高考数学第7章立体几何第1节空间几何体的结构特征、直观图及表面积与体积教学案（含解析）理.docx

第一节空间几何体的结构特征、直观图及表面积与体积考纲传真1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.会用斜二测画法画出它们的直观图.3.了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积的计算公式1简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形2旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.直观图斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半4圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l5柱体、锥体、台体和球的表面积和体积名称 几何体 表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图S原图形，S原图形2S直观图2多面体的内切球与外接球常用的结论(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r，外接球半径Ra.(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R.(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径ra，外接球半径Ra.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥( )(3)菱形的直观图仍是菱形( )答案(1)(2)(3)2下列说法正确的是( )A相等的角在直观图中仍然相等B相等的线段在直观图中仍然相等C正方形的直观图是正方形D若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行D根据斜二测画法的规则知，A，B，C均不正确，故选D.3(教材改编)如图所示，长方体ABCDABCD中被截去一部分，其中EHAD，则剩下的几何体是( )A棱台B四棱柱C五棱柱D简单组合体C由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱4(教材改编)已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A1 cm B2 cmC3 cm D. cmBS表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm)5一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_12设正六棱锥的高为h，棱锥的斜高为h.由题意，得62h2，h1，斜高h2，S侧62212.空间几何体的结构特征、直观图1给出下列命题：(1)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；(2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；(3)在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；(4)存在每个面都是直角三角形的四面体；(5)棱台的侧棱延长后交于一点其中正确命题的个数为( )A2 B3 C4 D5C(1)不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；(2)正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；(3)正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；(4)正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形；(5)正确，由棱台的概念可知2以下命题：(1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；(4)一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为( )A0 B1 C2 D3B命题(1)错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题(2)错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题(3)对；命题(4)错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以3下列结论正确的是 ( )A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线DA错误如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥图 图B错误如图2，若ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥C错误由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长D正确4如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45的等腰梯形用斜二测画法，画出这个梯形的直观图OABC，则在直观图中，梯形的高为_因为OA6，CB2，所以OD2.又因为COD45，所以CD2.梯形的直观图如图，则CD1.所以梯形的高为CE.规律方法1.解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可.(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.2.直观图的还原技巧,由直观图还原为平面图的关键是找与x轴、y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.空间几何体的表面积与体积【例1】(1)(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A12 B12 C8 D10(2)如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为( )A. B.C. D.(1)B(2)A(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2()22212.(2)三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为.规律方法求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解.(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积.(3)等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积. (2018天津高考)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为_法一：连接A1C1交B1D1于点E(图略)，则A1EB1D1，A1EBB1，则A1E平面BB1D1D，所以A1E为四棱锥A1BB1D1D的高，且A1E，矩形BB1D1D的长和宽分别为，1，故VA1BB1D1D1.法二：连接BD1(图略)，则四棱锥A1BB1D1D分成两个三棱锥BA1DD1与BA1B1D1，VA1BB1D1DVBA1DD1VBA1B1D1111111.球与空间几何体的切、接问题考法1外接球【例2】(1)(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A B. C. D.(2)(2018全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为( )A12 B18 C24 D54(1)B(2)B(1)设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形r.圆柱的体积为Vr2h1.故选B.(2)如图，E是AC中点，M是ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为SABCAB29，所以AB6，BMBE2.易知OM平面ABC，所以在RtOBM中，OM2，所以当D，O，M三点共线且DMODOM时，三棱锥DABC的体积取得最大值，且最大值VmaxSABC(4OM)9618.故选B.考法2内切球【例3】已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为_正四面体的表面积为S14a2a2，其内切球半径r为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.规律方法空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解. 正四棱锥PABCD的侧棱和底面边长都等于2，则它的外接球的表面积是( )A16 B12 C8 D4A设正四棱锥的外接球半径为R，顶点P在底面上的射影为O(图略)，因为OAAC2，所以PO2.又OAOBOCOD2，由此可知R2，于是S球4R216.1(2015全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A14斛 B22斛C36斛 D66斛B设米堆的底面半径为r尺，则r8，所以r，所以米堆的体积为Vr255(立方尺)故堆放的米约有1.6222(斛)故选B.2(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该