走进数学思维·郑毓信.ppt

走进数学思维,郑毓信 2008，12于广东,引入：从一篇文章谈开去,“关于数学教育若干重要问题的探讨对话特级教师王凌的读书笔记”（王凌、余慧娟，人民教育，2008第七期），第39-45页） 主要内容：对于若干“语录”的解读。,背景（按）,前一段时间，我在网上神游，忽然发现许多数学教育网站、数学教师的博客上都流传首“王凌的35条精彩语录”，而且点击率很高。如今能成为“语录”的东西该是稀罕物了。打开仔细一看，真是“精彩”！浓缩了不少数学教育的思想精华。能写如此“精彩语录”的人，不用管“语录”从何而来，都代表了一种学养，一种品位。我决定见识见识这位隐藏着的智者，就其中的某些“语录”向王老师发问。经过两轮挑战和对话，形成了如下的文字，,一个值得思考的问题,一篇读书笔记为什么会引起人们如此的兴趣？ 这一事件又给了我们什么样的启示？,按,我决定见识见识这位隐藏着的智者经过两轮挑战和对话，形成了如下的文字，也拿来与更多的读者分享数学教师该读什么书，数学教育的精髓是什么？数学理论该如何用实践来解读这一系列困扰每一个教师的问题的答案。,另一段对话,“这些笔记的确很精辟，但是我觉得您的解读更精彩，从某种角度讲，能用恰到好处的实例来解读理论的人，比只会给出抽象理论的人更伟大，因为这不但表明消化理论的能力，也代表了思考的透彻与思想的成熟。您让我们看到了浓缩的理论后面丰富的实践风景，同时也引发了新的思维风暴。”,启示（1）：教学研究的一条可能途径,用恰到好处的实例来解读理论。,启示（2）：关于教师培训工作,培训形式的必要转变。 应当积极引导教师去读书、读好书。,加强学习的意义（1）,了解发展动态，明确教学研究的方向。,例1 一段评论,“新课程实施以来，广大一线教师在实践中不断遇到新问题，如算法多样化、创设情境、小组合作等，随着课程改革的深入，老师们对这些问题的认识逐步趋于清晰并付诸实践，而近两年来，解决问题的教学成了教师们最为关注的话题”（小学数学教育编辑部 ，2008年第七期）,例2 另一篇受欢迎的文章,邱学华等：“2007年小学数学教育的回顾与展望”（小学教学，2008年第三期） 相关的大事； 热点问题； 重要著作与论文。 展望。,加强学习的意义（2）,增强判断能力，防止对于时髦潮流的盲目追随。,例3 一段心得体会,“最大的读书心得是什么？许多事情，过去有过；许多问题，前人想过，许多办法，曾经用过；许多错误，屡屡犯过。懂得先前的事情，起码不至于轻信，不至于盲从。” （陈四益，文艺报，2005，9，17）,例4 美国课程改革的相关教训,第一，对基本知识和技能的忽视。 第二，不恰当的教学形式，即如对于合作学习的过分强调等，但却未能很好地发挥教师应有的作用。特别是，由于“建构主义”的盛行，人们认为学生只能掌握（或理解）其自身或通过同伴间合作所得以“建构”的知识，而这事实上就从根本上消取了教师在教学中所应发挥的主导作用。,第三，数学并不只是一种有趣的活动，仅仅使数学变得有趣起来并不能保证数学学习一定能够获得成功，因为，数学上的成功还需要艰苦的工作。事实是，在实践中我们经常可以看到这样的现象，即为了吸引学生的兴趣，教师或教材把注意力和大量的时间放到了相应的活动或情景之上，但却没有能集中于其中的数学内容，这当然是一种本末倒置。,第四，课程组织过分强调情景学习，而忽视了知识的内在联系。例如，在按照这种思想所编制的一些中学数学教材中，传统的关于几何、代数和三角的区分被取消了，取而代之则是所谓的整合性数学，也即主要围绕实际生活来组织有关的数学内容的学习。然而，尽管后者具有综合性的特点，并较好地体现了数学的实际意义，但却未能使学生较好地掌握相应的数学知识。,第五，未能给予数学推理足够的重视。