概率论与数理统计第一章课件.ppt

概率统计,概率论与数理统计,第一章_1,第一节 随机试验,第二节 样本空间、随机事件,第三节 频率与概率,第四节 等可能概型（古典概型）,第五节 条件概率,第一章 概率论的基本概念,第六节 独立性,第一章_2,第一章 概率论的基本概念,确定性现象：,统计规律性,随机现象：,在一定条件下必然发生的现象.,在个别试验中其结果呈现出 不确定性 ,在大量重复试验中其结果又具有 统计规律性 的现象.,Section1_1,随机试验：,第一节 随机试验,随机试验，简称 试验 ., 试验可在相同的条件下重复进行；,满足以下三个特点的试验称为, 每次试验的可能结果不止一个，但所有的可能,结果是明确可知的；, 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,Section2_1,第二节 样本空间、随机事件,随机试验 E 的所有可能结果所组成的 集合 称为,试验 E 的 样本空间 . 记为 S 或 .,样本空间的元素，即 E 的每一个结果称为 样本点 .,一、样本空间,例1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况., = H , T ,例2. 将一枚硬币抛掷三次, 观察正反面出现的情况., = HHH , HHT , HTH , HTT ,THH , THT , TTH , TTT ,Section2_1_1,例3. 将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数., = 0 , 1 , 2 , 3 ,例4. 抛一颗骰子，观察出现的点数., = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,例5. 观察某天通过某路口的汽车的数目., = 0 , 1 , 2 , 3 , ,例6. 在区间0 , 1上任取一数，观察所取到的数., = x | 0 x 1 ,Section2_2,试验 E 的样本空间 的子集，或试验 E 的满足某,些条件的可能结果的集合，称为 E 的 随机事件 ，简称,事件 .,二、随机事件,在每次试验中，当且仅当 事件中的 一个样本点,出现 时，称这个 事件发生 .,基本事件：,由一个样本点组成的单点集.,必然事件：,样本空间 ，,即每次试验一定发生的事件.,不可能事件：,空集 ，,即每次试验一定不发生的事件.,Section2_2_1,随机事件与集合,样本空间 = ：全集,样本点 ： 中的元素,随机事件 A ：由具有某些,特性的样本点 所组成的样本,空间 的一个子集，即 A ., A ,Section2_2_2,例7. 将一颗骰子抛掷若干次，直到掷出的点数之,和超过 2 为止. 写出样本空间与事件,A = 恰好抛掷骰子一次 .,解：, = 3 , 4 , 5 , 6 ,12 , 13 , 14 , 15 , 16 ,21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 ,111 , 112 , 113 , 114 , 115 , 116 ,A = 3 , 4 , 5 , 6 ,Section2_3,1. 包含,含义：事件 A 发生必然导致事件 B 发生.,三、事件间的关系与事件的运算,若 A B ，则称 事件 B 包含事件 A .,若 A B 且 B A ，则称事件 A 与事件 B 相等 ，,记作 A = B .,Section2_3_1,事件 AB 发生.,事件 B 的 和事件 或 并事件 .,2. 和（并）,含义：当且仅当事件 A、B 中至少有一个发生时，,事件 AB = | A 或 B 称为事件 A 与,称 为 n 个事件 的和事件；,称 为可列个事件 的和事件.,Section2_3_2,事件 AB 发生.,事件 B 的 积事件 或 交事件 .,3. 积（交）,含义：当且仅当事件 A 与事件 B 同时发生时，,事件 AB = | A 且 B 称为事件 A 与,称 为 n 个事件 的积事件；,称 为可列个事件 的积事件.,Section2_3_3,事件 AB 发生.,4. 差,含义：当且仅当事件 A 发生、事件 B 不发生时，,事件 B 的 差事件.,事件 AB = | A 且 B 称为事件 A 与,Section2_3_4,5. 