分数阶原始对偶去噪模型及其数值算法.pdf

E m a i l ：j i g i r s a a c c n w e b s t e ：w w W l c 豇g c n 1 I e | ：0 10 6 4 8 0 7 9 9 5 中国图象图形学报 J O U R N A Lo FI M A G EA N DG R A P H I C S 中国图象图形学报版权所有 中图法分类号：T P 7 5 1 1 文献标识码：A 文章编号：1 0 0 6 8 9 6 1 ( 2 0 1 4 ) 0 6 - 0 8 5 2 一0 7 论文引用格式：T i a nD ，x u eDY ，Y a n gYJ F m c t i o n a l 0 r d e rp r i m a l d u a lm o d e la n dn u m e r i c a la l g o r i t h mf o rd e n o i s i n g J J o u m a lo f I m a g ea n dG r a p h i c s ，2 0 1 4 ，1 9 ( 6 ) ：8 5 2 8 5 8 田丹，薛定宇，杨雅婕分数阶原始对偶去噪模型及其数值算法 J 中国图象图形学报，2 叭4 ，1 9 ( 6 ) ：8 5 2 8 5 8 D O I ：1 0 1 1 8 3 4 j 皓2 0 1 4 0 6 0 5 分数阶原始对偶去噪模型及其数值算法 田丹1 2 ，薛定宇1 ，杨雅婕2 1 东北大学信息科学与工程学院，沈阳1 1 0 0 0 4 ；2 沈阳大学信息工程学院，沈阳1 1 0 0 4 4 摘要：目的结合分数阶微积分理论和对偶理论，提出了一种与分数阶R O F 去噪模型等价的分数阶原始对偶模 型。从理论上分析了该模型与具有鞍点结构的优化模型在结构上的相似性，从而可使用求解鞍点问题的数值算法 求解该模型。方法使用求解鞍点问题的基于预解式的原始对偶算法对提出模型进行求解，并采用自适应变步长 迭代优化策略提高寻优效率，弥补了传统数值算法对步长要求过高的缺陷。同时论证了确保算法收敛性的参数取 值范围。结果实验结果表明，提出的分数阶原始对偶模型能够有效地抑制“阶梯效应”，保护纹理和细节信息，同 时采用的数值算法具有较快的收敛速度。结论提出了一种分数阶原始对偶去噪模型，该模型可采用一种基于预 解式的原始对偶算法进行求解。实验结果表明，提出的模型能有效改善图像的视觉效果，采用的数值算法能有效 快速收敛。 关键词：图像去噪；变分法；分数阶梯度；鞍点问题；原始对偶；阶梯效应 F r a c t i o n a l - o r d e rp r i m a l d u a lm o d e la n dn u m e r i c a la l g o r i t h mf o rd e n o i s i n g T i a nD a n l 广，X u eD i n g y u l ，Y a n gY a j i e 2 1 s c o o z 矿J 恐加r m i o n5 c 据M eo n dE 凡g i n e e 矗增，o n 矗e 邯e r n i 睨瑚妙，s e 7 驴增 1 1 0 0 0 4 ，吼i n n 2 0 0 2 妒J ，毛加r m o 勘凡E n g i n e e r i 增，S e n 妒昭i 埘碓i o y ，s 矗e n 弘昭1 1 0 0 4 4 ，C i n o A b s t r a c t ：O b j e c t i v eB yc o m b i n i n gf h c t i o n a lc a l c u l u sa n dd u a l i t yt h e o r y ， an o v e lf r a c t i o n a l o r d e r p r i m a l d u a lm o d e l ， w h i c hi se q u i v a l e n tw i t ht h ef h c t i o n a lR O Fm o d e l ，i sp r o p o s e d W et h e o r e t i c a l l ya n a l y z ei t ss t r u c t u r a ls i m i l a r i t yw i t ht h e s a d d l e p o i n to p