§4.2常系数线性微分方程的解法常微分方程课件高教社王高雄教材配套ppt.pps

4.2 常系数线性微分方程的解法,复值函数和复值解 常系数齐次线性特征方程 常系数非齐次线性方程比较系数法 拉普拉斯变换法 质点振动,复值函数和复值解,设实变量t在区间atb上有实函数(t)、(t)， 为虚数，则可在区间上定义复值函数 z (t)= (t)+i(t) ，称(t)为其实部, (t)为其虚部。 复值函数和实函数有同样的极限、连续、导数、微分、积分及数乘、函数和等性质。 满足微分方程(1) 的复值函数z(t)称为方程(1)的复值解。,复值函数性质,极限 连续 导数 微分 积分及函数和,复指数函数性质,设、为实数，t为实变量，则K= +i 为复数，复指数函数定义为 有 称复数K= +i的共轭复数为 有 复指数函数有性质(K、K1 、 K2 为复数),复指数函数性质,证,实系数线性微分方程的复值解,定理8 对实系数函数微分方程(*)的复值解的实部、虚部及其共轭复值函数均是原方程(*)的解。 定理9 设非齐函数为复值函数：f(t)=u(t)+iv(t) 如复值函数x=U(t)+iV(t)是微分方程(*)的复值解，则实函数U(t)、V(t)分别是实微分方程的解：,常系数齐次线性特征方程,系数为实常数时的常系数齐次线性方程 可以寻求指数函数形式的解 代入方程右端可得到 其中 是的n次多项式。 称为微分方程的特征方程。特征方程的根称为特征根。,(a)实单特征根,(a) 为(实)单根时，齐次线性方程有解 et 设1, 2, n是特征方程的n个相异或相同但非重的实根，则相应的微分方程有n个解 因 i j (i j),行列式 即n个解在区间上线性无关，构成的基本解组。 方程有通解,(b)复特征根,(b)代数方程有复根 ,因方程的系数为实数， 复根将成对共轭地出现，即 也是特征根 有两共轭复值解 对应的两实值解：,(c)(1)重 0 实根,(c) = 1为k重实根时，它表示为 (1) 当1=0时，特征方程有因子k ，于是 即特征方程的形状为 对应的微分方程为 易见它有k个解 1, t, t2, , tk. 且它们是线性无关的。 因此特征方程的k重零根对应微分方程的k个线性无关的解: 1, t, t2, , tk-1.,(c)(2)重非0实根,(2) = 10为k重实根时，作变量变换 因 有 于是微分方程化为 其中b1,bn仍为常数。相应的特征方程为 直接计算易得 即 且 因此F()=0的根对应于G()=0的根，且重数相同。 问题化为前面已讨论的情形。,(续) (c)(2)重非0实根,已知特征方程 G()=0 的k1重根1=0对应于微分方程L1=0的k1个解y=1, t, t2, , tk-1。因此，对应于特征方程F()=0的k1重根1，微分方程L=0有个解 同样，假设特征方程L=0的其他根2, 3, m的重次依次为k2, k3, km ，且 则微分方程L=0对应地有解,(续) (c)(2)重非0实根,证 全体个解构成微分方程L=0的基本解组。 反证法。假设这些函数线性相关，则有 设多项式Pm(t)不恒为零。将上式除于 e1t ，并对t微分k1次，可得 其中 Qr(t)与Pr(t)次数相同且Qr(t)不恒为零。等式类似，但项数减少了。,(续) (c)(2)重非0实根,进一步对施于同样手续，除于e(2-1) t 并微分k2次， 则得到项数更少的类似多项式。继续经m-1次后将得到等式 这不可能因 其中Wm是次数低于Pm(t)的次数的多项式。 而Rm(t)与Pm(t)次数相同且Rm(t)不恒为零。 假设函数线性相关引出矛盾 证明了全部n个解线性无关且构成微分方程的基本解组,(d) k重共轭复根时,= +i 微分方程有k对共轭复值解 或对应的2k对实值解： 类似的，对含有单实根、共轭复根、重实根及重共轭复根的混合情形， 可由前面讨论过的分别进行处理，求得对应其特征根的微分方程的解，且这些解线性无关。 