互不相容（互斥）,含义：事件 A 与事件 B 不能同时发生.,互不相容 的，或 互斥 的.,若 AB = ，则称事件 A 与 事件 B 是,可列个（有限个）事件 两两互不相容 .,Section2_3_5,6. 对立（互逆）,含义：在每次试验中，事件 A 与事件 B 必有 一个,互为 对立事件 或 互为 逆事件 .,若 AB = 且 AB = ，则称事件 A 与事件 B,发生，且 仅有 一个发生.,事件 A 的对立事件记作： .,注意：,AB,Section2_3_6,例1. 将一颗骰子抛掷两次，观察掷出的点数.,令 A = 两次掷出的点数相同 ， B = 点数之和为 10 ,C = 最小点数为 4 ., 写出该试验的样本空间., 用样本点表示事件 A , B , C 以及 AB , ABC ,AC , CA , A( BC ) .,解：, = 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 ,21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 ,31 , 32 , 33 , 34 , 35 , 36 ,41 , 42 , 43 , 44 , 45 , 46 ,51 , 52 , 53 , 54 , 55 , 56 ,61 , 62 , 63 , 64 , 65 , 66 ,Section2_3_6_1,A = 11 , 22 , 33 , 44 , 55 , 66 ,B = 46 , 55 , 64 ,C = 44 , 45 , 46 , 54 , 64 ,AB = 11 , 22 , 33 , 44 , 55 , 66 , 46 , 64 ,ABC = ,AC = 11 , 22 , 33 , 55 , 66 ,CA = 45 , 46 , 54 , 64 ,A( BC ) = 11 , 22 , 33 , 44 , 55 , 66 , 46 , 64 ,Section2_4,2. 交换律：AB = BA ， AB = BA .,四、事件运算的性质,3. 结合律：A( BC ) = ( AB )C ，,A( BC ) = ( AB )C .,4. 分配律：A( BC ) = ( AB )( AC ) ，,A( BC ) = ( AB )( AC ) .,1. 吸收律： 若 A B ，则 AB = A ，AB = B .,（交 取小，并 取大）,Section2_4_1,6. 双重否定律： ., 差积转换公式： ., 直和分解公式：将一事件分解为若干个互不相,5. 德摩根律： .,其它的重要性质：,容事件之和.,Section2_4_2,例2. 设 A , B , C 为三个事件，试用 A , B , C 表示,下列事件：, A , B 中 A 发生；只有 A 发生., A , B , C 中至少有一个发生；恰好有一个发生., A , B , C 中至少有两个发生；恰好有两个发生 ., A , B , C 中最多有一个发生., A , B , C 都发生；都不发生；不都发生 ., A , B 中至少有一个发生，但 C 不发生.,解：, A ；, A + B + C ；,Section2_4_2_1, AB + BC + AC,Section2_4_3, 第 2 次出现正面., 只有第 2 次出现正面., 第 2 次才出现正面., 正面出现 2 次.,例3. 将一枚硬币抛掷三次，设 表示第 i 次出现,正面 ( i = 1 , 2 , 3 )，试用 表示下列事件：,解：,Section2_4_4,例4. 设 A , B 为两个任意事件，化简下列事件并,说明其含义：, ., .,解：,Section3_1,第三节 频率与概率,定义 在相同的条件下，进行 n 次试验，在这 n 次,一、频率,试验中，事件 A 发生的次数 称为事件 A 发生的 频数.,比值 称为事件 A 发生的 频率 ，记作 .,频率具有以下 性质 ：, ；, ；, 若 是两两互不相容的事件，则,Section3_2,定义 设试验 E 的样本空间为 ，对于 E 的任意,二、概率,一个事件 A 赋于一个实数 P (A) ，称为事件 A 的 概率 ,如果集合函数 P ( ) 满足以下 三条公理 ：, 非负性：对于任意事件 A ，有 P (A) 0 ；, 规范性：对于必然事件 ，有 P () = 1 ；, 可列可加性：对任意两两互不相容的事件列：,，有,Section3_3,三、概率的基本性质, 对于不可能事件 ，有 P ( ) = 0 ；, 设 A , B 是两个事件，若 A B ，则有,的事件，则有, 有限可加性：若 是两两互不相容, 对于任一事件 A ，有 .,注意：由 P(A) = 0 不能推出 A 是不可能事件.,Section3_3_1, 加法公式：对于任意两事件 A , B 有, 求逆公式：对于任一事件 A , 有, 减法公式：对于任意两事件 A , B 有,Section3_3_2, 直和公式：对于任意两事件 A , B 有,Section4_1,第四节 等可能概型（古典概型）,设随机试验 E 的样本空间为 ，如果 E 满足：, 有限性： 只包含有限个基本事件.,则称试验 E 为 等可能概型 或 古典概型 ., 等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.,对于古典概型，事件 A 的概率为：,Section4_2,例1. 将一枚硬币抛掷三次，求下列事件的概率：, 恰好有一次出现正面., 恰好有二次出现正面., 至少有一次出现正面.,解：, = HHH , HHT , HTH , HTT ,THH , THT , TTH , TTT ,Section4_3,1. 加法原理,假设完成一件事情有 n 种不同的方式，而第 i 种,排列组合的基本知识,方式又有 种不同的方法 ，则完成,这件事情共有 种不同的方法.,2. 乘法原理,假设完成一件事情必须经过 n 个不同的步骤，而,第 i 个步骤又有 种不同的方法 ，则,完成这件事情共有 种不同的方法.,Section4_3_1,3. 排列, 不允许重复的排列：从 N 个 不同 的元素中任, 允许重复的排列：从 N 个不同的元素中有放回,取 m (m N ) 个进行排列，排列数为,地任取 m 个进行排列，排列数为 .,4. 组合,不允许重复的组合：从 N 个 不同 的元素中任取,m (m N ) 个进行组合，组合数为,Section4_4,例1. （取球模型）,设一袋中装有 4 个红球，5 个白球. 现按下列三种,方式从袋中任取 3 个球，求取出的球中有 2 个红球，,1 个白球的概率., 一次取 3 个., 一次取 1 个，取后不放回., 一次取 1 个，取后放回.,解：,无序,有序,Section4_4_1,注意：, 有序与无序 要统一 ., 不放回地一次取一个，取 n 次, 放回与不放回 结果不同 .,与一次取 n 个 结果相同 .,Section4_5,例2. （抽签问题）,设一袋中有 10 个球，其中白球 2 个，黑球 8 个.,从中随机地逐一取球，取后不放回，求第 8 次取到白,球的概率.,解：,注意：抽签的结果与抽签的顺序无关.,Section4_5_1,例如 某商店有 10 件商品，其中有 3 件一等品，,先后有 2 位顾客去购买这种商品，每人随机购买一件.,求下列事件的概率：, 第 1 位顾客买到一等品., 第 2 位顾客买到一等品.,Section4_6,例3. （取数问题）,事件的概率., 三个数字中不含 0 和 5 ., 三个数字中不含 0 或 5 ., 三个数字中含 0 但不含 5 .,从 09 十个数字中任取 3 个不同数字，求下列,解：,Section4_6_1,或者,Section4_7,例4. （组数问题）,从 09 十个数字中任取 4 个数字，求能排成一个,四位偶数的概率.,解：,Section4_8,例5. （分配模型）,将 m 个球随机地放入 N（m N）个盒子中，每个,盒子可放入任意多个球. 试求下列事件的概率., 某指定的 m 个盒子各有一个球., 恰好有 m 个盒子各有一个球., 某指定的 k（k m）个盒子各有一个球., 某指定的一个盒子中恰好有 k（k m）个球.,解：,Section4_8_1,Section4_9,将 3 封信随机地投入到 4 个空邮筒中，求邮筒中,信的最大数量分别为 1，2，3 封的概率.,对于 分配问题：将 m 个不同的球随机地分配到,N 个不同的盒子里，分配方案数 为, 每个盒子可容纳任意多个球 ： ., 每个盒子最多可容纳一个球 ： .,类似的问题：生日问题，住房分配问题，乘客乘车,（电梯）问题.,Section4_10,例6. 