函数的求导法则(14).ppt

二、反函数的求导法则,三、复合函数的求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,2.2 函数的求导法则,四、基本求导法则与导数公式,一、函数的和、差、积、商的求导法则,定理1 如果函数uu(x)及vv(x)在点x具有导数 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数 并且,u(x)v(x)=u(x)v(x),u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x),求导法则的推广 (uvw)=uvw (uvw) =uvw+uvw+uvw 特殊情况 (Cu)=Cu,例1 y=2x 3-5x 2+3x-7 求y,=6x 2-10x+3,=23x 2-52x+3,=2(x 3)-5(x 2)+3(x),=(2x 3)-(5x 2)+(3x)-(7),解,y=(2x 3-5x 2+3x-7),求导法则,解,例2,例3 y=ex (sin x+cos x) 求y,=2excos x,解,y=(ex)(sin x+cos x)+e x (sin x+cos x),= e x,(sin x+cos x),+e x,(cos x -sin x),求导法则,求导法则,用类似方法还可求得,(cot x)=-csc2x,(csc x)=-csc x cot x ,例4 ysec x 求y,解,二、反函数的求导法则,定理2 如果函数xf(y)在某区间Iy内单调、可导且f (y)0 那么它的反函数yf 1(x)在对应区间Ixf(Iy)内也可导 并且,简要证明,由于xf(y)可导(从而连续) 所以xf(y)的反函数yf 1(x)连续,当x0时 y0 所以,例6 求(arctan x)及(arccot x),解,因为y=arctan x是x=tan y的反函数 所以,例5 求(arcsin x)及(arccos x),解,因为y=arcsin x是x=sin y的反函数 所以,反函数的求导法则:,三、复合函数的求导法则,定理3 如果ug(x)在点x可导 函数yf(u)在点ug(x)可导 则复合函数yfg(x)在点x可导 且其导数为,简要证明,则Du0 此时有,假定u=j(x)在x的某邻域内不等于常数,解,复合函数的求导法则:,例7,解,复合函数的求导法则:,例9,解,例8,复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 例如 设yf(u) u(v) v(x) 则,例10,复合函数的求导法则:,例11,解,解,四、基本求导法则与导数公式,基本初等函数的导数公式,(1) (C)0 (2) (xm)m xm1 (3) (sin x)cos x (4) (cos x)sin x (5) (tan x)sec2x (6) (cot x)csc2x (7) (sec x)sec xtan x (8) (csc x)csc xcot x (9) (a x)a x ln a (10) (e x)ex,函数的和、差、积、商的求导法则,复合函数的求导法则,反函数求导法,四、基本求导法则与导数公式,(1) (u v)=u v (2) (Cu)=Cu (C是常数) (3) (uv)=uv+u v,即 (sh x)ch x 类似地 有 (ch x)sh x,例12 求双曲正弦sh x与双曲余弦ch x的导数.,解,例13 求双曲正切th x的导数.,解,例14 求反双曲正弦arsh x的导数.,解,例15 ysin nxsinn x (n为常数) 求y,n sinn1xsin(n+1)x,ncos nxsinn x+n sinn1xcos