当所有根计及其重次总和为微分方程的次数时，这些解构成微分方程的基本解组。,例1 求方程 的通解,解 特征方程 4-1=0的根为 1=1, 2=-1, 3=i, 4=-i. 有两个单实根和一对单共轭复根， 故方程的通解为 这里c1, c2, c3, c4,为任意常数。,例2 求解方程,解 特征方程3+1=0有根 通解为 其中c1, c2, c3为任意常数。,例3 求方程 的通解,解 特征方程 的根为三重根=1 。 因此方程有通解 其中c1, c2, c3为任意常数。,例4 求解方程,解 特征方程 的根为=i重根。 方程有4实值解 得通解 其中c1, c2, c3 , c4为任意常数。,欧拉方程,称为欧拉方程。其中a1,a2,an 为实常数。 引进自变量变换 x=et, t=ln x (x=-et同样，取 t=ln |x| ) 有 代入欧拉方程得常系数齐次线性微分方程,例5 求解方程,解 令x=et ,方程变为 特征方程为 有重根=1,通解为 原方程的通解为,常系数非齐次线性方程比较系数法,常系数非齐次线性方程 可按非齐项f(t)的类型用比较系数法求方程特解。 类型： 特解为 其中k为特征方程F()=0的根的重数。 当不是特征根时k=0;单根时k=1。 可以将特解代入方程比较t的同幂次项系数确定Bi。,例6 求方程 的通解,解 先求对应的齐次线性微分方程 的通解。其特征方程为2-2-3=0有根1=3,2=-1. 齐次方程有通解 再求非齐次方程的一个特解，这里f(t)=3t+1, = 0。 因 = 0不是特征方程的根，k=0。 特解形式为 x=A+Bt，其中A,B为待定常数。 将x代入原方程， 比较t的同幂次系数得 解为 即 原方程的通解为,例7 求方程 的通解,解 特征方程为3+32+3+1=0，有三重根1,2,3=1 齐次方程有通解 再求非齐次方程 的一个特解， 特解形式为 将特解代入原方程 比较系数得 从而 故原方程的通解为,b) 类型,其中,为常数，A(t),B(t)是的最髙次数为m次的实系数多项式。 设= +i为特征方程F()=0的k重根。 则方程有特解 这里P(t),Q(t)为待定的的最髙次数为m次的实系数多项式。 将特解代入方程，比较t的同幂次系数， 可得一系列线性方程，解之得特解。 注意：待定系数法的关键是正确写出特解形式! P(t),Q(t)应为m次完全多项式。,例8 求方程 的通解,解 特征方程为2+4+4=( +2)2=0，有重根1,2=-2 齐次方程有通解 求非齐次方程 的一个特解， 因=2i不是特征方程的根，特解形式为 将特解代入原方程 比较系数得 即 故原方程的通解为,拉普拉斯变换法,实或复值连续函数 f(t) 当 t0 满足 | f(t)|上有定义。 对常系数非齐线性方程 及初始条件 设f(t)为连续函数且满足原函数条件。 则方程的解 x(t) 及其各阶导数均是原函数。,(续) 拉普拉斯变换法,记 有 如对方程两边进行拉普拉斯变换，利用线性性质可得关系式,(续) 拉普拉斯变换法,即 或 A(s)X(s)=F(s)+B(s) 其中A,B均为已知多项式。因此有 这是方程满足初始条件的解的象函数X(s)。 再利用拉普拉斯反变换公式可得方程的解x(t)。 此即为拉普拉斯变换方法。,拉普拉斯变换和反变换表,例9 求方程 满足初值条件 x(0)=0 的解,解 对方程两端施行拉普拉斯变换， 得到象函数方程 由初值条件x(0)=0得 查拉普拉斯变换表知 和 的原函数分别为 e2t 和 et 利用线性性质，求得X(s)的原函数为 这就是所要求的解。,例10 求解方程,解 先令 = t-1将方程化为 再对方程两端实行拉普拉斯变换，利用初值条件得到 即 查拉普拉斯变换表得 从而 此即为所要求的解。