现代控制理论第三章3至5节-广东工业大学.ppt

第三节 能观测性及其判据,状态能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。 如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都能由输入(控制项)来影响,并能在有限时间内控制到空间原点,那么称系统是能控的, 或者更确切地说,是状态能控的。 否则,就称系统为不完全能控的。,复习：能控性定义,系统的能控性实质就是系统的输入 对系统状态 的作用。,系统的能控性实质就是系统的输入 对系统状态 的作用。,输入,状态,输出,关系？,能控性,能观测性,本节主要讨论线性定常连续系统的状态能观性问题。 关键问题: 1. 基本概念: 状态能观性 2. 基本方法: 状态能观性的判别方法,重点,本节首先从物理直观性来讨论状态能观性的基本含义,然后再引出状态能观性的定义。 下面将看到,这种从直观到抽象的讨论,对于理解能观性严格定义的确切含义是有益的。 本节讲授顺序为: 能观性的直观讨论 状态能观性的定义 线性定常连续系统的状态能观性判据,能观性的直观讨论 状态能观性反映系统外部可直接或间接测量的输出y(t)和输入u(t)来确定或识别系统状态的能力。 如果系统的任何内部运动状态变化都可由系统的外部输出和输入唯一地确定,那么称系统是能观的, 或者更确切地说,是状态能观的。 否则,就称系统为状态不完全能观的。 下面通过例子来说明能观性的意义。,例 考虑右图所示的电网络系统由输出变量的值确定状态变量值的能力问题。,当电阻R1=R2,电感L1=L2,输入电压u(t)=0,以及两个状态变量的初始状态x1(t0)=x2(t0)且为任意值时,必定有i3(t)=0,即输出变量y(t)恒为零。 因此,由恒为零的输出y(t)显然不能确定通过两个电感的电流值i1(t)和i2(t),即由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值。,该电网络模型中,u(t)为输入电压, y(t) =i3(t)为输出变量,通过两电感的电流i1(t)和i2(t)分别为状态变量x1(t)和x2(t)。,图1电网络,但当电阻R1R2或电感L1L2时,则上述由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值的特性可能不成立。 这种能由输出变量值确定状态变,量值的特性称为状态能观,若由输出变量值不能唯一确定出状态变量值的特性则称为状态不能观。,从状态空间模型上看， 当选择两电感的电流i1(t)和i2(t)分别为状态变量x1(t)和x2(t)时，状态空间模型为,当电路中电阻值R1=R2=R,电感值L1=L2=L时,若输入电压u(t)突然短路,即u(t)=0,则状态方程为 显然,当状态变量的初始状态为x1(t0)=x2(t0)且为任意值时,上述状态方程的解必有x1(t)=x2(t),故有y(t)=i3(t)=0,即输出变量y(t)恒为零。 因此,由观测到的恒为零的输出变量y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值,即由输出i3(t)不能确定通过两个电感的电流值i1(t)和i2(t)。,但当电路中电阻值R1R2或电感值L1L2时,则上述由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值的特性可能不成立。 这种由可测量的输出变量的值能惟一确定状态变量的值的特性称为状态能观,若不能惟一确定则称为状态不能观。,定义 若线性连续系统,对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域)和初始状态x(t0), 存在另一有限时刻t1(t1t0,t1T), 根据在有限时间区间t0,t1内量测到的输出y(t), 能够唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0), 则称在t0时刻的状态x(t0)能观; 若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能观,则称系统在t0时刻状态完全能观;,能观性的定义,若系统在所有时刻状态完全能观,则称系统状态完全能观,简称为系统能观。,若存在某个状态x(t0)不满足上述条件,称此系统是状态不完全能观的,简称系统为状态不能观。 ,根据能观测的定义做如下说明:,(1)一旦确定了初始状态,可以根据给定输入,利用状态转移方程,求出各个瞬时时刻的状态,(2)能观测性表示的是 反映状态向量 的能力,与控制作用没有直接的关系,因此在能观测问题时,不妨令U=0,(3) 推出,二、能观测性判据,1先把系统进行状态变换，把状态方程化为约当标准型，再根据约当化后的矩阵C 来判别其能观测性。