t i m i z a t i o nm o d e l S ot h ea l g o r i t h m sf o rs o l v i n gt h es a d d l e p o i n tp r o b l e mc a nb eu s e df o rs o l v i n gt h em o d e l M e t h o dT h ep r i m a l d u a la l g o r i t h mb a s e do nr e s o l v e n tf o rs o l v i n gt h es a d d l e p o i n tp r o b l e mi su s e df o rs o l v i n gt h ep m p o s e d m o d e l T h ea d 印t i v ev a r i a b l es t e ps i z ei t e r a t i v eo p t i m i z a t i o ns t r a t e g yi su s e d ，w h i c hcani m p m v et h eo p t i m i z i n ge m c i e n c y ， a n dr e m e d yt h es t e ps i z e1 i m i t a t i o no ft h et r a d i t i o n a ln u m e r i c a la l g o r i t h m s I no r d e rt og u a r a n t e et h ec o n v e r g e n c eo ft h ea l g o r i t h m ，t h er a n g eo ft h ep a r a m e t e ri sg i v e n R e s l l l tT h ee x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h a tt h ep m p o s e df r a c t i o n a l o r d e rp r i m a l d u a lm o d e li se f k c t i v ei na v o i d i n gt h es t a i r c a s ee f f e c ta n dp r e s e n 五n gt e x t u r ea n dd e t a i li n f b r m a t i o n ，a n dt h ea d o p t i v en u m e r i c a la l g o r i t h mh a sf a s t e rc o n v e r g e n c es p e e d C 佣c l u s i o nI nt h i sp 印e r ，w ep r o p o s eaf h c t i o n a l o r d e rp r i m a l d u a ld e n o i s i n gm o d e l ，w h i c hc a nb es o l v e db yap r i m a l d u a la l g o r i t h mb a s e do nr e s o l v e n t T h ee x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e d m o d e lcani m p m v et h ei m a g ev i s u a le f k c te f f e c t i v e l y ，a n dt h ea d o p t i v en u m e r i c a la l g o r i t h mh a sf a s t e rc o n V e r g e n c es p e e d K e yw o r d s ：i m a g ed e n o i s i n g ； v a r i a t i o nm e t h o d ；f r a c t i o n a l o r d e rg r a d i e n t ； s a d d l e p o i n tp I D b l e m ；p r i m a l d u a l ； s t a i r c a s e P f 怡r t 收稿日期：2 0 1 3 一l O 一1 3 ；修回日期：2 0 1 4 一叭一1 4 基金项目：国家自然科学基金项目( 6 1 2 0 1 3 7 8 ) ；国家级“大学生创新创业训练计划”项目( 2 0 1 3 1 1 0 3 5 0 0 6 ) ；辽宁省教育厅科学研究一般项 目( 1 2 叭3 4 4 8 ) 第一作者简介：田丹( 1 9 8 0 一) ，女，讲师，东北大学系统仿真与应用专业在读博士研究生，主要研究方向为数字图像处理、分数阶微积分 理论的应用。