,例11 求解方程,解 对方程两端施行拉普拉斯变换得 即 把上式右端分解为部分分式 各分式分别查拉普拉斯变换表， 利用线性性质，求得的原函数即方程的解,1-1 例2 数学摆 阻力与近似方程,近似方程 令,如摆在一个粘性介质中运动，阻力系数为，则方程为:,则数学摆近似方程,带粘性介质的数学摆近似方程,数学摆方程,质点线性振动,质点线性振动 (1) 无阻尼 (2) 有阻尼 (a)小阻尼 (2) 大阻尼 (3) 临界阻尼 (3) 无阻尼强迫振动(= 0) (a) p (b) p= (4) 小阻尼强迫振动 质点非线性振动 第6章讨论,质点振动,振动-钟摆，弹簧，乐器，机械，桥梁，电路. (1) 数学摆的无阻尼微小自由振动方程为 或 特征方程为2+2 = 0，特征根为共轭复根 1,2= i。 通解为 令 则通解式可改写为 即,(1) 数学摆的无阻尼微小自由振动,从通解式 中可看出，不管初状态 为何值， 摆的运动总一 个正弦 函数，且是周期 函数。 如图（4.1） 这种运动称为简谐振动 称为圆频率，A为振幅， 为初相位。 周期为 ，频率为,(1) 数学摆的无阻尼微小自由振动,数学摆的振幅A、初相位均依赖于初值条件。 数学摆的周期只依赖于摆长l,与初值无关。 当把数学摆移至位置= 0即 再松开时其初值条件为 将上式代入通解得 初相位 ，振幅A= 0 。 因此，所求的特解为,(2) 有阻尼自由振动,有阻尼自由振动方程为 特征方程为 有特征根 根据 n 大于、小于和等于分为小阻尼、大阻尼和临界阻尼三种情况进行讨论。,(a) 小阻尼n时,小阻尼n时特征方程有共轭复根 通解为 和前面(1)一样可将上通解改写为 有小阻尼时摆的运 动已不是周期的， 其振幅逐渐减小。 按=Ae-nt的变化减小， 减小的周期为 当t时(t)摆动地 (振动着)趋于零。如图,(b) 大阻尼n时,大阻尼时：这时特征方程有两不同负实根210 通解为 从式中可知摆的运动也不是周期的， 且因方程 最多只有一个解，故摆最多只通过平衡位置一次； 同时由 知当t足够大时， d/dt与c1的符号相反， 即经过一段时间后， 摆单调地趋于平衡 位置。如图(4.3),(c) 临界阻尼 n =时,临界阻尼n =时：特征方程有重根2=1=-n 方程的通解为 摆的运动也不是周期的，其图形和图(4.3)类似，当t时(t)趋于零。摆不具有振动的性质。 值n =称为阻尼的临界值，正好可以抑制振动。 实际上，当n时如图(4.3)，摆不振动； 而当n时如图(4.2)，摆虽衰减但仍振动。,(3) 无阻尼强迫振动,无阻尼强迫振动方程为 令 其中H为已知常数，p为外力圆频率， 此时上式变为 方程对应的齐次线性微分方程的通解为 这里A,为任意常数。下面求非齐方程的特解。,(3) (a)无阻尼p,(a) p 有形如 的解，这里M,N是待定常数。将上式代入方程，比较同类项系数，可得 最后得方程的通解为 通解中包括无阻尼自由振动的项(固有振动) 和外力引发的频率相同、振幅不同的项(强迫振动) 当外力的圆频率越接近固有圆频率时，强迫振动项的振幅越大。,(3) (b)无阻尼p=,当p=时, 有形如 的解。将它代入方程，比较同类项系数，可得 方程的通解为 随时间的增大，摆的偏离将无限增加， 这种现象称为共振现象。 但实际上，当摆的偏离将无限增加到一定程度时，方程已不一定能描述摆的运动状态了。,(4) 小阻尼n强迫振动,小阻尼n 强迫振动：方程为 由(2)(a)有阻尼自由振动情形知方程对应的齐次线性微分方程的通解为 这里A,为任意常数， 现求方程的一个特解。此特解有形状 将上式代入方程，比较同类项系数,(续) (4) 小阻尼n强迫振动,得到 如令 其中 则特解可写为 因此程的通解为 其中,(续) (4) 小阻尼n强迫振动,通解中由有阻尼自由振动的固有振动项和外力引发的强迫振动项两部分叠加而成。