期信号采用同样的思路。,积分的求解参考P265图5.8的X（jw），在任意一个2pi宽度有一个非零的冲激。,由于周期信号的傅里叶级数为：,K取0N1时,上式中的各项参考图P263 Fig5.9:,如果周期函数中包含连续相继的N次谐波，则有：,可以看出，周期序列的傅里叶变换，可以直接从它的 傅里叶系数得到。其形式与周期性连续时间傅里叶变换的 形式是基本一样的。,周期连续时间信号的傅里叶变换,周期离散时间信号的傅里叶变换,对比,如图所示:,例5.5,解：,，求傅里叶变换 。,这里,比较:与连续时间情况下对应的一致.,例5.6,解：,，求均匀脉冲串傅里叶变换。, 5.3 离散时间傅立叶变换的性质,一. 周期性,比较:这是与连续时间傅里叶变换（ CTFT ）不同,二. 线性,如果,则,是以 为周期的。,三. 时移与频移性,四. 时间反转:,如果,则有,如果,则,例：求,的傅里叶变换。,解：利用时移性质和线性性质:,又,由线性性质,五. 共轭对称性,1. 若 是实序列，则,如果,则有,因此,2. 若,是实偶信号,则,结论： 是实偶函数，则 也是实偶信号。,由共轭对称性知,由于,由时间反转性质,结论： 是虚奇函数。,3. 若,是实奇信号,则,于是有:,4.若将实信号用实偶部来表示，即,说明:这些结论与连续时间情况下完全一致。,六. 时域差分与求和,如果,则有,时域差分,时域求和,例:,求,的傅里叶变换。,解：由积分时域求和性质求解：,七. 时域与频域的尺度变换,n是k的整倍数，k为正整数,其它n,即信号的反转性质,书P268，图5.13,则,例：由尺度变换,即,八. 频域微分特性,如果,则有,九. 帕斯瓦尔定理,若,则信号的能量为：,非周期信号能量,周期信号功率,5.4 时域卷积性质,若,卷积特性是频域分析LTI系统的理论基础。,则,例:利用卷积性质，证明单位阶跃函数的傅里叶变换。,证明：已知累加器可表示为：,则由卷积性质：,5.5 时域相乘性质调制特性,调制特性在信息传输中是极其重要的。,若,则,例:,由此可见，周期卷积可以转化成非周期卷积来求解。 见例题5.15,求,解:, 5.7 对偶性,主要内容,离散时间傅里叶变换与离散时间傅立叶级 数的对偶性,2. 离散时间傅里叶变换与连续时间傅里 叶级数间的对偶,一、离散时间周期信号傅里叶变化与傅 里叶级数的对偶性,对离散周期序列,系数 也是周期性序列，记为,令,则上式可变为,即,与离散信号的傅里叶 级数表示式相同,所以离散时间傅里叶级数有如下对偶关系：,例:利用傅立叶系数的对偶性，可以从时移 频移， 过程如下：,利用时移性质有:,由对偶性有:,即是频移特性,P157傅里叶级数的时间反转性质,二、离散时间傅里叶变换与连续时间傅里叶级 数间的对偶,是一个以 为周期的连续函数,离散时间信号 的傅里叶变换对：,连续信号的傅里叶级数表示式：,据此可以构造如下周期性连续时间信号及其傅里叶系数：,利用这一对偶关系,可以将DTFT的若干特性对偶到CFS中去。,DTFT与CFS的对偶,即可得到离散时间傅里叶变换和周期连续时间傅里叶级数之间，如下对偶关系：,例:从连续傅里叶级数的时域微分到离散傅里叶变换的频域微分。,-CFS的时域微分特性,对偶性质：,-DTFT的频域微分特性,再由,再由对偶性质：,可以将对偶关系归纳图如下表,连续 周期,离散 非周期,连续时间傅里叶级数CFS,离散时间傅里叶级数DFS,离散 周期,离散 周期,连续时间傅里叶变换CTFT,连续 非周期,连续 非周期,离散时间傅里叶变换DTFT,离散 非周期,连续 周期,非周期、连续,非周期、离散,周期、 离散,周期、 连续,连续、非周期信号,离散、非周期信号,连续、周期信号,离散、周期信号,时域信号,频域频谱,5.8 离散时间LTI系统的频域分析,一、LTI系统的频域分析,时域：,频域：,二、由线性常系数差分方程表征的系统,对如下线性常系数差分方程：,两边傅里叶变换，有差分和线性性质得：,例：对LTI系统,对求其单位冲激响应 。,解：由差分方程的频率响应的求解公式, 5.9 小结,从离散时间傅里叶级数入手，推导出非周期离散时间的傅里叶变换，进而推导出周期性序列的傅里叶变换；,通过对DTFT性质的讨论，揭示了离散时间信号时域与频域特性关系， DTFT许多性质在CTFT中都有相对应的结论,它们也存在一些差别（DTFT总是以2为周期的）；,通过卷积特性的讨论,对LTI系统建立了频域分析的方法，同样地,相乘特性的存在则为离散时间信号的传输技术提供了理论基础；,对偶性的讨论，将连续时间信号 、离散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述的几种工具联系起来,并为这种联系提供了重要的理论根据；,线性常系数差分方程描述的LTI系统，容易求出系