E m a i l ：w w w s l t d 2 0 0 8 1 6 3 c o m 万方数据 第1 9 卷第6 期2 0 1 4 年6 月田丹，薛定字，杨雅婕分数阶原始对偶去噪模型及其数值算法 0 引言 图像去噪是数字图像处理领域的重要研究课题 之一，其主要目的是改善图像质量，便于图像处理后 续工作的进行。目前，该领域的研究热点和难点之 一，是图像噪声和边缘均属于图像中的高频信息，如 何寻找既能有效消除噪声，又能同时保留图像边缘 等细节特征的去噪方法。为了解决这一问题，1 9 9 2 年R u d i n 等人提出了著名的全变分正则化模型， 又称R O F 模型。该模型通过引入能量函数，将图像 去噪问题转化为泛函求极值问题。所采用的函数空 间允许存在跳跃间断，因此可以较好地保持图像的 边缘。然而该模型建立在有界变差( B V ) 空问，而 B V 空间的函数具有分段平滑特性，所以去噪后易产 生“阶梯效应”，即出现分段平滑现象。近年来，综 合考虑具有一阶正则项的R O F 模型易产生“阶梯效 应”，而具有高阶正则项的变分模型虽能抑制“阶梯 效应”，但去噪效果不佳的缺点2 圳，一些学者将分 数阶微分理论引入到变分模型中，以解决该新衍生 的问题，取得了较好的效果。例如，z h a n g 等人1 提 出了一种分数阶多尺度图像去噪模型，并采用 C h a m b 0 1 1 e 的投影算法1 求解模型。z h a n g 等人“ J 提出了一种分数阶变分图像修复模型，并采用梯度 下降算法旧。求解模型。此外，c h e n 等人一1 提出了一 种分数阶T V 1 2 图像去噪模型，并采用B i o u c a s 的 M M ( m a j o r i z a t i o n - m i n i m i z a t i o n ) 算法叫求解模型。 本文重点研究分数阶变分图像去噪模型的数值 计算。研究发现通过对分数阶R O F 去噪模型作等价 变换可得到一种分数阶原始对偶去噪模型，该模型在 结构上与具有鞍点结构的优化模型形式相近，可建立 对应关系，故可采用一种求解鞍点问题的更为灵活且 收敛速度较陕的原始对偶算法“求解。针对算法中 定义的参数，结合分数阶梯度算子的性质，给出了其 取值范围，以保证算法的收敛性。实验结果表明，提 出的分数阶原始对偶模型和现有的分数阶去噪模型具 有相同的特眭，即能有效抑制“阶梯效应”，保留更多的 图像细节特征。同时采用的原始对偶算法与一些现有 的求解分数阶问题的变分算法相比，收敛速度更快。 1 分数阶原始对偶去噪模型的提出 1 1 R O F 去噪模型 1 9 9 2 年，R u d i n 、0 s h e r 和F a t e m i 提出了著名的 全变分正则化模型，又称R O F 模型，将图像去噪问 题建模为优化问题，表示为 鲤 l I 。+ 害忪一gl ( 1 ) 式中，x 表示有限维向量空间，| | 忆表示秽范数， V 表示梯度算子，H 表示去噪后图像，g 表示观测图 像，A 表示正则化参数。 模型中第一项称为正则项，在优化过程中起到 抑制噪声的作用。第二项称为保真项，主要作用是 保持去噪后图像与观测图像的相似性，从而保持图 像的边缘特征。而正则化参数A 用于平衡正则项 与保真项的作用。 下面给出正则项离散形式的定义。假定待处理 图像的大小为M ，则变分模型中梯度算子的离 散化形式为 ( 沌) 。= ( ( 沌) ；”( 沌) ；。) ( 2 ) 式中 c 酬。= 厂叱。；篡 c 蛾。= 皆一蚝。； 一 则正则项的离散形式可具体定义为 I l 沌忆= l ( 沌) i 。l ( 4 ) 式中 l ( 沌) 。J = ( ( 沌) ；。) 2 + ( ( 沌) ；，) 2 ( 5 ) 1 2 分数阶R o F 去噪模型 在分数阶微分理论发展过程中，出现了多种函 数的分数阶微分定义。