线段的垂直平分线和角平分线的复习.ppt

线段的垂直平分线和角平分线的复习,知识回顾,线段垂直平分线的定理,线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.,MNAB, CA=CB(已知),PA=PB （线段垂直平分线上的任意一点 到这条线段两个端点的距离相等）,1,2,1、如图直线MN垂直平分线段AB，则AE=AF。,判断题,2、如图线段MN被直线AB垂直平分，则ME=NE。,知识回顾,线段垂直平行线的逆定理,和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.,AB=AC(已知),点A在线段BC的垂直平分线上 （和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）,3、如图PA=PB，则直线MN是线段AB的垂直平分线。,知识回顾,在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等,角的平分线的性质定理：,A,B,O,1,2,P,E,D,C,OP平分AOB,，,PDOA,PEOB,PD=PE,（在角的平分线上的点到 这个角两边的距离相等）,知识运用,练习 下列过程是否正确？,A,B,O,P,E,D,点P在AOB的平分线上., PD=PE,（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）.,错误., 如图，AD平分BAC（已知）, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）,判断：, 如图， DCAC，DBAB （已知）, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）,知识回顾,A,B,O,1,2,P,E,D,C,在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.,角平分线性质定理的逆定理：,OP平分AOB,PDOA,PEOB,PD=PE.,（在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边 距离相等的点，在这个角的平分线上）., AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知）, = ，（ ）,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,如何作一个角的角平分线,如图，已知及线段a，点C在OM上，求作点P，使点P到OM、 ON的距离相等，且PC=a.,分析：（1）到OM、ON的距离相等的点的轨迹是什么？,（2）满足PC=a.点P的轨迹是什么?,P2,P1,点P1、P2为所求的点.,威海市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。,A,B,C,实际问题1,线段的垂直平分线,1、求作一点P，使它和已ABC的三个顶点距离相等.,实际问题1,结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三个顶点的距离相等。,烟 威 高 速 公 路,实际问题2,在烟威高速公路L的同侧，有两个化 工厂A、B，为了便于两厂的工人看病 市政府计划在公路边上修建一所医院， 使得两个工厂的工人都没意见，问医 院的院址应选在何处？,A,B,线段的垂直平分线,2、如图，在直线L上求作一点P，使PA=PB.,实际问题2,数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务,试一试,已知:如图,在等腰三角形ABC中,腰AB 的垂直平 线MN交AC于点 D,BC=8厘米, BDC的周长20厘米. 求:AB的长.,A,B,C,D,M,N,已知:如图,D是BC延长线上的一点,BD=BC+AC. 求证:点C在AD的垂直平分线上.,A,B,C,D,8,知识运用,例 1已知：如图，AP、BP分别平分DAB和CBA，PE、PF 分别垂直于AD、BC，垂足为E、F. 求证：点P在EF的垂直平分线上.,分析：（1）从已知条件你能想到什么定理？,（3）能得到什么结论?,（4）用什么定理来证明结论?,（2）缺少了什么?怎么办？,G,角平分线上的点到另一边的垂线段.,添加辅助线.,添辅助线的目的是什么？,构造角平分线的基本图形.,知识运用,例1 已知：如图，AP、BP分别平分DAB和CBA，PE、PF 分别垂直于AD、BC，垂足为E、F. 求证：点P在EF的垂直平分线上.,证明：过点P作PGAB，垂足为点G .,G,AP平分BAD,PEAD(已知)，,PGAB(已作) ，,PEPG（角平分线上的点到角 两边的距离相等）.,同理：PGPF.,PEPF(等量代换).,点P在EF的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.,知识运用,例2 已知：ABC中，ABC角平分线与AC的垂直平分线交于 点N，NDAB，NEBC，点D、E分别为垂足.,分析：（1）从角平分线和角两边的两条垂线段， 你能得到什么结论？,（2）怎样来理解这个条件?,求证：ADEC.,（3）怎样来证明结论?,1,2,点N在AC的垂直平分线上.,怎样来利用这个条件?,添加辅助线.,添辅助线的目的是什么？,构造垂直平分线的基本图形.,同时构造了全等三角形.,H.L,知识运用,例2 已知：ABC中，ABC角平分线与AC的垂直平分线交于 点N，NDAB，NEBC，点D、E分别为垂足.,证明：联结AN、CN.,求证：ADEC.,BN平分ABC，,DNAB, ENBC（已知），,NDNE（角平分线上的点到角两边的距离相等），,且1=2=90（垂直的定义） .,1,2,点N在AC的垂直平分线(已知) ，,NANC（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 ）.,在RtADN和RtCEN中，,DNEN (已证)，,ANNC (已证).,RtAND RtCEN（H.L）,ADEC(全等三角形对应边相等).,适时小结,当缺少运用角平分线、线段垂直平分线的定理及逆定理的基本图形时，要添置辅助线构造运用它们的基本图形.,作业,1、作图题： 已知：AOB和AOB内一点C. 求作：点P，使PC=PO， 且点P到AOB的两边OA、OB的距离相等.,2、已知：如图，在ABC中，D是AB上一点，且ADAC, DAO=CAO，DEBC. 求证：CD平分EDF.,作业