矢量分析与场论.ppt

第一章 矢量分析与场论,标量场和矢量场,梯度、散度、旋度,矢量场的初等运算,矢量场的微、积分,亥姆霍兹定理,场的图示法,1.1 常用坐标系（正交系）,形式 坐标 取值范围 几何意义,z,z,z,x,y,O,O,O,x,（x0 y0 z0）,r,x,y,（0 0 z0）,（r0 0 0 ）,三种正交系的相互关系,X=cos = rsin cos Y=sin = rsin sin Z=rcos r2= x2 + y2 +z2 = 2 + z2 = rsin = arc tg(y/x) = arc cos(z/r) cos = (x/r) cos = (y/r) cos = (z/r) cos2 +cos2 +cos2 = 1,1.2 标量与矢量,物理量通常是时间和空间的函数 描述空间的数学语言是坐标 描述物理量的数学语言是标量和矢量,标量（A）：只有大小没有方向的物理量,矢量（A）：即有大小又有方向且符合平行四边形法则的物理量。,算数量：0 代数量：0 不变量：AB,标量与矢量,复数,1.3 标量场与矢量场,1.4 坐标单位矢量、常矢、变矢,单位矢量 eA : 模(大小)为1,以矢量 A 的方向为方向的矢量。,坐标单位矢量：指坐标（线）矢量上的单位矢量。,（若将坐标线标上方向则该坐标线称坐标(线)矢量）,常矢：大小和方向均不变的矢量。 变矢：大小和方向其中有一个发生变化的矢量。,1.5 源点、场点、矢径、距离矢量,矢径是一特殊的矢量，具有明确的定义和表达式， 表示的是空间位置，没有物理含义。,源点：源所占有的空间位置称源点，用符号S表示。 场点：除源以外的其它空间位置称场点，用符号P表示。,距离矢量 R：由源点指向场点的矢量， 用符号 R 表示。 R = r - r,1.5 源点、场点、矢径、距离矢量,例：已知，A = xyex + z2 ey + y ez 求：A及r 在点P(1,2,2)的值，且图示。,注意：矢径和矢量的区别,解： 求值 r = x ex + y ey + z ez 由题意可知：x=1, y=2, z=2 将此代入A及r 得： A = 2ex + 4 ey + 2 ez ; r = ex + 2 ey + 2 ez,1.6 矢量的初等运算,矢量的初等运算与标量一样有加、减、乘但没有除 且以各矢量同在某一点为前提,加,减,乘,AB = (Ax Bx ) ex + (Ay By ) ey + ( Az Bz ) ez,标乘,点乘,叉乘,A = Axex + Ay ey + Azez,性质：1、若 AB = 0 则 AB 2、 AA = A2,AB = ABsin(AB )en =,ex ey ez Ax Ay Az Bx By Bz,性质：1、若 AB = 0 则 AB 2、 AA = 0,AB,A,B,en,1.6 矢量的初等运算,矢量初等运算规则(设：A 、B、C 都是矢量),A+B = B+A ; A(BC) = (AB ) C,AB =BA ; A(B+C) = AB+AC,AB = - BA ; A (B+C) = AB+AC,A(BC) = B (CA) = C (AB),(AB) C A (BC) ; A (BC) (AB) C,A (BC) = (A C) B - (AB) C, Ax Ay Az ABC = BCA = CAB = Bx By Bz Cx Cy Cz,若 B=C 则 AB = A C及AB = A C 成立 若 AB = A C及AB = A C 则 B=C不一定成立,结论：等式两边可同时“点”和“叉”， 但不能随意消去相同的量,1.7 坐标变换,O,O,u,w,v,z,x,y,q,q,3、坐标旋转 坐标系是一钢架， 当某一轴替代另一轴时， 其它轴也应相应变换。,O,x,z,y,O,y,x,z,O,x,z,y,原坐标,新坐标,1.7 坐标变换,4、坐标单位矢量的变换 设：u 和 v 分别为正交坐标系 ev1 = cos(ev1eu1)eu1 cos(ev1eu2)eu2cos(ev1eu3 )eu3 = (ev1 eu1 ) eu1 (ev1 eu2) eu2(ev1 eu3 ) eu3 同理： ev2 = (ev2 eu1 ) eu1 (ev2 eu2) eu2(ev2 eu3 ) eu3 ev3 = (ev3 eu1 ) eu1 (ev3 eu2) eu2(ev3 eu3 ) eu3 用矩阵表示： ev1 ev1 eu1 ev1 eu2 ev1 eu3 eu1 ev2 = ev2 eu1 ev2 eu2 ev2 eu3 eu2 ev3 ev3 eu1 ev3 eu2 ev3 eu3 eu3,eu1,eu3,eu2,ev1,以上讨论的是一般正交系的转换，由此可得： 直角坐标系、圆柱坐标系、球面坐标系间的单位矢量的变换关系,球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换,1.7 坐标变换,球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换,1.7 坐标变换,方法（二）：,例：已知，在点P(1,1,0)处有一常矢量 A = 2ex + 4 ey + 2 ez 求：A在该点的球坐标表达式。 求：A在(2,2,2)点处的直角坐标和球坐标表达式。,对于点(1,2,2)： sin = 1， sin=1/ 2， cos=0， cos=1/ 2 因此：ex = 1/2er-1/2e ， ey = 1/2er+1/2e , ez = e A = 32er 2 e +2 e 对于点(2,2,2) ： sin = sin= cos= cos=1/2 因此：ex = 1/2er+1/2e -1/2e , ey = 1/2er+1/2e +1/2e ez = 1/2 er-1/2 e 球： A =(3+2)er +(3 -2)e 2e 直：ex ,ey ,ez为常矢 ，因而A不随点变化 A = 2ex +4ey +2ez,以上结果显示： 同一矢量 ，在同一点其直坐标和球坐标表达式是完全不同的。 但由矢量场的不变性可知：,对于点(1,2,2)： A = 32er 2 e +2 e = 2ex + 4 ey + 2 ez 对于点(2,2,2) :A =(3+2)er +(3 -2)e 2e= 2ex +4ey +2ez,同一常矢量 ，在不同点其直坐标下的表达式是不变的， 而球坐标下的表达式是完全不同的。,这提醒我们不要因为表达式的差异而忘了它们的不变性 即：无论你选择那种坐标，所得到的场性能都是一样的。,这表明除直坐标外： 坐标轴与坐标点有关，当点变化坐标轴也可能变。 对于每一种坐标系每个坐标点都与唯一的一组坐标轴对应,对于柱或球坐标系每条或r射线都与唯一的一组坐标轴对应,1.8 微分元 微分元是矢量微、积分的基础。,坐标线元 dx dy dz d d dz dr rd rsind,坐标平面元d 若: 则d= x=c, dydz y=c, dxdz z=c, dxdy =c, ddz =c, ddz z=c, dd r=c, r2sindd =c, rsindrd =c, rdrd,坐标体元dv dxdydz dddz r2sindrdd,坐标元 任意元,en,dl = -dxex+dyey+dzez = de +dej+dzez = drer- rde +rsinde,概念：,1.8 微分元,坐标：空间某点的位置可用三个坐标(例：xyz)唯一确定。,坐标线：例：当y=a,z=c(a,c为常数)而 x 连续变化所形成的轨迹 称 x 坐标线。显然 和 坐标线为一族同心圆和半圆。,坐标线元：指与坐标元对应的坐标线，即坐标线上由坐标元引起的 一微小线段。显然，与d，d对应的是一微小的曲线， 很微小，可视为直线因而与坐标轴重合。 这表明：坐标线元可用矢量表示，方向以坐标轴方向为基准。 过某点引出的三条坐标线元是相关垂直的。,坐标面元:两条相关垂直的坐标线元构成的平面,显然这是一矩形。,弧长元(切线)dl: 由空间某点P可引出多条任意曲线，由P点起沿某曲线取一小段(即增量l ) ,且过P点作该曲线的切线，切线上与增量l 相应的切线元dl 称弧长元，显然它是任意方向上的线元。,曲面元(切面) ds：与任意曲面在某点的增量s 相对应的切面元。,坐标轴：坐标线上某点的切线称坐标轴,方向为坐标增大的方向。 显然，只有x,y,z轴的方向不变，其它坐标轴的方向会变。,坐标元：坐标的微分量。,1.9 矢量积分,矢量场通常是时间、空间的函数，而时间、空间分别是独立的，对它们的积分可分别讨论，以使计算简化。,A dt = A1eu1 dt + A2 eu2 dt + A3 eu3 dt = eu1 A1 dt + eu2 A2 dt + eu3 A3 dt,本教材假定所研究的对象是不运动的，即坐标原点O静止。 因此，单位坐标矢量是不随时间而变化的它们可以提到积分号外。