尽管课程标准明确地指出应当培养学生数学推理的能力，但是，就实践而言，所唯一得到强调的只是实验与猜测在数学发现中的重要作用，而逻辑与证明则完全被抛弃了。,第六，广而浅薄，这即是指，由于未能很好地区分什么是最重要的和不那么重要的，现行的数学教育表现出了广而浅的弊病。特殊地，大众数学看来忽视了不同的学生有着不同的需要，而一种更应注意避免的弊病则是将为一切人的数学变成了最小公分母式的教育。”（“千年之交的美国数学教育”，载郑毓信，数学教育的现代发展，江苏教育出版社，1999年）,加强学习的意义（3）,从长远的角度看，能够不断提高自己的理论素养，开拓视野，增强思维的深刻性。,插入：一点建议,无论是专业的理论研究工作者，或是在职教师或未来的教师，都应经常自问：什么是自己专业领域内最为重要的一些著作或论文？ 教育领域内的各个专家、包括各级教研员以及优秀教师都能为一线教师认真推荐本专业的几本好书或好的文章。,我的推荐：一个值得关注的领域数学教育哲学,（1）数学教育哲学的兴起 必要的思考：这是否仅仅是一种时髦，还是有其一定的必然性，合理性？,（2）数学教育哲学的主要内容,数学观 数学教育观 数学学习观与数学教学观,（3）回到主题,什么是数学教育的价值？特别是，数学教育对于提升学生的素养究竟又能起到怎样的作用？ 基本立场：我们既应充分体现数学教育的特殊性，同时也应高度重视教育的整体性质。,可能的结论,（1）充分发挥数学的文化价值； （2）帮助学生学会数学地思维，乃至“通过数学学会思维”。,进入主题：走进数学思维！,一个持续的热点； 现状与问题： 第一，普遍存在的一个思想障碍：由于小学数学的内容较为简单，因此就不可能很好体现数学思维； 第二，在现实中我们并可经常看到“简单移植”、“随意拔高”等作法。,当务之急,应当针对小学数学的实际情况、包括具体的教学内容与学生的认知水平更为深入去开展工作，特别是， 第一，清楚的界定； 第二，很好处理具体数学知识内容（包括知识与技能）的教学与数学思维的教学之间的关系。,一、从数学抽象谈起,父：“如果你有一个橘子，我再给你两个，你数数看一共有几个橘子？” 子：“不知道！在学校里，我们都是用苹果数数的，从而不用橘子。（译林文摘版）,数学最基本的特性：抽象性,“甚至对数学只有肤浅的知识就能容易地察觉到数学的这些特征：第一是它的抽象性，。抽象性在简单的计算中就已经表现出来。我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。我们在学校中学的是抽象的乘法表总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或是苹果的数目乘上苹果的价钱等等。”（亚历山大洛夫）,数学与现实,第一，数学抽象源于现实生活，包括具体的事物与现象，以及人们的运作； 第二，数学抽象又高于现实，并是一种建构的活动，即包含了与现实世界在一定程度上的分离。,分析与思考,“数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种解读。”（转引自衡锋，“错题演绎的精彩”，小学数学教学，2007年第十期） 对照：学习主要是一个“顺应”的过程，也即如何对主体已有的认知框架作出必要的调整或重建。,例一 这个学生缺的究竟是什么？ （楼文胜，“问题到底出在哪儿？”）,任课教师要求学生求解这样一个问题：“52型拖拉机，一天耕地150亩，问12天耕地多少亩？” 一位学生是这样解题的：5215012=,接下来的对话,“告诉我，你为什么这么列式？” “老师，我错了。” “好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？” “除。” “怎么除？” “大的除以小的。”