利用其中的G m n w a l d L e t n i k o v ( G L ) 定义2 1 构造分数阶梯度算子，其离散形 式为 ( 驴H ) i 。= ( ( ? 比) ( ；H ) 。) ( 6 ) 式中 ( ? 比) 。= ( 一1 ) c 池吨， ( ；比) u = ( 一1 ) c ；M 。一 ( 7 ) 耻币嚣 ( 8 ) 式中，K 表示分数阶梯度算子的展开项数，厂( ) 表 示G a m m a 函数。 将R O F 去噪模型的正则项由一阶扩展到分数 阶可得到分数阶R O F 去噪模型，其离散形式可表 示为 0 髓3 万方数据 中国图象图形学报 J o U R N A L0 FI M A G EA N DG R A P H I C S 鲤 ( | 1 驴H 忆+ 害I lM g 旺) ( 9 ) 模型中分数阶正则项的离散形式可具体定义为 I | 驴比I I 。= 1 ( P H ) “l ( 1 0 ) 式中 l ( 驴H ) 。jl = ( ( ? ) 巧) 2 + ( ( ；H ) i J ) 2 ( 1 1 ) 不难看出，一阶梯度算子是由有限项组成的局 域算子，而分数阶梯度算子是由无限项组成的全局 算子，故分数阶R o F 模型较经典的一阶R O F 模型 考虑了更多的图像邻域信息，能保护更多的图像细 节特征。 1 3 分数阶原始对偶去噪模型及其与鞍点优化模 型的关系 结合分数阶微积分理论和对偶理论，等价变换 分数阶R O F 去噪模型，提出一种分数阶原始对偶去 噪模型。首先给出分数阶散度的定义： 定义1对于任意的2 维变量p = ( p 1 ，p 2 ) y ，y 表 示有限维向量空间，分数阶散度的离散形式可定 义为 d i v = ( d i v 肇) “ ( 1 2 ) 江1 ，2 ，M ；，= 1 ，2 ， 式中 ( d i v ) i = ( 一1 ) “( 一1 ) c 融幻+ ( 一1 ) “( 一1 ) c 壤m ( 1 3 ) 文献 5 中证明了分数阶R O F 模型中的分数阶 正则项可作如下等价变换，即 | | F HI l1 = s u p ( p ，驴H ) y = L s u p ( ( 一1 ) “d i V ，比) x 6 ，c p ，= 0 + o 。：茎： c ，6 ， 而分数阶R O F 图像去噪模型对偶描述的推导， 可令式( 1 5 ) 原始对偶模型中对偶变量p 固定，对原 始变量H 求导，得 g 一半d i v 肇 ( 1 7 ) 再代回到式( 1 5 ) ，可得到对偶问题描述，即 鼍1 a 圣( ( ( 一1 ) “d i v ，g ) y p V 一 1 一 六I l ( 一1 ) “d i v 肇幔一鄙( p ) ) ( 1 8 ) 厶几 下面分析提出的分数阶原始对偶去噪模型与具 有鞍点结构的优化模型在形式上的相似性。具有鞍 点结构的优化问题可描述为1 1 。 m i nm a ) 【( ( A x ，y ) + G ( z ) 一F + ( y ) ) ( 1 9 ) 式中，x 、y 表示有限维实向量空问，( ，) 表示内 积，A 表示任意线性算子，G 和F 表示任意函数，F + 表示F 的拓扑对偶。 将优化模型中变量戈看成原始变量，变量y 看 成对偶变量，则可将此鞍点问题看成是如下原始问 题和对偶问题的原始对偶描述。其中，原始问题可 表示为 m i n ( F ( A z ) + G ( z ) )( 2 0 ) 对偶问题可表示为 m a 誊一( G + ( 一A + y ) + F + ( j ，) ) ( 2 1 ) 不难看出，如将原始问题式( 2 0 ) 与分数阶R O F 模型建立对应关系，即令F ( A 戈) 对应分数阶正则 项，G ( 戈) 对应保真项。则提出的分数阶原始对偶去 噪模型可与鞍点优化模型建立对应关系，即A = 一 l ( 一1 ) “d i v “，G ( H ) = 1 IH g1 | ；，F + ( p ) = 6 ，( p ) 。 当且仅当慨= ( p ，) 2 + ( p 乙) 2 1 ( 1 4 )2分数阶原始对偶数值算法 式中，( ) 表示共轭运算。 依据该特性提出一种分数阶原始对偶去噪模 型，即分数阶R O F 去噪模型的原始对偶描述，表 示为 m i 望m a 圣( ( 一1 ) “d i v ，H ) x + HE X 口y J J 比一gI J ；一6 D ( p ) ( 1 5 ) 式中，P = p y pI I 。