,1.9 矢量积分,标性 矢性,A dl = Acos(A,dl) dl =(Axdx + Ay dy + Az dz) = (Ad+Ajd+Azdz) =(Ardr+ Ard +Ajrsind) A ds = Acos(A,ds) ds =Axdydz + Aydxdz + Azdxdy =Addz+Ajddz+Azdd =Arr2sindd+Arsindrd+Ajrdrd fdv =f dxdydz =f dddz = f r2sindrdd,2、对空间的积分,标性,矢性,根据积分结果可分为两类,f dl = exfdx + eyfdy + ez fdz A dl = exAxdl + eyAydl + ezAzdl,解： e = excos + eysin ,一、定义：,1.10 矢量微分,设：A (u1, u2, u3 , t)= A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu3,若：,二、公式：,三、运算,则：称矢量 A 是对自变量 u1 偏导数。依此类推可得其它偏导数,若：u1 = u1 (t),由式可将矢量A 的偏导数用分量形式表示,1.10 矢量微分,设：A (u1, u2, u3 , t)= A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu3,1、对坐标单位矢量的偏导,将式代入原式：,设：A (u1, u2, u3 , t)= A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu3,以上结果显示矢量函数的偏导可转化为标量函数的偏导,2、对矢量函数的偏导,= Axex + Ay ey + Az ez = Ar er + Ae + Ae,= A e + Ae + Az ez,1.11 三度、二式、一定理,以上主要对矢量的初等运算、微分和积分进行了讨论 下面将对数学场论作介绍,三度： 梯度、散度、旋度 二式： 格林恒等式 一定理：亥姆霍兹定理,定义 表达式 辅助量 性质 公式,1.11 三度、二式、一定理,梯度:是一矢量，研究数量场u沿某路径变化率可达最大的问题。,由数量场u 的某点可延伸出许多条直线路径l ,而这每一个 l 又 分别是每一族曲线在该点的切线 (如图示) 。由导数的定义可知， 数量场u 沿曲线只要是同一族曲线包括切线 l 在内其变化率是相 同的。因而可将研究数量场 u 沿曲线变化的问题转化为沿直线变 化的问题。显然只有沿着不同的直线路径l 其变化率才不同，但 只有沿其中的一条路径l 变化其变化率可达最大。,由此定义式可导出更具实用意义的表达式,表达式, 哈密尔顿算符，是一矢性的微分算符,有了上面的表达式，梯度的计算就很容易进行,梯度,对u 求全微分，则有：,对上式两边同时除以dl ， 及又dl /dl = el , 则有:,又dl = dxex+dyey+dzez ：,推导，以直坐标为例：,A是一微分矢量。当u给定后,A在某点的大小和方向是确定不变的,el是某路径方向与u无关。 u可沿不同的路径l 变化，即el可变。,du/dl 若要达到最大，则u必须沿eA方向变化，即el = eA,因而du/dl=A el =A eA el 应改为：du/dlA最大 =A eA eA =A,这就是说，当u沿A方向变化时，其变化率达最大且正好= A的模,或对上式两边同乘以eA ： du/dlA最大 eA =A eA =A,将此与定义相比可知， A就是梯度即：G= A 证毕,若对u 分别求柱、球坐标下的全微分，就可导出相应的表达式。,辅助量 方向导数,数量场u沿某路径l 的变化率称方向导数，记作du/dl,1、标量场u的梯度是矢量。,2、简化了全微分的表达式：du =Gdl,3、方向导数是梯度在该ln 方向上的一个分量的模。 由前面的推导中已知：du/dl=G el,li,l2,l1,G,du/dl,4、G方向总是指向u增大的方向，即u2 u1 (在G方向上) 证:,lG,du dlG最大,G = eG = G eG,l1,l2,u1,u2,lG,du dlG,即： = G 0,又 各ln的方向包括lG 方向在内均以M0为起点向外， 即 各ln上的l2总是l1 这就是说，若dl = l2 - l1 则dl 0,M0,du u2 - u1 dlG l2 - l1,因而： = 0,梯度,5、G方向为等位线(或面)的法向，即eG = en,等值面：指在三维数量场u(x,y,z)中，将空间不同位置上但具有相等 场值的各点所连成的面。