,“为什么是除呢？” “老师，我又错了。” “你说，对的该是怎样呢？” “应该把它们加起来。”,启而不发？,“我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼，5天吃几个大饼？” “老师，我早上不吃大饼的。” “那你吃什么？” “我经常吃粽子。” “好，那你每天吃两个粽子，5天吃几个粽子？”,“老师，我一天根本吃不了两个粽子。” “那你能吃几个粽子？” “吃半个就可以了。” “好，那你每天吃半个（小数乘法没学）粽子，5天吃几个粽子？” “两个半。” “怎么算出来的？” “两天一个，5天两个半。”,结论之一,学会数学思维的首要涵义：学会数学抽象（模式化）。 数学：模式的科学。这就是指，数学所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。,例二 这能否算一堂真正的数学课？,这是关于“问题解决”的一个教学实例，教师要求一群三年级的学生求解以下的问题： “某女士外出旅行时带了两件不同颜色的上衣和三条不同颜色的裙子，问共有多少种不同的搭配方法？” 教师鼓励学生们用“实验”的方法去解决问题：学生拿出了笔和纸，开始在纸上实际地画出各种可能的搭配结果表明，在大多数情况下学生都可凭借自身的努力（单独地或合作地）得出正确的解答。,事后的思考,学生通过这一教学活动究竟学到了什么，特别是，这些学生能否被认为已经掌握了相应的数学知识？,更多的问题,某人有两套不同的西装和三条不同颜色的领带，问共有多少种不同的搭配方法？ 有两个军官和三个士兵，现由一个军官和一个士兵组成巡逻队，问共有多少种不同的组成方式？ 某女士外出旅行时带了三件不同颜色的上衣和四条不同颜色的裙子，问共有多少种不同的搭配方法？ 有三个军官和四个士兵，现由一个军官和一个士兵组成巡逻队，问共有多少种不同的组成方式？,结论之二,帮助学生学会数学抽象的关键：应当超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式。（ “去情境化”） 相关的论述：数学教学必定包括“去情景化、去个人化和去时间化”。 问题：如何才能帮助学生学会“去情境化”？,例三 “找规律” （黄爱华、胡爱民）,“师：在中国少年先锋队鼓号队的鼓号曲里，我们把第一个音唱做咚，第二个音唱做哒，第三个音唱做啦，所以这个乐句就变成咚 哒啦咚 哒啦咚 哒啦 “请想一想：第16个音符是什么？为了能让别人看得一清二白，请你在草稿本上用一种合适的方式表示出来，可以写一写、画一画、算一算。”,方法一：用图形表示 方法二：用数字表示 1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3 1,结论之三,模式化的重要手段之一：引入适当的图形或符号，从而实现与具体情境在一定程度上的分离。,二、数学中的分类,课改以来的一个新增内容。 相应的思考：究竟什么是数学中的分类？这与一般的分类又有什么不同（显然，这也直接关系到了究竟什么是数学课所应当具有的“数学味”）？,例四 几何模块的分类,常见的组织方式。,分析与思考,问题：我们是否应当同样地去肯定学生所提出的各种分类方法，包括按形状、颜色和材料等进行分类？ 有益的对照：自然数的认识。,进一步的问题：数学中究竟又为什么要进行分类？,例四 “100以内加减法练习”,34+42 =76， 37+17 =54， 69 -15 =54， 59 +17=76， 91 -15 =76， 83 - 29=54。,“师：刚才全体小朋友认认真真地做好了六道100以内的加减计算题，并且做得很对。现在我们再来仔细观察这六道题，如果我们把它们分成两类，你有什么好办法？为什么可以这样分？”