【高考辅导资料】2007年高考数学试题分类汇编-立体几何

2007年高考数学试题汇编立体几何一、选择题1（全国理7题）如图，正四棱柱中，则异面直线所成角的余弦值为（ D ）A B C D2（全国理7题）已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于（ A ）A B C D3（北京理3题）平面平面的一个充分条件是（D）A存在一条直线 B存在一条直线C存在两条平行直线D存在两条异面直线4（安徽理2题）设，均为直线，其中，在平面内，“”是且“”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5（安徽理8题）半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离为（ ）A B C D6（福建理8题）已知，为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ D ）A B C D 7（福建理10题）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB1，AA1，则A、C两点间的球面距离为（ B ）A B C D 8（湖北理4题）平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：； ；与相交与相交或重合； 与平行与平行或重合；其中不正确的命题个数是（ D ）A.1 B.2 C.3 D.49（湖南理8题）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ D ）A B C D10（江苏理4题）已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： 其中正确命题的序号是（ C ）A B C D11（江西理7题）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H则以下命题中，错误的命题是（ D ） A点H是A1BD的垂心 BAH垂直平面CB1D1 CAH的延长线经过点C1 D直线AH和BB1所成角为4512（辽宁理7题）若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则13（陕西理6题）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ B ） A B C D 14（四川理4题）如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ D ）ABD平面CB1D1 BAC1BDCAC1平面CB1D1 D异面直线AD与CB1角为60 2020正视图20侧视图101020俯视图15(宁夏理8题) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（B） 16（四川理6题）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是，且三面角B-OA-C的大小为，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是（ C ）ABCD17（天津理6题）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（D）若与所成的角相等，则 若，则若，则 若，则18（浙江理6题）若P是两条异面直线外的任意一点，则（ B ）A过点P有且仅有一条直线与都平行 B过点P有且仅有一条直线与都垂直C过点P有且仅有一条直线与都相交 D过点P有且仅有一条直线与都异面二、填空题19（全国理16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 。20（全国理15题）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2。21（安徽理15题）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）。矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体。22（江苏理14题）正三棱锥高为2，侧棱与底面所成角为，则点到侧面的距离是23（辽宁理15题）若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 24（上海理10题）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面与两直线，又知在内的射影为，在内的射影为。试写出与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件 平行，相交 。25（四川理14题）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 26（天津理12题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为27（浙江理16题）已知点O在二面角的棱上，点P在内，且。若对于内异于O的任意一点Q，都有，则二面角的大小是_。三、解答题27（全国理19题）四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD。已知ABC45，AB2，BC=2，SASB。()证明：SABC；()求直线SD与平面SAB所成角的大小；解答：解法一：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面因为，所以，又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理，得DBCAS（）由（）知，依题设，故，由，得，的面积连结，得的面积设到平面的距离为，由于，得，解得设与平面所成角为，则所以，直线与平面所成的我为解法二：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面因为，所以又，为等腰直角三角形，DBCAS如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，所以（）取中点，连结，取中点，连结，与平面内两条相交直线，垂直所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余，所以，直线与平面所成的角为28（全国理19题）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。ABCDPEF第38题图第39题图()求证：EF平面SAD；()设SD = 2CD，求二面角AEFD的大小；解法一：（1）作交于点，则为的中点连结，又，故为平行四边形，又平面平面所以平面（2）不妨设，则为等腰直角三角形取中点，连结，则又平面，所以，而，AAEBCFSDGMyzx所以面取中点，连结，则连结，则故为二面角的平面角所以二面角的大小为解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系设，则，取的中点，则平面平面，所以平面（2）不妨设，则中点又，所以向量和的夹角等于二面角的平面角所以二面角的大小为29（北京理16题）如图，在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角动点的斜边上（I）求证：平面平面；（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；（III）求与平面所成角的最大值解法一：（I）由题意，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面（II）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角在中，又在中，异面直线与所成角的大小为（III）由（I）知，平面，是与平面所成的角，且当最小时，最大，这时，垂足为，与平面所成角的最大值为解法二：（I）同解法一（II）建立空间直角坐标系，如图，则，异面直线与所成角的大小为（III）同解法一30（安徽理17题）如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1平面A1B1C1D1，DD1平面ABCD，DD12。