其表达式为：u(x,y,z) = C,证: u(x,y,z) = C du = 0 因而：du/dl=G el =Gcos(eG ,el )= 0 又 G0 cos(eG ,el ) = 0 故：eG el 又 el 为等位线(或面)的切线 eG = en 证毕,等值线：指在二维数量场u(x,y,)中，将空间不同位置上但具有相等 场值的各点所连成的线。其表达式为：u(x,y,) = C,性质,梯度,eG,el,6、, u = 0或0该式都成立，即该式不能说明梯度场是否存在。,该式说明： 梯度场若存在必是无旋场。,en,公式,梯度,例：求u=1-(x/a)2+(y/b)2在点Mo(a/2,b/2)处 沿曲线1=(x/a)2+(y/b)2的内法线的方向导数。,垂直过曲面通量定义中的曲面是有向曲面即S 是 矢量，方向以矢量线穿出为正，有闭及不闭面二类。,散度:是一标量，研究矢量场A在某点处其通量对体积的变化率。,由通量及矢量A 的大小，不难导出求通量的表达式：,散度,定义设有一矢量场 A(M)，于场中某一点M0 处作一包含M0点 在内的任一闭曲面(S),所包的空间区域的体积大小用 V表示，矢量A(M)穿过该曲面(S)的通量为。则此通量 在M0点对体积 V 的变化率称矢量A(M) 在点M0处的散度， 用符号divA表示。,M0,散度,推导，以直坐标为例：设: A=Axex +Ay ey +Az ez, M0为任意确定点故可不表现出来，即：divA(M0) divA,dS=dydzex + dxdzey+dxdyez,1、矢量场A的散度是一个标量；,散度,4、矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；,公 式,散度,(CA )=CA;,C = 0;,(AB)=AB;, (u A)= uA+Au,r 0,当r = 0或0时：,E= (q/e) (r),1、环量（）,环量的意义：若矢量场环量为零，则矢量场是无涡漩的流动； 反之，矢量场存在着涡漩状的流动。而环量正反 映了矢量场漩涡源的分布情况。,2、环量面密度（rotn A）,环量面密度意义:表示矢量场A 在点M0 处沿en方向的漩涡源密度,旋度,旋度:是一矢量,反映矢量场A在场某点处环量对面积的最大变化率,定义若在矢量场 A(M)中某一点M0 处，存在这样的一个矢量R，矢 量场 A(M)由点M0处沿R方向所得的环量对面积的变化率(即环 量面密度)达最大且正好等于模R，则称矢量R为矢量场A(M) 在点M0处的旋度，用符号rot A表示。由该定义可得如下关系：,旋度,显然，在场矢量A空间中，围绕空间 某点M0可取很多个边界曲线为l、 面元为 S、法线方向各异(如图)的平面。在点 M0处沿不同en方向上的环量面密度(rotn A) 各不相同，但有一个可达最大。,由此定义式可导出更具实用意义的表达式,en,M0,旋度,表达式,设: A=Axex +Ay ey +Az ez =A e+Ae+Az ez=Ar er+Ae+Ae,= A,推导，以直坐标为例：设: A=Axex +Ay ey +Az ez,由斯托克斯公式：,环量面密度若要达到最大，则必须沿eB方向变化，即en = eB,旋度,1、矢量场A的旋度仍为矢量，是空间坐标的函数；,旋度,3、 由前面的推导已知： rotn A = rot A en 这表明：,旋度R在任一方向en上的投影(即分量)等于该方向的环量面密度,矢量场A 的环路积分等于该矢量场A 的旋度通过该曲面的通量,6、若rot A =0 处处成立，A为无旋场。力线呈无旋涡的流动状态，力线有头尾。此时，=0 即A的环路积分与路经无关故又称保守场。 若rot A 0这表：A为有旋场，其力线无头无尾。,4、 A 0 即 A =0或0 该式均成立。,5、矢量场的旋度值表征空间中旋涡源的密度； 即： A = J J 旋涡源密度,该式说明旋度场是一无源场，但不能说明旋度场是否存在。,公 式, (CA )=CA;,C = 0;, (AB)=AB;,(uA)= uAAu,(AB)=B(A)A(B),旋度,例：已知 求： H,H= e = H e,I 2p,I, H = = 0,e ej ez z 0 H 0,1 ,解： 选择柱坐标, 0, H = I (x)(y)ez,当 = 0或0时：,亥姆霍兹定理：在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。它可表现为：,矢量场(F) = 梯度场(Fs) + 旋度场(Fl) =