,方法一：按照得数相同来分； 方法二：按加法和减法来分； 方法三：按不进位加法和不退位减法、以及进位加法和退位减法来分；,方法四：把 37+17、59 +17分成一组，把34+42、69-15、91-15 、83-29分成一组。（因为前两者中都包括了17。） 方法五：把34 + 42 = 76分成一组，剩下的为一组。（因为前者所涉及的都是偶数。）,教师的总结,“教学中教师有意识地引导学生从不同的角度来分析问题进行合理的分类，让学生通过相互的交流，从中感受到分类结果在不同标准下的多样性，感受到不同标准的分类有着不同的意义和作用，就能使学生的思维得到发散，使学生的不同思想方法得到充分有效的交流。” 但是，我们究竟为什么要进行分类？,结论之四,分类应当具有明确的目的性。 第一，归类：数学抽象的直接基础； 第二，不同类别的区分：由简到繁、由特殊到一般地去开展研究。 分类问题也需要优化。（用数学家的眼光去看待世界、分析问题、解决问题。）,一个练习,“制作正方体及长方体的折纸图样”（展开图）。 问题：如何去判别一个六联方是不是正方体的展开图？正方体又一共有多少种不同的六联方展开图？（冯振业：“通过数学化教学进行教材研发及教师培训”，小学数学，2008年第五期）,例五 “三角形的分类”,究竟什么应是这一堂课的教学重点：是角的度量？还是分类的必要性与合理性？ 一个重要的思想：分类活动的科学性。,一个相关的研究：数学家与初学者（学生）的比较,问题的不同分类： 按问题的“表层结构”（事实性内容与表述方式）与“深层结构”（内在的数学结构、解题方法）。 学会数学地思维的又一重要内涵：由“表层结构”逐步深入到“深层结构”。,例六 水池问题 （祝中录）,“学生在解决水池问题时，往往会认为水池一边开进水管，一边开出水管，不论经过多长时间都不会注满水池。在教学时教师可以不急于讲解，而是引导学生寻找生活中类似的实例。（1）追及问题。客车每小时行40千米，小汽车每小时行50千米。现在客车在小汽车前25千米的地方，同时沿笔直的公路行驶，多长时间小汽车能追上客车？（2）储蓄问题。爸爸每月工资420元，妈妈每月工资300元，每月平均支出450元，余下的钱存在银行，几个月后能买一台价格1350元的电视机？通过这些实例学生就容易弄明白只要进水量大于出水量，经过一段时间水池就一定能注满水。”,结论之五,学会数学思维的又一重要内涵：思维的必要优化。,三、数学中的类比,数学思维的合理发展：由归类、到分类、到类比（联想）。 问题：究竟什么是类比（联想）？在小学数学中我们又应如何去进行类比（联想）的教学？,一个常见的说法,“我们观察到两个或两类事物在许多属性上都相等，便推出它们在其它属性上也相同。这就是类比法。”,例七 必要的思考：一些实例,一元一次方程、一元二次方程与一元三次方程的比较。 等腰三角形与等腰梯形的比较。,结论之六：什么是真正的类比？,类比在数学中重要作用：就是通过两个不同对象的比较由已经获得的知识去引出新的猜测。 成功应用类比联想的关键：求同存异,为了应用类比，我们不需要相关对象在所有方面都完全一样，而只要求在这两者在某一方面或在某一抽象层次上是相似的，这就是“求同”，也即如何能在抽象分析的基础上找出两个对象的“类似之处”。 “存异”则是指新的猜测的产生并不是简单的重复、模仿，而是一种创造性的工作，特别是，在由已知事实去引出新的猜测时，我们必须注意分析两者之间所存在的差异，也即必须依据对象的具体情况作出适当的“调正”。,结论之七,相对于归类与分类而言，类比联想是一种更为高级的思维形式。 教学中的关键：如何能够针对学生的认知发展水平去有针对性地去进行教学？,四、问题解决与数学思维从“植树问题”谈开去,教学研究的一个持续热点：“众所周知，植树问题是一个经典的问题，长期备受众多专家、特级老师的青睐，曾经无数次被搬上舞台演绎出许多经典课例。”