（）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；（）求证：平面A1ACC1平面B1BDD1；（）求二面角ABB1C的大小（用反三角函数值圾示）；31（福建理18题）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（）求证：AB1面A1BD；（）求二面角AA1DB的大小；（）求点C到平面A1BD的距离；分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力满分12分解答：解法一：（）取中点，连结为正三角形，ABCDOF正三棱柱中，平面平面，平面连结，在正方形中，分别为的中点，在正方形中，平面（）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（）得平面，为二面角的平面角在中，由等面积法可求得，又，所以二面角的大小为（）中，在正三棱柱中，到平面的距离为设点到平面的距离为由得，点到平面的距离为解法二：（）取中点，连结为正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，xzABCDOFy，平面（）设平面的法向量为，令得为平面的一个法向量由（）知平面，为平面的法向量，二面角的大小为（）由（），为平面法向量，点到平面的距离32（广东理19题）如图6所示，等腰ABC的底边AB=6，高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EFAB.现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE。记BEx，V(x)表示四棱锥PACFE的体积。（）求V(x)的表达式；（）当x为何值时，V(x)取得最大值？（）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值；33（湖北理18题）如图，在三棱锥V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且AC=BC=a，VDC=。（）求证：平面VAB平面VCD ；（）当角变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围；分析：本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力解答：解法1：（），是等腰三角形，又是的中点，又底面于是平面又平面，平面平面（） 过点在平面内作于，则由（）知平面连接，于是就是直线与平面所成的角ADBCHV在中，；设，在中，又，即直线与平面所成角的取值范围为解法2：（）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，从而，即同理，即又，平面又平面平面平面（）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，ADBCVxyz则由得可取，又，于是，又，即直线与平面所成角的取值范围为解法3：（）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，从而，即同理，即又，平面又平面，平面平面（）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，ADBCVxy则由，得可取，又，于是，又，即直线与平面所成角的取值范围为解法4：以所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则设ADBCVxyz（），即，即又，平面又平面，平面平面（）设直线与平面所成的角为，设是平面的一个非零法向量，则取，得可取，又，于是，关于递增，即直线与平面所成角的取值范围为AEBGDFCAEBCFDG1G2图1图234（湖南理18题）如图1，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，并连结，使得平面平面，且连结，如图2（I）证明：平面平面；（II）当，时，求直线和平面所成的角；解：解法一：（）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（II）过点作于点，连结由（I）的结论可知，平面，所以是和平面所成的角因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，故因为，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形由题设，则所以，因为平面，所以平面，从而故，又，由得故即直线与平面所成的角是解法二：（I）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，从而又，所以平面因为平面，所以平面平面（II）由（I）可知，平面故可以为原点，分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），由题设，则，相关各点的坐标分别是，所以，设是平面的一个法向量，由得故可取过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上因为，所以，设（），由，解得，所以设和平面所成的角是，则故直线与平面所成的角是ABCDA1D1C1B1GMHFE35（江苏理18题）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且。（I）求证：四点共面；（4分）（II）若点在上，点在上，垂足为，求证：面；（）用表示截面和面所成锐二面角大小，求。36（江西理20题）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC已知A1B1B1C1l，AlBlC190，AAl4，BBl2，CCl3。（I）设点O是AB的中点，证明：OC平面A1B1C1；（II）求二面角BACA1的大小；（）求此几何体的体积；解法一：（1）证明：作交于，连则因为是的中点，所以则是平行四边形，因此有平面且平面，则面（2）如图，过作截面面，分别交，于，作于，连因为面，所以，则平面又因为，所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角因为，所以，故，即：所求二面角的大小为（3）因为，所以所求几何体体积为解法二：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，因为是的中点，所以，易知，是平面的一个法向量因为，平面，所以平面（2），设是平面的一个法向量，则则，得：取，显然，为平面的一个法向量则，结合图形可知所求二面角为锐角所以二面角的大小是（3）同解法一37（辽宁理18题）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为。（I）证明：；（II）求的长，并求点到平面的距离。38（宁夏理19题）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值证明：（）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而所以为直角三角形，又所以平面（）解法一：取中点，连结，由（）知，得为二面角的平面角由得平面所以，又，故所以二面角的余弦值为解法二：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设，则的中点，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值为39（陕西理19题）如图,在底面为直角梯形的四棱锥中，,BC=6。()求证：；()求二面角的大小；解法一：（）平面，平面又，即又平面（）过作，垂足为，连接平面，是在平面上的射影，由三垂线定理知，为二面角的平面角AEDPCBF又，又，由得在中，二面角的大小为解法二：（）如图，建立坐标系，则，AEDPCByzx，又，平面（）设平面的法向量为，则，又，解得平面的法向量取为，二面角的大小为40（上海理19题）体积为1的直三棱柱中，求直线与平面所成角。41（四川理19题）如图，四边形是直角梯形，90，1，2，又1，120，直线与直线所成的角为60.（）求证：平面平面；（）求二面角的大小；（）求三棱锥的体积；分析：本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。解法一：（），又（）取的中点，则，连结，从而作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，从而为二面角的平面角直线与直线所成的角为在中，由余弦定理得在中，在中，在中，故二面角的平面角大小为（）由（）知，为正方形解法二：（）同解法一（）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）由题意有，设，则由直线与直线所成的解为，得，即，解得，设平面的一个法向量为，则，取，得平面的法向量取为设与所成的角为，则显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角大小为（）取平面的法向量取为，则点A到平面的距离，42（天津理19题）如图，在四