数据的概括性度量数据特征的描述.ppt

2019/7/15,1,第 4 章数据的概括性度量,第1 节 集中趋势的测度 第2节 离散程度的测度 第3 节 偏态与峰态的测度,2019/7/15,2,一、教学目的与要求 掌握集中趋势各测度值的计算方法； 掌握集中趋势各测度值的特点及应用场合； 掌握离散程度各测度值的计算方法； 掌握离散程度各测度值的特点及应用场合； 了解偏态与峰态的测度方法 会用Excel计算描述统计量并进行分析 二、教学重点与难点 1、教学重点：集中趋势各测度值的的特点及计算方法；离散程度各测度值的的特点及计算方法。 2、教学难点：各测度值的的特点及计算。,2019/7/15,3,三、教学过程与内容,利用图表显示数据，可以对数据分布特征和规律有一个大概的了解，但要全面把握数据的特征和规律，还需要找出反映数据分布特征的代表值。 一般来说，数据分布的特征可以从三个方面进行测度和描述。,2019/7/15,4,数据分布的特征,集中趋势：反映各数据向其中心靠拢和聚集的程度,离散程度：反映各数据远离中心的趋势,2019/7/15,5,分布形状：反映数据分布的偏态和峰态,2019/7/15,6,数据分布特征的测度,2019/7/15,7,第1 节 集中趋势的度量,一. 分类数据：众数 二. 顺序数据：中位数和分位数 三. 数值型数据：均值 四. 众数、中位数和均值的比较,2019/7/15,8,集中趋势(Central tendency),集中趋势:一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度.测度趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值。 注意：不同类型的数据用不同的集中趋势测度值；低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据。,2019/7/15,9,一、众数,众数：出现次数最多的变量值。它不受极端值的影响。一般用M0 表示 注意：一组数据可能没有众数或有几个众数； 主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据。,2019/7/15,10,原始数据: 10 5 9 12 6 8,原始数据: 6 5 9 8 5 5,原始数据: 25 28 28 36 42 42,例4.1,无众数,一个众数,多于一个众数,2019/7/15,11,解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值。 在所调查的50人中，购买可口可乐的人数最多，为15人，占总被调查人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即 Mo可口可乐,例4.2,2019/7/15,12,解：这里变量为“回答类别”，该数据为顺序数据。甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即 Mo不满意,例4.3,2019/7/15,13,二、中位数和分位数,（一）中位数(median) 1、中位数定义 中位数：排序后处于中间位置上的值。一般用Me表示。,注意：它不受极端值的影响.主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据。各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即,2019/7/15,14,设一组数据为：,其中n为数据个数,2、中位数位置的确定,按从小到大排列为：,2019/7/15,15,3、中位数数值计算公式,数值的确定,2019/7/15,16,例4.4求下述问题的中位数 （顺序数据的 例题分析）,解：中位数的位置为: 从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中。 因此: Me=一般,2019/7/15,17,例4.5求下列数值型数据的中位数 (9个数据的算例),1）9个家庭的人均月收入数据 原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,Me 1080,2019/7/15,18,2）10个家庭的人均月收入数据 排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,2019/7/15,19,（二）四分位数(quartile),1、四分位数定义 四分位数：排序后处于25%和75%位置上的值。它不受极端值的影响。,注意：主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据。,2019/7/15,20,2、四分位数位置的确定,注:见 P90,2019/7/15,21,3）例题分析 顺序数据的四分位数,解：QL位置= (300)/4 =75 QU位置 =(3300)/4 =225 从累计频数看， QL在“不满意”这一组别中； QU在“一般”这一组别中。因此 QL = 不满意 QU = 一般,2019/7/15,22,数值型数据的四分位数,9个家庭的人均月收入数据 原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,2019/7/15,23,即QL在第2个数值（780）和第3个数值（850）之间0.25的位置上，所以：,因为QU在第6个数值（1250）和第7个数值(1500)之间0.75的位置上，所以：,2019/7/15,24,【例4.7】：10个家庭的人均月收入数据,排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,2019/7/15,25,三、数值型数据：均值（mean),均值：是集中趋势的最常用测度值，它是一组数据的均衡点所在。 