= m 寻xh ，1 表示对偶 空间。艿。( ) 是对偶空间中的指示函数，即分数阶正 则项的拓扑对偶，表示为 针对具有鞍点结构的优化问题，文献 1 1 中提 出了一种基于预解式的原始对偶数值计算方法。令 原始变量戈固定，对对偶变量y 求导，可得到变量y 的预解式为 y = ( J + V F + ) 一1 ( j ，+ A 工) ( 2 2 ) 同理，令对偶变量y 固定，对原始变量工求导， 可得到变量x 的预解式为 z = ( J + V G ) 一1 ( z A y ) ( 2 3 ) 式中，W4 和V G 分别对应函数F + 和G 的梯度。定 万方数据 第1 9 卷第6 期2 0 1 4 年6 月 田丹，薛定宇，杨雅婕分数阶原始对偶去噪模型及其数值算法 义参数L = l lAl l = m a X l l 触l Ix x ，I | xl I 1 ，则当函数F + 和G 中至少有一个为凸函数时，算 法可描述如下： 1 ) 初始化。给定初始步长丁。 0 ，盯。 0 ，且满 足丁。盯。三2 1 。令( z o ，y o ) x y ，；o = z o 。 2 ) 计算 y “”= ( J + 盯。W + ) 。1 ( y “+ 盯。Ai ”) 工“+ 1 = ( J + 丁。V G ) 一1 ( z “一J 。A4 y “+ 1 ) p 。= 1 l + 2 y 丁。，丁。+ l = 咿。下。，盯。+ 1 = 盯p 。 【i ”+ 1 = z “+ 1 + p 。( 工“+ 1 一z ”) ( 2 4 ) 3 ) 计算原始对偶间隔，定义为 f ( z ，y ) 2 熘( ( y 7 ，舭) 一F + ( J ，7 ) + G ( z ) ) 一 毋i 已( ( y ，触) 一F + ( y ) + G ( x ) ) ( 2 5 ) 当该指标满足给定的迭代终止条件时，迭代终 止；否则，令n = n + 1 ，转步骤2 ) 。 不难看出，原始对偶间隔是对偶问题和原始问 题的目标函数差值。该差值在鞍点处可达到最 小1 1 ，故以该指标设定阈值，可保证算法收敛到最 优解。 考虑到提出的分数阶原始对偶去噪模型与具有 鞍点结构的优化模型在形式上的相似性，并且去噪 模型中保真项G ( 比) = 睾l l 一g 忙为凸函数，满足 算法的前提条件，故可采用上述数值算法实现图像 去噪的优化过程。该算法实现了自适应变步长迭 代，可有效提高寻优效率，弥补了一些传统数值算法 对步长要求过高的缺陷。 在数值算法实现中，需要确定预解算子( J + 盯即。) ，( J + 丁VG ) - 1 和线性算子A 。因为 F + ( p ) = 6 ，( p ) ，G ( “) = l lH g0 ；，所以 p = ( J + 盯W4 ) 。1 ( F ) 甘 p ：j ! 止一 ( 2 6 ) ” m a x ( 1 ，l 磊，J ) H = ( J + rV G ) 一1 ( 五) 车亭 u 驴刍半导 ( 2 7 ) u 巧2 i j 广 L 川J 式中，F = p + D 。A 云，五= 比一租+ p ，A = ( 一1 ) 。d i v “。 下面具体给出求解提出的分数阶原始对偶去噪 模型的算法流程： 1 ) 初始化。给定初始步长 0 ，盯。 0 ，且满 p “= ( p 8 + 盯。A 云“) m a x ( 1 ，I p ”+ 盯。A 云“1 ) 4 + 1 = ( 比“一7 - 。A + p “+ ：+ 丁。A g ) ( 1 + r 。A ) p 。= 1 以而，丁n + l = 口。下。，盯n 十l = 盯。9 。 云川= H 川+ 臼。( 比川一H “) ( 2 8 ) 式中，A = ( 一1 ) 。d i v “。 3 ) 计算原始对偶间隔，定义如下： f ( H ，p ) = 啤a 蕃( ( p7 ，A H ) 一F + ( p ) + G ( ) ) 一 m i 已( ( p ，A H ) 一F + ( p ) + G ( M ) ) ( 2 9 ) 当该指标满足给定的迭代终止条件时，迭代终 止；否则，令n = n + 1 ，转步骤2 ) 。 下面考虑算法的收敛性问题，文献 1 1 中已给 出了收敛性证明，但需满足参数的定义，故这里求 取参数L 的取值范围。 因为 I I ( 一1 ) 。