chapter41定义性质.pps

第四章 拉普拉斯变换与S域分析,物理与电子工程系 高珊,枣庄学院,2019/7/13,2,主要内容,4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域 4.3 拉氏变换的基本性质 4.4 拉氏逆变换 4.5 用拉氏变换法分析电路、s域元件模型 4.6 系统函数H（s） 4.78 由系统函数零、极点分布决定时域特性、频响特性 4.9 二阶谐振系统的s平面分析（略） 4.10 全通函数与最小相移函数的零极点分布 4.11 线性系统的稳定性 4.12 双边拉氏变换（略） 4.13 拉氏变换与傅里叶变换的关系,2019/7/13,3,拉普拉斯变换的定义,2019/7/13,4,傅氏变换分析法的优点： 物理意义明确，是信号分析的有效工具。 傅氏变换的不足： (1)要求信号满足狄里赫利条件(满足绝对可积条件)。使一般周期信号，阶跃函数等只能借助于广义函数(奇异函数(t)求得傅氏变换，但仍有一些函数无法有傅里叶变换,如eat , (a0) ； (2)求傅氏反变换有时比较麻烦； (3)只能求解零状态响应。(FT与初始状态无关),连续信号与系统的复频域分析方法,2019/7/13,5,拉普拉斯变换（简称拉氏变换）可以解决上述问题 信号不满足绝对可积条件的原因是 解决的方法： 一.引进广义函数(傅氏变换) 二.拉氏变换(无需引进广义函数),连续信号与系统的复频域分析方法,若 不满足狄里赫利条件，为了获得变换域中的函数，用实指函数 去乘 。只要 取得合适，几乎所有常用的函数都可以满足绝对可积的条件。称 为衰减因子；称 为收敛因子,2019/7/13,6,拉氏变换的定义从傅氏变换到拉氏变换,有几种情况不满足狄里赫利条件： u(t) 增长信号 周期信号,若乘一衰减因子 , 为任意实数，则 收敛，满足狄里赫利条件,2019/7/13,7,一. 求 的傅氏变换：,显然，可表示成,记为,拉氏变换的定义,2019/7/13,8,上两式称一对拉普拉斯变换式，正变换，反变换,其反变换，为,拉氏变换的定义,2019/7/13,9,拉氏变换扩大了信号的变换范围。,变换域的内在联系,拉氏变换的定义,2019/7/13,10,拉氏变换的定义,单边拉氏变换定义,-,2019/7/13,11,拉氏变换的物理意义,拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或作相反变换。 时域f(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。变量s又称“复频率”。 拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系。,看出：将频率变换为复频率s,且只能描述振荡的重复频率，而s不仅能给出重复频率，还给出振荡幅度的增长速率或衰减速率。,2019/7/13,12,拉氏变换的优点,把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函数。 拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具。 （1）求解方程得到简化。且初始条件自动包含在变换式里。 （2）拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”变换成“除法”。即将微分方程变成代数方程。 拉氏变换将时域中卷积运算变换成“乘法”运算。 利用系统函数零点、极点分布分析系统的规律。,2019/7/13,13,从算子法的概念说明拉氏变换的定义,2019/7/13,14,拉氏变换收敛域,使得拉氏变换存在的所有的s的值,统称为拉氏变换的收敛域,2019/7/13,15,拉氏变换收敛域举例,2019/7/13,16,(6),2019/7/13,17,拉氏变换收敛域举例,例:求指数衰减信号 的拉氏变换。,2019/7/13,18,常用信号的拉氏变换,1,2,3,2019/7/13,19,常用信号的拉氏变换,证明:,对上式进行分部积分，令,2019/7/13,20,可见：,依次类推：,特别是n=1时，有,常用信号的拉氏变换,2019/7/13,21,证明:,常用信号的拉氏变换,2019/7/13,22,常用信号的拉氏变换,2019/7/13,23,常用信号的拉氏变换,2019/7/13,24,第一类： 只有拉氏变换而无付氏变换 如增长的指数信号(双曲函数等) 第二类： 拉氏变换、付氏变换都存在，且,小结：(拉氏变换有三类情况),如衰减的指数信号：,2019/7/13,25,第三类： 拉氏变换,付氏变换都存在，但不满足第二类。 如 的傅氏变换 拉氏变换,小结：(拉氏变换有三类情况),2019/7/13,26,拉氏变换的性质及应用,2019/7/13,27,拉氏变换的基本性质,2019/7/13,28,观察下列图形的时移关系,(前后一定要呼应),2019/7/13,29,解（1）和（2）的单边拉氏变换相同,2019/7/13,30,2019/7/13,31,2019/7/13,32,例 求锯齿波的拉氏变换,解：,由时移性：,2019/7/13,33,所以：,利用时移性可以求(单边)周期信号的拉氏变换设f1(t)表示第一个周期的函数，则有,同样的如台阶函数,也可以这样求解,2019/7/13,34,例.求半波正弦函数的拉氏变换,2019/7/13,35,2019/7/13,36,3,2019/7/13,37,再由比例性,由时移性,解：信号之间的关系:,另解,再由时移性,由比例性,2019/7/13,38,注意：与傅氏变换比较：,与拉氏变换比较：,这里， 可以是实数，也可以是虚数或复数。,故可得,4,2019/7/13,39,拉氏变换的基本性质,证明:由定义,同理可得,5,2019/7/13,40,依此类推,可得,若f(t)为有始函数,则,2019/7/13,41,2019/7/13,42,由题图可知,所求信号 的拉氏变换不同。 请看P184例题4-4,2019/7/13,43,拉氏变换的基本性质,证明:由定义,2019/7/13,44,所以,若积分下限由 开始,2019/7/13,45,拉氏变换的基本性质,证明:,2019/7/13,46,基本公式,复频域积分性质,时域积分性质,2019/7/13,47,拉氏变换的基本性质,2019/7/13,48,拉氏变换的基本性质,证明:,10,2019/7/13,49,拉氏变换的基本性质,2019/7/13,50,初值定理条件 必须存在,时域中意 味着 本身不能包含冲激。 的存在,不影响 的值 , 可把 移去后再应用初值定理。即只取真分式。,初值定理例子,2019/7/13,51,可见：,应用初值定理先求真分式。(取其真分式部分),推广到冲激函数的高阶导数也不影响零正值。,2019/7/13,52,其极点s=在s平面的右半平面，不能用终值定理。否则得到 是错误的。,条件是 存在，这相当于 的极 点都在复频域S平面的左半平面或原点仅有单极点(虚轴上只能在原点)。如,终值定理例子,2019/7/13,53,解：因为 F(s) 的极点为 s=0，-1和-2，满足终值定理的条件。所以有,求终值首先判断极点位置,例：已知 ，试求 的终值。,2019/7/13,54,求下列函数的拉氏变换,2019/7/13,55,解：,。由频移性，可得,2019/7/13,56,2019/7/13,57,