,2直接根据状态方程的矩阵A和C，确定其能观测性。,约当标准型判据,1具有约当标准型的系统,（1）系统特征根为单根时,系统完全能观测的充要条件： 是矩阵 C 不包含元素全为零的列。,例题：判定下面系统是否能观测,（2）系统特征根有重根时,系统完全能观测的充要条件： 是矩阵 的第一列构成的矩阵 是列线性无关的。,例题：判定下面系统是否能观测,约当标准型判据,2具有一般形式的系统,系统的非奇异变换不改变系统的能观测性！,1. 代数判据（秩的判据） 线性定常连续系统(A,C)状态完全能观的充要条件为下述条件之一成立: 1. 矩阵函数CeAt的各列函数线性独立,即不存在非零常数向量fRn,使得 CeAtf0 2. 如下定义的能观性矩阵,满秩,即,比较一下能控性矩阵,1. 代数判据 定理4-7(线性定常离散系统能控性秩判据) 线性定常连续系统(A,C)状态完全能观的充要条件为下述条件之一成立: 1. 矩阵函数CeAt的各列函数线性独立,即不存在非零常数向量fRn,使得 CeAtf0 2. 如下定义的能观性矩阵,满秩,即,比较一下能控性矩阵,rankQo=n 证明 对于线性定常系统,由能观性定义可知,其状态能观性与初始时刻无关。 因此,不失一般性,可设初始时刻t0为0。 根据第3章中输出方程解的表达式,有 y(t)=CeAtx(0) 由能观性的定义可知,线性定常连续系统的状态是否完全能观,等价于上述方程是否有x(0)的唯一解问题。 下面将利用上述方程分别证明判别状态能观性的上述两个充要条件。,(1) 证明条件1。 先证充分性(条件结论)。 即证明,若CeAt的各列函数线性独立,则系统状态能观。 用反证法证明:设状态不能观,但CeAt的各列函数线性独立。 充分性反证法证明的思路,状态不能观,存在两个不同的初始状态x1(0)和x2(0)所对应的输出完全一致,由输出的解的表达可得: CeAt的各列函数线性相关,与假设矛盾,充分性得证,证明过程:,状态不能观,则意味着存在某一初始状态x(0),由有限时间区间t0,t1内观测到的输出y(t),由方程y(t)=CeAtx(0)得不到x(0)的唯一解。 设x1(0)和x2(0)分别是由方程y(t)=CeAtx(0)确定出的两个不同初始状态,即x1(0)和x2(0)分别满足 y(t)=CeAtx1(0) t0 y(t)=CeAtx2(0) t0 将上述两式相减,可得 0=CeAtx1(0)-x2(0) t0 而x1(0)-x2(0)为非零向量,因此上式恒成立的条件为CeAt的各列函数线性相关。这与前面的推论产生矛盾, 故原假定系统状态不能观,但CeAt的各列函数线性独立是不成立的。,因此,充分性得证。 再证必要性(结论条件)。 即证明,若系统状态能观,则CeAt的各列函数线性独立。 用反证法证明。设CeAt的各列函数线性相关,但状态能观。 必要性的反证法证明思路:,CeAt的各列函数线性相关,存在某非零初始状态f与零初始状态的输出均为0,由0输出不能确定初始状态是为零或者为f,状态不完全能观,与假设矛盾,必要性得证,证明过程: CeAt的各列函数线性相关,即存在非零向量fRn,使得 CeAtf0 因此,若x(0)=f,则有 y(t)=CeAtx(0)=0 t0 而当x(0)=0时,系统输出亦恒为零。因此,当系统输出恒为零时,由方程y(t)=CeAtx(0)不能确定出初始状态x(0)=f或0,即有部分状态不能观。这与前面的假设矛盾, 故原假定CeAt的各列函数线性相关,但状态能观是不成立的。 因此,必要性得证。,代数判据(7/13),(2) 下面通过证明CeAt的各列函数线性相关等价于能观性矩阵Qo非满秩来证明定理中的条件(2)。即证明 (结论A)若CeAt的各列函数线性相关,则能观性矩阵Qo非满秩,以及 (结论B)若能观性矩阵Qo非满秩,则CeAt的各列函数线性相关。 下面分别加以证明。,先证结论A。 即需证明:若CeAt的各列函数线性相关,则能观性矩阵Qo非满秩。 若CeAt的各列函数线性相关,则存在非零向量f使得 CeAtf0 由于CeAt连续并有无穷阶导数,因此,若上式对任意时间t恒成立,则对该方程的两边求任意阶导数方程依然成立,即 CAeAtf0 CA2eAtf0 CAn-1eAtf0,令上述两式的t=0,则有,因此,若CeAt的各列函数线性相关,则能观性矩阵Qo非满秩,即结论A成立。