d i V 旷= ( 埘。p ；+ 删l p l l + + 伽K 一1 p ；+ K l J + I J 。u o p ：，j + 删1 p ；，+ 1 + + z u x 一1 p ；，+ K 一1 ) 。 ，、 2 K ( 训。砖) 2 + ( 伽。盛) 2 + ( 加。山。) 2 + t ，i ( 侧。p ；。+ 。) 2 + + ( 伽K 一。p ：+ K 一。，j ) 2 + ( 删。一，p ：J + 。一，) 2 2 K ( 加；+ 训；+ + 训；一。) | | p | | 2 所以 7 = I Al = | | ( 一1 ) “d i v “J | 以雨可可葡了_ 而 ( 3 0 ) 式中，叫i = ( 一1 ) i c ? ，K 表示分数阶散度定义中展开 项的项数。 3 数值实验与分析 基于预解式的原始对偶算法中，需要计算分数 阶算子A = ( 一1 ) “d i v 。的伴随算子A + ，如将图像视 为向量，根据线性代数理论，可得出作用于向量时A 的伴随矩阵等于A 的转置。为了方便算法的实现， H = 一距yY p 比 令 算r 汁肌 r 足 万方数据 圃 V O I1 9 N 0 6 J u n 2 0 1 4 实验中首先对图像进行向量化处理。即通过逐行扫 描的方式，将图像矩阵转换为列向量，这样对于M 的图像，图像矩阵的位置( i ，) 对应列向量中的位 置( i 一1 ) + J 。 算法参数设定如下，分数阶散度算子中令K = 2 0 ，算法初始步长盯。= 丁。= 1 。为了保证数据项 G ( 比) 的一致凸特性，应满足7 = c A ，其中，c ( o ， 1 ，这里令c = 0 3 5 。A 表示R O F 模型的调整参数， 即保真项的权值，该值受噪声强度、图像内容、灰度 值范围等因素的影响。但对于某一特定图像，只有 在某个值的邻域内，去噪效果才会比较好。用试错 法进行确定，前提条件是保证去噪图像峰值信噪比 尽可能大。 3 1 分数阶原始对偶模型去噪效果的分析 首先，从频域角度分析模型中分数阶次的选取范 围。图1 中给出了分数阶微分在几个典型阶次仪下 的幅频特性响应曲线。不难看出，随着阶次的增加， 信号的中频和高频成分能有效增强。针对图像，中频 成分对应图像的纹理部分，高频成分对应图像的边缘 和噪声部分。综合考虑模型对噪声的抑制能力和对 图像细节特征的保护能力，本文选取“( 1 ，2 ) 。 8 图1 幅频特性响应曲线 F i 昏1A m p l i t u d e f r e q u e n c yr e s p o n s e 为了分析模型的去噪性能，首先选取临床心脏 超声图像作为测试图像，定性分析不同分数阶次下， 模型的去噪效果，如图2 所示。实验中设定迭代次 数n = 2 0 0 ，调整参数A = 8 。 图2 中可清晰看出分数阶模型较一阶模型能有 效抑制“阶梯效应”，即分段平滑现象。而与二阶模 型相比，能更有效地去除噪声。随着分数阶次的增 加，图像的细节保护能力能有效增强，但也残留更多 的噪声成分。这一结果符合前面关于分数阶微分的 ( f ) a = 1 8 图2 不同阶次下心脏超声图像去噪效果比较 F i g 2C o m p a r i s o no fd e n o i s e dr e s u l t su n d e r d i e r e mo r d e r so nac a r d i a cu l t r a s o u n di m a g e 频率特性分析。 采用峰值信噪比( P S N R ) 作为量化指标，进行 评价和定量分析模型的去噪性能。 。燃l ( M ok l 。 1 i 埘。、，J 。 P s N R = 1 0 1 9 _ 等L 一( 3 1 ) 赢 ( M 。) i 。一“i 。 2 M 台刍“一” 一u 。 式中，表示无噪声的原始图像，u 表示去噪后 图像。 该指标适用于原始图像已知情况下，去噪性能 的测试。这里选取标准L e n a 图像作为测试图像，并 加人均值为0 ，标准差分别为1 0 、2 0 和3 0 的高斯白 噪声。设定实验的迭代次数凡= 2 0 0 ，比较不同分数 阶次作用下的去噪效果。图3 中给出了标准差为 万方数据 第1 9 卷第6 期2 0 1 4 年6 月 田丹，薛定字，杨雅婕分数阶原始对偶去噪模型及其数值算法 2 0 时，几个典型阶次作用下，去噪效果图及其局部 图的比较。