注意：均值体现了数据的必然性特征； 易受极端值的影响； 用于数值型数据，不能用于分类数据 和顺序数据。,2019/7/15,26,（一）简单均值与加权均值 (simple mean / weighted mean),设一组数据为： x1 ，x2 ， ，xn 各组的组中值为：M1 ，M2 ， ，Mk 相应的频数为： f1 ， f2 ， ， fk,简单均值：,加权均值：,2019/7/15,27,例题分析 例4.8,2019/7/15,28,例4.9,甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下： 甲组： 考试成绩（x ）: 0 20 100 乙组： 考试成绩（x）: 0 20 100,人数分布（f ）：1 1 8,人数分布（f ）：8 1 1,权数对均值的影响,2019/7/15,29,注意：均值的数学性质,1. 各变量值与均值的离差之和等于零,2. 各变量值与均值的离差平方和最小,2019/7/15,30,（二）调和平均数(harmonic mean),调和平均数：是均值的另一种表现形式。它易受极端值的影响。 计算公式为：,2019/7/15,31,例题分析：调和平均数,【例4.10】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如下表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格.,解:由公式,2019/7/15,32,（三）几何平均数(geometric mean),几何平均数：n 个变量值乘积的 n 次方根。它适用于对比率数据的平均。主要用于计算平均增长率. 计算公式为：,注：可看作是均值的一种变形：,2019/7/15,33,例题分析,【例4.11】某水泥生产企业1999年的水泥产量为100万吨，2000年与1999年相比增长率为9%，2001年与2000年相比增长率为16%，2002年与2001年相比增长率为20%。求各年的年平均增长率。,年平均增长率114.91%-1=14.91%,2019/7/15,34,【例4.12】一位投资者购持有一种股票，在2000、2001、2002和2003年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。,算术平均：,几何平均：,2019/7/15,35,四 、众数、中位数和均值的比较,1）众数、中位数和均值的关系,2019/7/15,36,2）众数、中位数和均值的特点和应用,众数： 不受极端值影响； 具有不唯一性； 数据分布偏斜程度较大时应用。 中位数： 不受极端值影响； 数据分布偏斜程度较大时应用。 均值： 易受极端值影响； 数学性质优良； 数据对称分布或接近对称分布时应用。,2019/7/15,37,数据类型与集中趋势测度值,2019/7/15,38,第2 节 离散程度的测度,分类数据：异众比率 顺序数据：四分位差 数值型数据：方差及标准差 相对位置的测量：标准分数 相对离散程度：离散系数,2019/7/15,39,离中趋势,数据分布的另一个重要特征; 反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度）; 从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表性 （即代表程度）; 不同类型的数据有不同的离散程度测度值。,2019/7/15,40,一、异众比率(variation ratio),异众比率：是对分类数据离散程度的测度。即非众数组的频数占总频数的比率。主要用于分类数据的测度。 计算公式为：,注意： 用于衡量众数的代表性,2019/7/15,41,例4.13,在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“可口可乐”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好,2019/7/15,42,二、四分位差(quartile deviation),四分位差：是对顺序数据离散程度的测度。又称为内距或四分间距，即上四分位数与下四分位数之差。主要用于顺序数据的测度。 QD = QU QL 它反映了中间50%数据的离散程度。 注意：它不受极端值的影响，主要用于衡 量中位数的代表性,2019/7/15,43,例4.14,解：设非常不满意为1,不满意为2, 一般为3, 满意为 4, 非常满意为5 已知 QL = 不满意 = 2 QU = 一般 = 3 四分位差： QD = QU - QL = 3 2 = 1,2019/7/15,44,三、方差和标准差,方差和标准差主要用于数值型数据的测度 （一）极差(range)：一组数据的最大值与最小值之差。 它是离散程度的最简单测度值； 易受极端值影响； 未考虑数据的分布。,R = max(xi) - min(xi),算公式为：,2019/7/15,45,（二）平均差(mean deviation),平均差：各变量值与其均值离差绝对值的平均数。 它能全面反映一组数据的离散程度；但数学性质较差，实际中应用较少。,计算公式为：,未分组数据：,组距分组数据：,2019/7/15,46,例4.15,解：,即每一天的销售量与平均数相比， 平均相差17台,2019/7/15,47,说明:,平均差以平均数为中心，反映了每个数据与平均数的平均差异程度，它能全面准确反映一组数据的离散状况。 平均差越大，说明离散程度越大，反之，说明离散程度越小。 为了避免离差之和等于零，而无法计算平均差这一问题，平均差在计算时取了绝对值，以离差的绝对值来表示总离差，但这给计算带来了不便。