,例：判断系统的观测性,例：求证下面系统一定是能观测的,小节,能观测性的定义 能观测性的判别方法： 标准型的判定 秩判据,第四节离散系统的能控性与能观测性,本节的关键问题为: 基本概念: 线性离散系统的状态能控性/能观性 基本方法: 线性离散系统状态能控性/能观性的判别方法 离散化系统的能控性/能观性 本节的主要内容为: 线性定常离散系统的状态能控性与能达性 线性定常离散系统的能观性 离散化线性定常系统的状态能控性和能观性,重点!,线性定常离散系统的状态能控性与能达性 状态能控性讨论的是系统输入对状态空间中任意初始状态控制到坐标原点(平衡态)的能力, 而状态能达性讨论的是系统输入对坐标原点(平衡态)的初始状态控制到状态空间中任意状态的能力。 对线性定常连续系统来说,状态能控性与能达性虽然定义不同,两者的判据却是等价的, 但对于线性定常离散系统来说,这两者无论定义还是判据有所不同。,与线性连续系统的状态能控性问题一样,对线性离散系统的能控性与能达性问题也可只考虑系统状态方程,与输出方程和输出变量y(k)无关。 对线性定常离散系统,我们有如下 状态能控性与能达性定义 线性定常离散系统的状态能控性判据 线性定常离散系统的状态能观性判据,一 离散系统的能控性定义：,对于n阶线性定常离散系统,若系统所有的状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的。,若存在一控制作用序列 ，能将某个任意的初始状态 在第 步上到达零状态，即 ，则称系统在第 步上是能控的。,定义(线性定常离散系统状态能达性定义) 对线性定常离散系统(G,H)， 若对某个最终状态x1,存在控制作用序列u(0),u(1), u(n-1),使得系统状态从零状态在第n步上到达最终状态x1,即x(n)=x1,则称此系统的状态x1是能达的。 若系统对状态空间中所有状态都能达,则称系统状态完全能达,简称为系统能达。 若系统存在某个状态x1不满足上述条件,则称此系统是状态不完全能达的,简称系统为状态不能达。,从能控性与能达性两者的定义可知,在系统控制问题中, 系统镇定问题多与能控性有关, 而跟踪、伺服问题多与能达性有关。,对于线性定常系统 如果存在一个分段连续的输入 ，能在有限时间区间 内，使系统由某一个初始状态 转移到指定的任意终端状态 ，则称状态 是能控的。,连续系统的能控性定义：,对于n阶线性定常离散系统,为完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵,的秩为 n，也就是,一 离散系统的能控性判据：,证明 由第3章的线性定常离散系统的解理论,可得状态方程的解如下:,设在第n步上能使初始状态x(0)转移到零状态,于是上式可记为,即,上式写成矩阵形式即为,这是一个非齐次线性代数方程,由线性方程解的存在性理论可知,上式存在控制序列u(0),u(1),u(n-1)的充要条件为 rankH GH Gn-1H=n,试判别下面系统的能控性,2 线性定常离散系统的能观性 与线性连续系统一样,线性离散系统的状态能观性只与系统输出y(t)以及系统矩阵G和输出矩阵C有关, 即只需考虑齐次状态方程和输出方程即可。 下面我们先引入线性定常离散系统状态能观性的定义。,对初始状态x(0),根据在n个采样周期内采样到的输出向量y(k)的序列y(0),y(1),y(n-1)能唯一地确定系统的初始状态x(0),则称状态x(0)能观; 若对状态空间中的所有状态都能观,则称系统状态完全能观,简称为系统能观。,定义 若线性定常离散系统,若存在某个状态x(0)不满足上述条件,称此系统是状态 不完全能观的,简称系统为状态不能观。,对于n阶线性定常离散系统,为完全能观测的充分必要条件是其能观测性判别矩阵,的秩为 n，也就是,离散系统的能观测性判据：,证明 本定理的证明可直接由线性代数方程组的解唯一性理论给出。 由第3章中线性定常离散系统的状态空间模型的求解公式,可得 y(0)=Cx(0) y(1)=Cx(1)=CGx(0) y(n-1)=Cx(n-1)=CGn-1x(0) 将上述n个方程写成矩阵的形式,有,因此,由线性方程的解存在性理论可知,无论输出向量的维数是否大于1,上述方程有x(0)的唯一解的充分必要条件为 rankQo=n 由能观性的定义可知,上式亦为线性定常离散系统(G,C)状态完全能观的充要条件。 于是定理得证。 ,例题：设离散系统的（G, C）矩阵如下，试判别其 能观性,连续系统离散化后的能控性与能观测性,线性定常系统方程为,（1）,定理 如果线性定常系统（1）不能控（不能观测），则离散化后的系统（2）必是不能控（不能观测）。其逆定理一般不成立。,定理 如果线性离散化后系统（2）能控（能观测），则离散化前的连续系统（1）必是能控（能观测）。其逆定理一般不成立。,定理 如果连续系统（1）能控（能观测），A 的全部特征值互异， ，并且对 的特征值，如果 与采样周期的关系满足条件,（3）,则离散化后的系统仍是能控（能观测）的。,3.5 能控性与能观测性的对偶原理,卡尔曼提出了: 一个系统的能控性等价于对偶系统的能观测性,重点