函数项级数及幂级数.ppt

2019/7/6,1,第二节 函数项级数,2019/7/6,2,1.定义 设 是定义 在 上的函数,则由其构成的表达式 称为定义在区间 上的函数项无穷级数,简称 函数项级数.,例如级数,一 函数项级数的概念,2019/7/6,3,2.收敛点与收敛域,(1)如果 ,常数项级数 收敛,则称 为级数 的收敛点,否则称为发散点.,(2)函数项级数 的所有收敛点的全体称 为收敛域,所有发散点的全体称为发散域.,2019/7/6,4,（3）余项,(x在收敛域上),3.和函数(Sum function),（2）函数项级数的部分和,(1)在收敛域上,函数项级数的和是 的函数 ,称 为函数项级数的和函数.,注：函数项级数在某点 的收敛问题,实质上是常数项级数的收敛问题.,2019/7/6,5,二 函数项级数举例,2019/7/6,6,故级数的收敛域为,2019/7/6,7,3.8课前回顾,一、绝对收敛和条件收敛 二、常数项级数复习 1、掌握一些基本概念：级数,部分和,收敛,正项级数,交错级数 ,任意项级数，绝对收敛，条件收敛等 2、能用级数收敛的必要条件证明级数发散，掌握2个重要级 数：几何级数和p级数 3、能根据具体题目灵活运用比较审敛法和比值（根值）审敛 法判断正项级数的敛散性 4、会用莱布尼茨定理判断交错级数的敛散性 三、函数项级数 函数项级数，收敛点，收敛域，发散点，发散域，和函数,2019/7/6,8,第三节 幂 级 数,2019/7/6,9,2.收敛性:,当 时,收敛；当 时,发散.,例如级数,1.定义1,一 幂级数及其收敛性,2019/7/6,10,定理1 阿贝尔（Abel）定理,如果级数 在 处收敛,则 它在满足不等式 的一切 处绝对收敛；,如果级数 在 处发散,则它在满足不 等式 的一切 处发散.,2019/7/6,11,使得,当 时,等比级数 收敛,收敛,即级数 收敛.,2019/7/6,12,几何意义,收敛区域,发散区域,发散区域,2019/7/6,13,推论 如果幂级数 不是仅在 一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数 存在,使得,当 时,幂级数绝对收敛；,当 时,幂级数发散；,当 与 时,幂级数可能收敛也可能发散；,2019/7/6,14,从而决定了收敛域为以下四个区间之一:,2019/7/6,15,2019/7/6,16,如果 存在,从而级数 绝对收敛.,当 时,级数 发散,2019/7/6,17,定理证毕.,如果,(否则由定理1知将有点 使 收敛),收敛半径,2019/7/6,18,解,例1 求下列幂级数的收敛区间:,故收敛域是,2019/7/6,19,故收敛域是,级数只在 处收敛.,2019/7/6,20,解,发散.,收敛域为,2019/7/6,21,解,（缺少偶次幂的项）,收敛；,发散.,发散.,收敛域为,2019/7/6,22,另解,发散.,（间接地用R的计算公式）,13/23,2019/7/6,23,例3 求幂级数 的收敛域.,2019/7/6,24,当 时, ,级数 发散,当 时, ,级数 收敛,原级数的收敛域为,的收敛域为,2019/7/6,25,1.代数运算性质,(1) 加（减）法,(其中,设 和 的收敛半径分别为,二 幂级数的运算及其性质,2019/7/6,26,注： 相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多.,2019/7/6,27,2.幂级数和函数的性质和求法:,(2)幂级数 的和函数 在收敛区间 内可积,且对 可逐项积分.,幂级数 的和函数 在收敛区间 内连续,在端点收敛,则在单侧连续.,2019/7/6,28,收敛半径不变.,即,2019/7/6,29,收敛半径不变.,即,(3)幂级数 的和函数 在收敛区间 内可导,且对 可逐项求导任意次.,2019/7/6,30,常用已知和函数的幂级数,2019/7/6,31,例如,常数项级数求和的一种重要方法,幂级数法或Abel法,2019/7/6,32,解,两边积分得,2019/7/6,33,故,则,例5 求 的和.,2019/7/6,34,例6 求 的收敛域及和函数.,解,易求得 与 的收敛域分别为,收敛域为,设,2019/7/6,35,则,故原级数的和函