表1 中给出了去噪图像峰值信噪比的 比较。 ( 曲a = 1 8 的去噪图像( h ) a = 1 8 的去噪图像局部图 图3典型阶次下去噪效果及其局部效果的比较 F i g 3C o m p a r i s o no fd e n o i s e dr e s u l t sa n dt h e i r l o c a le n l a r g e m e n t su n d e rc l a s s i c a lo r d e r s 图3 中可清晰看出分数阶较一阶情况能有效抑 制“阶梯效应”，并且在发丝部位能明显看出分数阶 能保留更多的图像细节特征，但随着分数阶次的增 加，会残留更多的图像噪声。 实验结果表明，峰值信噪比呈现先增大后减小 的变化规律。这验证了选取d 范围的合理性。 表1 不同阶次下去噪图像峰值信噪比的比较 T a b l e1 C o m p a r i s o no fP s N Ra td i 骶r e n to r d e r d B d 11 21 41 61 82 0 1 03 2 2 7 583 2 3 1 0 13 2 3 9 0 5 3 2 4 5 6 53 2 5 6 373 2 5 5 0 6 2 03 0 3 8 4 33 0 3 9 313 0 4 5 103 0 4 8 313 0 6 呓2 弧5 6 9 2 3 02 8 3 7 532 8 5 3 552 8 5 9 0 82 8 7 3 8 12 8 8 2 832 8 7 4 4 1 3 2 算法的性能分析和比较 本节定量分析采用的基于预解式的原始对偶算 法的收敛性和收敛速度。首先跟踪模型对应的原始 问题和对偶问题的能量函数差值，即原始对偶间隔 的变化情况。从理论上讲，原始对偶间隔等于零时， 模型的解可收敛于鞍点，即达到最优解。选取含有 均值为0 ，标准差为3 0 高斯白噪声的L e n a 图像作为 测试图像，设置参数A = 8 。图4 中给出了几个典型 分数阶次作用下去噪迭代过程中原始对偶间隔的变 化曲线。结果表明，当1 d 1 5 时，算法能有效快 速收敛于鞍点，而当1 5 “ 2 时，算法收敛速度明 显减慢。该结论进一步验证了，当分数阶阶次增加 时，去噪模型在保护更多图像细节和边缘特征的同 时，也残留了更多的图像噪声，噪声去除能力减弱。 图4 不同分数阶次时模型的收敛性比较 F i g 4C o m p a r i s o no fc o n v e r g e n c e u n d e rd i f I b r e n tf h c t i o n a lo r d e r s 此外，为了说明该算法在变分数值算法中的快 速性优势，将其与一些经典算法进行比较，包括 c h 砌b o l l e 的投影算法，B i o u c a s 的M M 算法和B e c k 的快速梯度算法3 1 。选取L e n a 图像作为测试图 像，加入均值为0 ，标准差( 盯) 分别为1 0 、2 0 和3 0 的 高斯白噪声。表2 中给出了当仅= 1 o ，A = 8 ，解的 均方根误差占1 0 一时几种变分数值算法的迭代次 数和C P U 时间的比较。 圈 万方数据 中国图象图形学报 J o U R N A LO Fl M A G EA N DG R A P H l C SV O 1 9 N 0 6 J u n 2 0 1 4 表2 几种变分算法迭代次数和C P u 时间( f ) 的比较 T a b l e2C o m p a s 蚰o ft h en 咖b e r0 fi t e r a t i 蛐sa n dt h e C P Ut i m e s 彻s e v e 瑚lv a a t i _ D na l g o t h m s 不难看出，本文采用的基于预解式的原始对偶 算法收敛速度明显优于其他测试算法。 由定义可知，一阶梯度算子是由有限项组成的 局域算子，而分数阶梯度算子是由无限项组成的全 局算子，所以分数阶模型的实现在速度上要比一阶 情况慢。表3 中给出了去噪L e n a 图像，当A = 8 ，解 的均方根误差s 1 0 ，在不同分数阶次下分数阶 原始对偶算法的迭代次数和C P u 时间的比较。 