概率论与数理统计5.ppt

第五章 大数定理 中心极限定理,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科。 随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量的重复试验才能呈现出来。所以，要从随机现象中去寻求统计规律性，就应该对随机现象进行大量的观测。 研究随机现象的大量观测，常采用极限形式，由此导致了极限定理的研究。极限定理的内容很广泛，最重要的有两种：,“大数定律”和“中心极限定理”,对随机现象进行大量重复的观测，各种结果的出现的频率具有稳定性。,大数定律,大量地掷硬币 正面出现频率,字母使用频率,生产过程 中废品率,切比雪夫不等式,定理: 设随机变量X 的数学期望E(X)= ，方差D(X)= 2，则对任给的 0, 有,或,估计不等式,在随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望和方差，即可对X的概率分布进行估计。,证明：只对X 是连续型情况加以证明。 设X 的概率密度函数为 f(x)，则有,放大被积函数,放大积分区间,由切比雪夫不等式可以看出：若 越小,则事件|X-E(X)| 的概率越大，即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大.,切比雪夫不等式用于：估计概率、 证明不等式。,切比雪夫不等式的应用,例：已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在52009400之间的概率。,解：设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则,练一练,设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率,答：,几个常见的大数定律,定理1：切比雪夫大数定律,设随机变量序列 X1, X2, 相互独立，具有相同的期望和方差:E(Xi)= , D(Xi) = 2 (i=1, 2, ) ，则对任意的 0，有,记,令 n，并注意到概率小于等于1，有结论:,证明：,设X表示在n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是每次试验中事件A发生的概率，即 X B(n, p),引入,定理2：伯努利大数定律 -频率的稳定性,则X1, X2, , Xn 相互独立,都服从0-1分布,且,定理：伯努利大数定律 -频率的稳定性 设X是 n 次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数，恒有,伯努利大数定律表明：当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率X / n与事件A发生的概率 p 有较大偏差的概率很小。即从理论上严格证明了频率具有的稳定性。,定理的应用：可通过多次重复一个试验，确定事件A在每次试验中出现的概率,定 理 说 明,中心极限定理 Central limit theoerm,客观背景 在实际问题中，有许多随机现象可以看做是由很多因素独立影响的综合结果,而每一个因素对该现象的影响都很微小，但总起来却对总和有显著影响,那么描述这种随机现象的随机变量可以看成很多相互独立的起微小作用的因素的总和，它往往近似地服从正态分布。,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素(如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等)综合影响的.每个随机因素的对弹着点 (随机变量和)所起的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布呢？,中心极限定理,如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大,则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布.,自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现：正态分布在自然界中极为常见.,中心极限定理,中心极限定理,当 n 无限增大时，独立同分布随机变量之和的极限分布是正态分布； 当 n 很大时，二项分布可用正态分布近似。,中心极限定理是棣莫弗 (De Moivre) 在18世纪首先提出的，到现在内容已十分丰富；在这里，我们只介绍其中两个最基本的结论：,由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究n个随机变量之和本身，而考虑其标准化的随机变量： 的极限分布。,在概率论中，习惯于把随机变量之和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.,中心极限定理,定理1: 独立同分布的中心极限定理 林德伯格-列维(Lindeberg-Levy)中心极限定理,设 X1, X2, 是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi) = , D(Xi)= 2，则对任给 x (-, +), 均有,其中(x) 是标准正态分布 N(0, 1) 的分布函数。,还有另一记法:,定 理 说 明,定理的应用：在一般情况下，我们很难求出 的分布的确切形式，但当 n很大时，可以求出近似分布.,定理表明：对于独立的随机变量序列 Xn ，不管Xi (i=1,2,n)服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么当n充分大时，这些随机变量之和近似地服从正态分布，即,设随机变量X服从参数为(n, p)的二项分布(0p1),则对任意 x(-,+)，均有,定理2: 棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理,定理表明：当n很大，0p1是一个定值时(或者说，np(1-p)也不太小时)，二项分布 B(n, p) 近似正态分布 N(np,np(1-p).,一般地，如果随机变量 XB(n, p) ，则有,即,例1：设一批产品的强度服从期望为14，方差为4的分布，每箱中装有这种产品100件。求 (1) 每箱产品的平均强度超过14.5的概率； (2) 每箱产品的平均强度超过期望14的概率。,解：设Xi 是第i 件产品的强度(i =1,2,100)，且有 E(Xi)=14，D(Xi)=4，Xi 相互独立。则每箱产品的平均强度为,且,(1) 每箱产品的平均强度超过14.5的概率；,(2) 每箱产品的平均强度超过期望14的概率,例2：某公司有200名员工参加一种资格证书考试，按往年经验，考试通过率为0.8。试计算这200名员工至少有150人考试通过的概率。,解法一: 令 Xi 相互独立.,E(Xi)= 0.8， D(Xi)= 0.16 i=1,2,200,考试通过人数为 ，且有,于是,例2：某公司有200名员工参加一种资格证书考试，按往年经验，考试通过率为0.8。试计算这200名员工至少有150人考试通过的概率。,解法二: 设X表示通过考试的人数，则 X B(200,0.8) E(X)= 200*0.8=160， D(X)= 200*0.8*0.2=32,所以：,例3：已知一本300页的书中，每页印刷错误个数服从参数为0.2的泊松分布，求这本书印刷错误总数不多于70的概率。,解: 设Xi 表示第 i 页上的印刷错误个数(i=1,2,300), 则 Xi (0.2)且Xi 相互独立，且 E(Xi)= D(Xi )=0.2,例4：某市保险公司开办一年人身保险业务,被保人每年需交付保费160元。若一年内发生重大人身事故，其本人或家属获赔付金2万元。己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险。求保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率。,解：设X表示5000人中在一年内发生重大人身事故的人数，则 X B(5000,0.005), E(X)=25，D(X)=24.875,P(20万元总收益40万元),=P(200.0165000-2X40),例5：设某单位设置一台电话总机,共有200个分机,设每个分机有5%的时间要使用外线通话,并且每个分机使用外线与否是相互独立的,该单位需要多少外线才能保证每个分机要使用外线时可供使用的概率达到0.9?,解: 设单位需要n条外线，设随机变量X表示任一时间需要使用外线的分机数，则,X B(200,0.05) E(X)= 200*0.05=10， D(X)= 200*0.05*0.95=9.5,保证每个分机要使用外线时可供使用的概率达到0.9,练习：重复做10000次独立试验，A在每次试验中发生的概率为p，分别利用切比雪夫不等式和中心极限定理估计：用A在10000次试验中发生的频率作为概率的