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文档简介

定理4 设 (1) 线性相关； (2) 线性无关证 设 比较等式两端向量的对应分量可得 即 由定理3.5可得： 线性相关有非零解 推论1 在定理4中, 当时, 有 (1) 线性相关； (2) 线性无关 推论2 在定理4中, 当时, 有 (1) 线性相关中所有的阶子式； (2) 线性无关中至少有一个阶子式 推论3 在定理4中, 当时, 必有线性相关 因为, 由定理4(1)即得 推论4 向量组： 向量组： 若线性无关, 则线性无关 证 线性无关 是的子矩阵 线性无关定理5 划分, 则有 (1) 中某个中“所在的”个行向量线性无关； 中“所在的”个列向量线性无关 (2) 中所有中任意的个行向量线性相关；中任意的个列向量线性相关证 只证“行的情形”： (1) 设位于的行, 作矩阵, 则有 线性无关 (2) 任取中个行, 设为行, 作矩阵, 则有线性相关 注 称为的行向量组, 为的列向量组4.3 向量组的秩与最大无关组 1向量组的秩：设向量组为, 若 (1) 在中有个向量线性无关； (2) 在中有个向量线性相关（如果有个向量的话） 称为向量组为的一个最大线性无关组, 称为向量组的秩, 记作：秩 注(1) 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为0 (2) 秩时, 中任意个线性无关的向量都是的一个 最大无关组 例如, , , , 的秩为2 线性无关是一个最大无关组 线性无关是一个最大无关组 定理6 设, 则 (1) 的行向量组（列向量组）的秩为； (2) 中某个中所在的个行向量（列向量）是 的行向量组（列向量组）的最大无关组证 只证“行的情形”： 中某个, 而中所有 定理5中所在的个行向量线性无关 中任意的个行向量线性相关 由定义：的行向量组的秩为, 且中所在的个行向量是 的向量组的最大无关组 例6 向量组：, , , 求的一个最大无关组 解 构造矩阵 求得秩 矩阵中位于1,2行1,2列的二阶子式 故是的一个最大无关组 注 为行向量组时, 可以按行构造矩阵 定理7 (1) 若, 则“的列”线性相关（线性无关） “的列”线性相关（线性无关）； (2) 若, 则“的行”线性相关（线性无关） “的行”线性相关（线性无关） 证 (1) 划分, 由可得 故方程组 与方程组 同解于是有 线性相关 存在不全为0, 使得 存在不全为0, 使得 线性相关 同理可证(2) 注 通常习惯于用初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵,当阶梯形 矩阵的秩为时, 的非零行中第一个非零元素所在的个列 向量是线性无关的 例如：求例6中向量组的一个最大无关组构造矩阵 秩 的1,2列线性无关的1,2列线性无关 是的一个最大无关组 例7 向量组：, , , 求向量组的一个最大无关组解 对矩阵 进行初等行变换可得 (1) ： 的1,2,3,4列线性无关的1,2,3,4列线性无关 故是的一个最大无关组； (2) ： 的1,2,3列线性无关的1,2,3列线性无关 故是的一个最大无关组 注 当为行向量组时,
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