（郦丹）,“植树问题”与培养学生的数学思维,“在本课的教学设计中，解题不是主要的教学目的，主要的任务是向学生渗透一种思想，”（吴荔丹，“植树问题教学设计与评析”，小学数学教师2008年No.1) “设计上的一个重要思考是向学生渗透一种思想，一种在数学上和研究问题方面都很重要的思想”（张锡忠，“植树问题课堂实录”，小学数学2008年No.2）,另外一些共同点,任课教师通常特别重视关于“植树问题”的三种不同类型的区分，也即所谓的“两端都种”、“只种一端”与“两端都不种”。 就上述三个类型的区分而言，设计者又往往归结为“规律的发现”，并普遍地采取了“学生独立探究（或分组探究）、反馈交流、教师总结”这样的教学方法。 第三，就相关的数学思想而言，有不少教师突出地强调了所谓的“化归思想”。,分析与思考（1）： “归类”与“分类”,“植树问题”事实上涉及到了两种不同的数学活动： （1）以“植对问题”为原型引出普遍性的数学模式，然后再利用这一模式去解决各种新的问题，如路灯问题、锯树问题、爬楼问题等。 （2）对于所提到的每一个问题我们又都可以区分出三种不同的情况，这也就是所谓的“两端都种”、“只种一端”与“两端都不种”。 关键：究竟何者应当被看成这一教学活动的重点？什么又是这一教学活动的真正难点？,分析与结论,如果学生未能清楚地认识到路灯问题、锯树问题、爬楼问题等都与植树问题有着相同的数学结构，也即可以被归结为同一个数学模式，对他们来说“这究竟属于植树问题中的哪个类型啊”这样的问题就是完全没有意义的。 从而，“模式的建构”就比“三种情况的区分”有着更大的重要性，在教学上我们也应对此予以更大的关注。,教学中的相关现象,“有些学生虽然会解决这一问题，但这些学生尚不能把植树问题的解决方法与生活中相似的现象进行知识链接，这就导致了能找到规律但不会熟练运用规律”（张锡忠，“植树问题课堂实录”）,进一步的思考：如何能够超出“植树问题”并引出相应的普遍性模式？,由“植对问题”过渡到“分隔问题”； 图形与符号符号的适当应用。 一些实例： 叶婉红，“植树问题教学实录与评析”，小学数学教育，2008No.7； 张锡忠,，“植树问题课堂实录”，小学数学2008No.2,分析与思考（2）：规律的“机械应用”与思维的灵活性,问题：我们在教学中是否应当对于“两端都种”、“只种一端”与“两端都不种”这样三种情况的区分予以特别的重视，并要求学生牢牢地记住相应的计算法则（“加一”、“不加不减”、“减一”）以致在面对新的类似问题时就能不假思索地直接加以应用？,相关的思考,就“植树问题”而言，在现实中是否真的就只有“两端都种”、“只种一端”、“两端都不种”这样三种情况？ 进而，对于其它一些可能的情况我们又是否也应要求学生总结出相关类型，并牢牢地去记住相应的“规律”（“加二”、“减二”、“乘二”、“除二”）？,分析与结论,将“三种情况”的区分以及相应的计算法则看成是一种“规律”、并要求学生牢固掌握从而就能直接加以运用恐怕不很恰当；毋宁说，在此真正重要的应是“一一对应”这样一个数学思想就“植树问题”进行分析，这也就是指，在此真正重要的是在“间隔”与“树”之间所存在的一一对应关系 进而，所谓的“加一”、“减一”等法则又只是针对具体情况作出的适当变化从而，在此真正需要的就不是“规律的应用”；而是思维的灵活性，也即如何能够依据基本模式并通过适当变化以适应变化了的情况。,总结,对于“植树问题”的教学应当区分出这样两个不同的教学要求或教学环节：（1）突出“分隔问题”，即是如何能以“植树问题”为背景帮助学生建构相应的数学模式；（2）明确引出“间隔数”与“所种树的棵数”这两者的关系，突出“一一对应”的思想，并以此为基础求解各种变化了的情况。 