函数微分学及其应用.ppt

第二节 导数的应用,一、微分中值定理 二、洛必达法则 三、函数的单调性、极值与最值 四、曲线的凹凸性、拐点以及函数图形的描绘 五、导数在工程技术中的简单应用,一、微分中值定理,1. 罗尔定理,引理 设f(x)在 处可导,且在 的某邻域内恒有 则有 .,定义 导数等于零的点称为函数的驻点（或稳定点、临界点）. .,罗尔定理 设函数 f(x) 满足,(1) 在闭区间a,b上连续,(2) 在开区间(a,b)内可导,(3) f(a)=f(b),注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.,罗尔定理几何意义：,2. 拉格朗日中值定理,定理 设函数f(x)满足,(1) 在闭区间a,b上连续；,(2) 在开区间(a,b)内可导；,则至少存在一点,分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 在a,b上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决.,拉格朗日中值定理的几何意义：,如果在a,b上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.,弦线的方程为,作辅助函数,即可. 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.,3. 柯西中值定理,定理 设函数f(x)与F(x)满足：,(1)在闭区间a,b上都连续，,(2)在开区间(a,b)内都可导，,(3)在开区间(a,b)内，,则至少存在一点,在柯西中值定理中，若取F(x)=x，则得到拉格朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗日中值定理的推广.,4. 泰勒公式,二、洛必达法则,1.,洛必达 (LHospital,1661-1704),定理1,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,注意： 1) 使用洛必达法则必须验证条件，不是 未 定式不能用罗必塔法则；,2)洛必达法则可以连续应用，必须步步化简（尽可能地化简）、步步验证求未定式的极限.,定理2,例1,解,解法：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,2. 其它未定式的求法,例2,解,例3,解,三、函数的单调性、极值和最值,1. 函数的单调性,问题的提出,若 在区间（a,b)上单调上升,若 在区间（a,b)上单调下降,定理1（函数单调性判别法）,例,解,2. 函数的极限,定义,函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.,注1：极值是函数的局部性概念，与最值不同； 注2：极大值可能小于极小值,极小值可能大于 极大值.,定理2（极值存在的必要条件）,注1:,例如,注2:,定理3（第一充分条件）,求极值的步骤:,定理4（第二充分条件）,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,3. 函数的最大值和最小值,闭区间上连续函数的最值,步骤:,1.求驻点：,3.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),2.求不可导点：,4. 比较（3）中函数值大小,最大的便是最大值,最小的便是最小值;,四、曲线的凹凸性、拐点以及函数图形的描绘,1. 曲线的凹凸与拐点,定义1 设函数y=f(x)在I上连续,若曲线y=f(x)位于其上任意一点的切线的上方,则称该曲线y=f(x)在I上是凹的;若函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方,则称曲线y=f(x)在区间I上是凸的.,定理 设函数f(x)在区间a,b上连续,在区间(a,b)内具有一阶和二阶导数. (1)若在(a,b)内f (x)0,则f(x)在a,b上的图形是凹的; (2)若在(a,b)内f (x)0,则f(x)在a,b上的图形是凸的.,定义2 连续曲线 y = (x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点。,定义:,（1）铅直渐近线,2. 函数图形的描绘,1）渐近线,例如,有铅直渐近线两条:,（2）水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,（3）斜渐近线,斜渐近线求法:,注意:,例1,解,2）函数图形的描绘,一般步骤： (1)确定函数的定义域，并讨论函数奇偶性、周期性； (2)求出一阶、二阶导数为零的点，求出一阶、二阶导数不存在的点； (3)列表分析，确定曲线的单调性和凹凸性； (4)确定曲线的渐近性； (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它特