设事件 A、B、C 满足,则 P( AB C ) =_.,解：,由于,又,得,得,所以,Section4_11,例7. 设事件 A , B 仅发生一个的概率为 0.3，且,P(A) + P(B) = 0.5 ，求 A , B 至少有一个不发生的概率.,解：,由于,又,所以,得,Section4_12,解题思路：, 利用概率的性质与公式., 利用公式求概率.,解题方法：, 确定试验的基本事件的结构特征., 计算基本事件总数与事件 A 包含的基本事件数.,古典概型中事件概率求解的思路与方法：, 利用对立事件., 直接计算基本事件数., 将复杂事件分解为互斥事件之和.,自放_引言_1,概率论 研究起源于意大利文艺复兴时期. 伽利略,的论文论赌博提出了概率论的基本原理.,概率论的真正历史是从 17 世纪中叶开始的. 其主,要奠基人法国数学家 帕斯卡尔（Blaise Pascal）和,费马特（Pierre Fermat）将赌博中出现的具体问题归纳,为一般的 概率原理 . 到18世纪，瑞士数学家 J. 贝努里,（Jakob Bernoulli）全面论述了 概率论原理 并将概率论,建立在数学的基础上.,到 19 世纪，开始利用概率论 研究社会经济现象，,形成以概率论为基础发展起来的以随机现象为主要研究,对象的 数理统计 . 20 世纪 50 年代以后，受计算机、,自放_引言_2,信息论等现代科学技术的影响，统计理论、方法和应用,进入了一个全面发展的阶段，出现 新的研究领域 ：,多元统计分析、 时间序列分析、贝叶斯统计、非参数,统计、线性统计模型等. 随着统计方法应用领域的不断,扩展，几乎所有的科学研究都要用到统计学.,统计学 产生与发展的 两条线索： 政治算术 ,社会经济统计 ：人口统计、国民经济统计、物价指数、,保险统计、卫生医疗统计、工农业统计等., 概率论 数理统计 .,自放_事件表示, AB ：事件 A 发生，同时 事件 B 不发生，即, A + B ：事件 A 、B 至少 有一个发生；, AB ：事件 A 、B 同时（都） 发生.,利用事件的运算 表示事件：,事件 A 发生，或者 事件 B 发生., ：事件 A 不发生.,Section5_1,第五节 条件概率,的情况. 设 A 表示 “至少有一次出现正面”，B 表示,“两次掷出同一面”.,引例 将一枚硬币抛掷两次，观察正反面出现, 试用集合表示 、A、B、AB，并求 P(A)、,P(B)、P(AB) .,一、条件概率,Section5_1_1,解：, = HH , HT , TH , TT ，,A = HH , HT , TH ，,B = HH , TT ，,AB = HH ，,Section5_1_2,定义 设 A , B 是两个事件，且 P (A) 0，称,为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的 条件概率 .,条件概率 具有概率的三个基本属性：, 非负性：对于任意事件 B ，有 P (B | A) 0 ；, 规范性：对于必然事件 ，有 P ( | A) = 1 ；, 可列可加性：对任意两两互不相容的事件列：,，有,Section5_1_3,理解： P(AB) 、P(B | A) 与 P(B) 之间的区别., P(AB) 表示事件 A 与 B 同时发生的概率，在计,算 P(AB) 时，试验的所有可能结果所构成的集合为样本, P(B | A) 表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发,生的概率，在计算 P(B | A) 时，试验的所有可能结果所,空间 .,构成集合为 A ., 在计算 P(B) 时，试验的所有可能结果所构成的,集合为样本空间 .,Section5_2,乘法定理 设 P (A) 0，则有,二、乘法定理,推广 设 P (AB) 0，则有,Section5_2_1,例1. 设某批产品中有 a 个合格品，b 个废品. 现,从中不放回地随机抽取两次，一次抽取一个. 求下列,事件的概率：, 第一次抽到合格品., 已知第一次抽到合格品，第二次抽到合格品., 二次都抽到合格品., 第二次才抽到合格品., 第二次抽到合格品.,Section5_2_1_1,解：,设 表示第 i 次抽到合格品（i = 1 , 2）.,Section5_3,三、全概率公式和贝叶斯公式,为 E 的一组事件. 