,2019/7/15,48,（三）方差和标准差 (variance and standard deviation),1、基本概念 方差：各变量值与均值离差平方的平均数； 标准差：方差的平方根即为标准差。 注意：方差和标准差是数据离散程度的最常用测度值； 它反映了各变量值与均值的平均差异； 根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差,2019/7/15,49,2、样本方差和标准差计算公式 (simple variance and standard deviation),未分组数据：,分组数据：,未分组数据：,分组数据：,方差的计算公式,标准差的计算公式,2019/7/15,50,3、样本方差自由度(degree of freedom),样本方差自由度：一组数据中可以自由取值的数据的个数。 当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值。 例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9， 则,2019/7/15,51,当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值。 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差s2去估计总体方差2时， s2是2的无偏估计量。,2019/7/15,52,4、总体数据方差和标准差计算公式,未分组数据：,分组数据：,未分组数据：,分组数据：,方差的计算公式,标准差的计算公式,2019/7/15,53,5、样本标准差 (例题分析),即每一天的销售量与平均数相比，平均相差21.58台。,2019/7/15,54,四、相对位置的度量 (standard score),1、标准分数： 也称标准化值或Z分数，是变量值与其平均数的离差除以标准差的所得值。 标准分数是对某一个值在一组数据中相对位置的度量。 可用于判断一组数据是否有离群点,2019/7/15,55,1）计算公式,这个公式就是常用的统计标准化公式，在对多个具有不同量纲的变量进行处理时，常常用它对变量的进行标准化处理。 例如，计算9个家庭人均月收入的标准分数。,设标准分数为Z，则有：,由上述公式得每个家庭人均月收入的标准分数如下表：,解：已知：,2019/7/15,56,从上表可见： 收入最低的家庭人均收入比平均数低1.042个标准差；而收入最高的家庭人均收入比平均数高1.853个标准差。,2019/7/15,57,2）标准分数的性质,1）均值等于0 2）方差等于1,2019/7/15,58,所以z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为0，标准差为1。 比如，一组数据为25，28，31，34，37，40，43，其均值为34，标准差为6,2019/7/15,59,其变换如下,2019/7/15,60,2、经验法则,经验法则表明：当一组数据对称分布时 约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内； 约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内； 有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内。 据此讨论P101例4.13表4-4的结果,2019/7/15,61,3、切比雪夫不等式(Chebyshevs inequality ),当一组数据不是对称分布时，则使用切比雪夫不等式 假设k=2，3，4，该不等式的含义是 至少有75%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内； 至少有89%的数据落在平均数加减3个标准差的范围之内； 至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内。,2019/7/15,62,五、相对离散程度：离散系数 (coefficient of variation),方差和标准差是反映数据分散的绝对值，它一方面与变量水平有关，另一方面与原变量的计量单位有关。 为了消除变量水平高低与计量单位不同对离散程度测度值的影响，需要计算离散系数。,2019/7/15,63,离散系数,1.离散系数：是标准差与其相应的均值之比。其计算公式为：,它是对数据相对离散程度的测度。 优点：消除了数据水平高低和计量单位的影响。 适用于对不同组别数据离散程度的比较,2019/7/15,64,例题分析,【 例 】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度。,2019/7/15,65,解：,由于销售额与利润额的数据水平不同，不能直接用标准差进行比较，需要计算离散系数。,2019/7/15,66,同理有：,因为v1v2， 所以产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度。,2019/7/15,67,数据类型与离散程度测度值,2019/7/15,68,第3 节 偏态与峰态的测度,一. 偏态及其测度 二. 峰态及其测度,2019/7/15,69,偏态与峰态分布的形状,偏态,峰态,2019/7/15,70,一、偏态(skewness),统计学家K.Pearson于1895年首次提出数据分布偏斜程度的测度。 当偏态系数sk=0时为对称分布； 当偏态系数sk 0时为右偏分布； 当偏态系数sk 0时为左偏分布。 注意： 偏态系数大于1或小于-1，被称为高度偏态分布；偏态系数在0.51或-1-0.5之间，被认为是中等偏态分布；偏态系数越接近0