表3 不同分数阶次下迭代次数和C P U 时间( f ) 的比较 T a b l e3 C o m p a r i s o no ft h e 肌m b e ro fi t e 阳t i o 璐a n dt h e C P Ut i m e su n d e rd i f f e r e n tf a c t i o n a lo r d e r 结果表明，随着分数阶次的增加，算法的收敛速 度变慢。这与前面关于原始对偶间隔变化情况的测 试结论相一致。 4结论 提出了一种与分数阶R O F 去噪模型等价的分 数阶原始对偶去噪模型。它与鞍点优化模型在结构 上具有相似性，故可采用一种求解鞍点问题的原始 对偶数值算法实现。该算法采用自适应变步长迭 代，弥补了一些传统数值算法对步长要求过高的缺 陷。实验结果表明，提出的分数阶原始对偶模型能 有效改善图像的视觉效果，抑制“阶梯效应”，保留 纹理和细节信息。同时采用的基于预解式的原始对 偶数值算法在特定参数取值范围内能有效收敛，且 收敛速度较快。 参考文献( R e f e r e n c e s ) 1 R u d i nLI ，0 s h e rs ，F a t e m i n o i s er e m o v a la 1 9 0 r i t h m s J 2 6 8 E N o n l i n e a rt o t a lv a r i a t i o nb a s e d P h y s i c aD ，1 9 9 2 ，6 0 ( 1 4 ) ：2 5 9 一 2 M asx ，J i a n gcs An e wm e t h o df o ri m a g eb l i n dr e s t o r a t i o n b a s e do nf o u r t h o r d e rP D E J J o u m a l0 fI m a g ea n dG 憎p h i c s ， 2 0 1 0 ，1 5 ( 1 ) ：2 6 - 3 0 马少贤，江成顺基于四阶偏微分方 程的盲图像恢复模型 J 中国图象图形学报，2 0 l O ，1 5 ( 1 ) ： 2 6 - 3 0 3 L i ux ，H u a n gL ，G u oz A d 印t i v ef o u r t h o r d e rp a r t i a ld i f k r e n t i a le q u a t i o nf i l t e rf o ri m a g ed e n o i s i n g J A p p l M a t h L e t t e r s ， 2 0 “，2 4 ( 8 ) ：1 2 8 2 一1 2 8 8 4 s u nJ ，P a nzK ，w e iwB ，e ta 1 H i g h o r d e ri m a g ed i f f h s i o n m o d e lo ni m p l i c i ts u r f a c e s J J o u m a lo f I m a g ea n dG m p h i c s ， 2 0 1 0 ，1 5 ( 1 0 ) ：1 4 4 9 一1 4 5 3 孙军，潘振宽，魏伟波，等隐式 曲面上图像扩散的高阶模型 J 中国图象图形学报，2 0 l O ， 1 5 ( 1 0 ) ：1 4 4 9 1 4 5 3 5 z h a n gJ ，w e izH ，x i a oLA d 叩t i v ef t a c t i o n a l o r d e rm u l t i - s c a l e m e t h o df o ri m a g ed e n o i s i “g J J M a t h I m a 舀n gV i s ，2 0 1 2 ， 4 3 ：3 9 _ 4 9 6 c h a m b o l l eA A na 1 9 0 r i t h mf o rt o t a lv a r i a t i o nm i n i m i z a t i o na n d 印p l i c a t i o n s J J M a t l LI m a g i n gV i s ，2 0 0 4 ，2 0 ：8 9 _ 9 7 7 z h a n g Y ，P u YF ，H uJ R ，e ta l _ Ac l a s so f f h c t i o n a l o r d e rv a r - i a t j o n a li m a g ei n p a j n t j n