若,定义 设试验 E 的样本空间为 ，,则称 为 的一个 划分（或 完备事件组）.,若 为 的一个划分，则对 每次试验 ,事件 中 必有一个且仅有一个 发生.,Section5_3_1,定理 设试验 E 的样本空间为 ，A 为 E 的事件, 有,为 的一个划分, 且,称为 全概率公式 ., 若 P(A) 0，则有,称为 贝叶斯 公式（或 逆概公式、后验概率公式）.,Section5_3_2,适合 全概 与 逆概公式 求解的概型：,从 时间顺序（或逻辑关系）上看，试验可分为,两个阶段（或 层次）进行，第一阶段的试验结果会,影响第二阶段某试验结果 A 的发生，第一阶段的所有,可能结果是已知的，但具体哪一个结果发生是未知的., 若求 P(A) ，则利用 全概公式 ., 若已知 A 发生，求它是由第一阶段某结果,引起（或导致）的概率，则利用 逆概公式 .,利用全概或逆概公式的 关键：选取完备事件组，,即确定第一阶段试验的 所有可能结果 .,Section5_3_3,3 个红球和 3 个白球. 从袋中任取 2 个球放入盒中，然,后从盒中任取 1 个球，求这个球是白球的概率.,例1. 设盒中装有 4 个红球和 2 个白球，袋中装有,解：,设 A 表示取到白球，,表示从袋中取出的两,个球中有 i 个白球（i = 0 , 1 , 2）.,Section5_3_4,产品，三个车间生产的产量分别占总产量的 25% ,35%，40%，三个车间生产的次品率分别为 5% , 4% ,2%. 现从该厂的所有产品中任取一件进行检验., 如取到次品，求它是 1 号车间生产的概率., 求取到次品的概率.,解：,设 A 表示取到次品，,表示所取到的产品是,由第 i 号车间生产的（i = 1 , 2 , 3）.,例2. 设某工厂有1 , 2 , 3 号三个车间生产同一种,Section5_3_4_1,Section6_1,第六节 独 立 性,正反面出现的情况”. 设 A 表示 “甲出现正面”，B 表示,“乙出现正面”. 求 P(A) , P(B) , P(AB) , P(B | A) .,引例 设试验 E 为 “抛甲、乙两枚硬币，观察其,解：, = HH , HT , TH , TT ，,A = HH , HT ，,B = HH , TH ，,AB = HH .,Section6_1_1,定理 设 A , B 是两事件，且 P(A) 0 . 则,则称事件 A 与 B 相互独立 ，简称 A , B 独立 .,定义 设 A , B 是两事件，如果满足等式,A 与 B 相互独立,Section6_1_2,性质 若事件 A 与 B 相互独立，则, 概率为 1 或 0 的事件与任何事件相互独立.,事件 A 与 B 相互独立,Section6_1_3,如果 A , B , C 满足条件，则称事件 A , B , C,定义 设 A , B , C 是三个事件，对于条件：,两两独立 ，如果 A , B , C 满足条件，则称事,件 A , B , C 相互独立 .,若 m + n 个事件 相互独立,则事件 与 相互独立，,后所得的事件.,其中 分别表示对其相应事件进行各种事件运算,Section6_1_4,元件（或系统）的 可靠性 .,例1. 一个元件（或系统）能正常工作的概率称为,如图所示，设有4个独立工,作的元件1 , 2 , 3 , 4 按以下两种方式联接构成两个系统.,设第 i 个元件的可靠性为 .,求两个系统的可靠性.,系统 1,系统 2,Section6_1_5,解：, 系统 1 正常工作的概率 p,设 表示第 i 个元件正常工作., 系统 2 正常工作的概率 q,Section总结_1,第一章 总 结,一、事件的关系、运算及概率的重要性质,1.,2.,Section总结_1_1,注意：互斥、互逆、独立 三者之间的关系, 若 A 与 B 互逆，则 A 与 B 互斥，反之不然., 若 A 与 B 互斥，且相互独立，则事件 A 与 B,中 至少有一个概率为零 .,设 0 P(A) 1 , 0 P(B) 1 ，若 AB 或,A B ，则 A 与 B 必不相互独立 .,3. 若事件 相互独立，则,Section总结_2,二、求事件概率的 典型方法, 利用条件概率与乘法公式., 直接计算（取球模型、分配模型）., 利用对立事件., 利用全概与逆概公式., 利用概率的性质、公式及独立性., 将事件分解为若干个互斥事件之和