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文档简介

3.3 导数在研究函数性质中的应用,3.3.1 函数的单调性,1. 单调性的直观描述,2. 函数单调性判别法,定理3.3.1（函数单调性判定定理）,证：,于是有,同理可证(2),证毕.,注：,（1）若将定理中的闭区间改为其它各种区间，结论仍成立,3. 单调性应用,(1)证明不等式,解：,例2. 证明,时, 成立不等式,证: (1)令,从而,因此,且,证,(2)判断方程根的个数,证：,（存在性）,（确定性）,3.3.2 函数的极值,1. 极值的概念,定义3.3.1,(或极小值),(或极小值点).,函数的极大值和极小值统称为函数的 极值.,极大值点和极小值点统称为极值点.,注:,(1)极值点必在定义区间内,是内点,不包括端点.,(2)要正确区分极值与最值.,2.极值的判别法,定理3.3.2 (极值的必要条件),证:,则定理结论自然成立.,注:,(1)导数为零的点称为驻点.,(2)该定理只是极值存在的必要条件而非充分条件.,即:,反过来,例如:,定理3.3.3(极值第一判别法),排除嫌疑的工具,注:,(2)该定理可简述为:,解：,不要用,开区间 即可,3.3.4 曲线的凸性与拐点,1. 曲线的凸性概念,定义3.3.2,则称该,曲线是,上凸区间;,下凸区间.,曲线的上凸和下凸统称为曲线的凸性,上凸区间和下凸区间统称为曲线的凸性区间.,2.凸性判别法,定理3.3.5,上凸的;,下凸的.,证明,3.拐点,定义3.3.3 在连续曲线上，上凸与下凸的分界点称为,曲线的拐点.,注: 拐点(x0,y0)是曲线上的点,它包括纵、横坐标.,定理3.3.6 (拐点的充分条件),定理3.3.7 (拐点的必要条件),排除嫌疑的工具,解：,3.3.5 渐近线,定义3.3.4 若曲线上一点沿着曲线趋于无穷远时，该,点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线.,1.水平渐近线,2.垂直渐近线,注：,解：,3.斜渐近线,斜渐近线.,斜渐近线的求法：,同理可由,注：,可能不同，要分别求出.,则曲线无斜渐近线.,用图表法讨论函数的单调性，极值，凸性和渐近线,step:,1.确定函数的定义域,注意无定义性间断点.,4.求渐近线.,根据列表，写出函数的单调区间,极值,凸性和拐点.,5.画图,（3）列表,故该曲线无水平渐近线.,故该曲线有垂直渐近线,故该曲线有斜渐近线,(5)画出两条渐近线，定出特殊点，据表画出函数图形。,（备用）2.凸性判别法,定理3.3.5,上凸的;,下凸的.,证:,由上凸定义,即证曲线,任意一点处的切线都在曲,线
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