次课相似矩阵及矩阵的对角化.ppt

5.3 相似矩阵,一、相似矩阵的概念,二、相似矩阵的性质,三、n 阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件,一、相似矩阵的概念,定义1 设A，B为n阶方阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P 1 A P= B 成立，则称矩阵A与B相似，记为AB。称P为相似变换矩阵。,相似关系是矩阵间的一种等价关系，即满足 自反性： A A ， 对称性：若AB，则B A 传递性：若AB， B ，则 A ,1. 如果方阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相 同的特征值。即 若AB，则 |lE-A|=|lE-B|,|lE-B|,=|P-1(lE)P -P-1AP |,=|lE-P-1AP|,=|P-1(lE-A)P|,=|P-1|lE-A|P|,=|lE-A|，,二、相似矩阵的性质,A与B有相同的特征多项式，,所以它们有相同的特征值。,2. 相似矩阵的行列式相等。即若AB，则|A|=|B|,|B| =|P-1AP|=|P-1| |A| |P|=|A| |P-1P| =|A|,证明：因为P-1AP=B，,3.相似矩阵有相同的迹。,即 若AB，则,相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。 若都可逆，其逆矩阵也相似。,5. 相似矩阵有相同的秩。即若AB，则R（A）=R（B）,注意：以上性质均为相似的必要条件，可以用来 排除哪些矩阵不相似。,例5 若相似于对角阵L，则存在可逆阵，使,则 A= P L P-1 A= （P L P-1 ）（ P L P-1） P L P-1 , A A A （P L P-1）（ P L P-1） P LP-1 ,Am P L m P-1,证明,因为相似于对角阵L，故存在可逆阵，使,P-1 A P= L,一般的： Am P L m P-1。,利用对角矩阵计算矩阵多项式,利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 .,定理,证明,例1 若,求 x，y,解得： x = -17, y= -12,解：由于和相似，所以tr(A) = tr(B), |A|=|B| , 即,解：由于矩阵和相似，所以|A|=|D|, 即 |A| = |D| 12.,例 设3阶方阵A相似于矩阵 ，求 |A| ,三、n 阶方阵与对角矩阵相似的条件,相似矩阵具有许多共同的性质，因此，对于n 阶方阵A， 我们希望在与A相似的矩阵中寻求一个较简单的矩阵。在研究A的性质时，只需先研究这一较简单矩阵的同类性质。,下页,若 方阵A与一个对角阵L相似，则称方阵A可对角化。 记为 A L，并称 L 是 A 的相似标准形。,问 n 阶方阵A与一个对角矩阵L相似的条件？,=(l1X1, l2X2, , ln Xn),(X1, X2, , Xn),思考题,=?,下面讨论对角化的问题,这说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化。,n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。,二、矩阵的对角化（利用相似变换把方阵对角化）,定理5.3(P130) 阶矩阵 可对角化（与对角阵相似）,有 个线性无关的特征向量。,注意：这时P和对角阵是如何构成的？,可验证 线性无关，故A可对角化.见后面注,第1步 求特征值,即求 的基础解系,第2步 求线性无关的特征向量，,例2 讨论矩阵 是否可对角化.若可以，求,可逆矩阵P使 为对角矩阵.,参见5.1例3,第3步 把线性无关的特征向量拼成可逆矩阵P.,第4步 写出相似变换及对角矩阵.,注 下面的定理告诉我们，本题中 的线性无关性不需要验证.,如果确定A是否有N个线性无关的特征向量？,例6、,矛盾。,证明,证明,则,即,类推之，有,把上列各式合写成矩阵形式，得,(逆命题不成立),不同特征值对应的线性无关的特征向量 合并以后仍是线性无关的。,即设 是矩阵A的不同的特征值，,又设 对应的无关特征向量为,对应的无关特征向量为,对应的无关特征向量为,则,仍是线性无关的。,定理5.4,上式两边左乘 A 得,再由 线性无关得,类似可得,由假设 得,设 的所有不同的特征值为,则,注： 就是 的重根数，称之为 的(代数)重数， 就是 对应的最大无关特征向量的个数，称之为 的几何重数。,该定理说明：任一特征值对应的无关特征向量的个数至少有一个，至多不会超过它的重数。如果是单重特征值，它有一个且仅有一个无关的特征向量。,定理5.5,定理5.6 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。,即 设,互不同，此时,则 A可对角化的充要条件是,亦即： 的重数 恰好等于它对应的最大无关特征,向量的个数。,简称:几重特征值有几个特征向量.,定理5.6 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。,简称:几重特征值有几个特征向量.,例. 判断下列矩阵是否下列 矩阵是否相似于对角阵，若相 似求可逆矩阵，使P-1 A P= L,解：(2).矩阵B的特征方程为,|E - B|,=(l-2)(l-1)2=0，,矩阵A的特征值为： l1l2=1, l32，,对于特征值l1l2=1, 解线性方程组(E-B)Xo，,B不能对角化,判断n阶方阵A能否对角化以及对角化的具体步骤为：,的基础解系：Xi1，Xi2，Xiki,3.当Ln 时 ，A不能对角化；当 L=n 时，A可以对角化。,4.构造可逆矩阵P=（X1，Xn），则,2. 对每个特征值求,1. 求A的所不同特征值l1. ls,解： 由和相似得： tr(A)=tr(B) |A|=|B|,l1l2=2, l36,对于特征值l1l2=, 解线性方程组(E-A)Xo，,对于特征值l3=6，解线性方 程 组(6E-A)xo，,由于和相似，且是一 个对角阵，可得的特征值是,所以,解：由 a1=a1，a=，a=-a3 可得： l1， l0， l-1 是的特征值， a1， a， a是对应于上述特征 值的特征向量,容易验证a1， a， a是阶方 阵的个线性无关的特征向量,所以相似于对角阵 diag(1, 0, -1),取 （a1， a， a） 则有P-1 A P= L ，所以 A = PL P-