对于“两端都种”等三种情况的区分不应过于强调，更不应将相应的计算法则看成重要的规律乃至要求学生牢牢记住从而就能不假思索地加以应用。,五、数学中的特殊化与一般化,两个应当思考的问题： 究竟什么是数学中的特殊化与一般化？ 小学数学中是否也有特殊化与一般化？,一点提醒：对于抽象定义的必要超越,特殊化“是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小子集，或仅仅一个对象。” 一般化“是从考虑一个对象过渡到包含该对象的一个集合，或者从考虑一个该小的集合过渡到包含该较小集合的更大集合。”,（1）从概念学习的角度看,数学抽象就是一个一般化的过程； 如何为抽象的数学概念给出具体的例子则就是特殊化的过程。 插入：数学教师的一个基本功：适当的举例！,理论指导下的自觉实践：变式理论,核心思想之一：“标准变式”与“非标准变式” 。 背景：一些常见的错误观念。 角必定有一条水平射线； 直角必定是指向右边的角； 三角形和四边形的底边都应处于水平位置； 三角形的高必须处于垂直的位置，并必定于三角形的底边相交；,分析与思考,学生之所以会形成这些错误观念往往就与我们在教学中所使用的往往只是“标准变式”有着直接的关系。 从而我们在教学中不应唯一地局限于平时所经常用到的一些实例，而也应有意识地引入一些“非标准变式”。,核心思想之二：“概念变式”与 “非概念变式” 就概念的理解而言，“非概念变式”事实上起到了“反例”的作用，这样，通过与“正例”（ “概念变式”）的对照，就可以帮助学生更好地去掌握概念的本质。,（2）从“问题解决”的角度看,相关的论述：“特殊化与一般化构成了整个解题过程的基础。”（梅森）,关于特殊化,由随意的特殊化，去了解问题； 由系统的特殊化，为一般化提供基础； 由巧妙的特殊化，去对一般性结论进行检验。（梅森）,例八 自行道问题,假设商店中铺设了单一方向上前进的自行道，问顾客由自行道往返一次（例如，由商店大门顺道前往某一柜台然后再逆道返回）所花费的时间与先前完全依靠人力行走相比究竟是花费了更多的时间、还是节省了时间？,例九 “小数乘整数”与找规律 （张勇成）,“师：有些小数和整数相乘很简单，同学们口算就可以解决了，请看 0.14=0.4； （师：“这样的8份呢？”） 0.014=0.04；（师：“这样的23份呢？”） 0.0019=0.009。（“师：这样的129个呢？） “师：刚才口算的这些乘法，都是哪些小数与整数相乘？ “生：都是0.1，0.01，0.001与整数相乘。 “师：当0.1，0.01，0.001与一个整数相乘时，你们为什么这么快就得出了结果？有什么规律吗？,“生1：乘得的结果越来越小。 “生2：都和几个零点几有关系。 “生3：乘得的结果都是小数。 “师：同学们观察得很仔细，当0.1，0.01，0.001乘一个整数时，它们的计算结果是几位小数和谁有关系呢？ “师：也就是说，因数中有几位小数，积 “生：就有几位小数。” （下略）,回顾,由随意的特殊化，去了解问题； 由系统的特殊化，为一般化提供基础； 由巧妙的特殊化，去对一般性结论进行检验。（梅森）,关于一般化,什么看上去像是真的？ 为什么它是真的？ 它在怎样的范围内看上去也是真的？,例十 一般化的实例,在掌握了“三角形的内角和为180”以后，我们显然就应进一步去思考如何才能求得四边形、五边形、乃至n边形后者的内角和？ 在解决了“如何由长方形的长和宽去求取它的对角线”以后，我们就可进而去考虑“如何由长方体的长、宽、高去求取它的对角线”；乃至 “已知平行六面体从对角线一个端点出发的三条棱的长度以及三棱间的三个夹角，求对角线的长？” “已知正八面体的棱，求其对角线的长？”,插入,数学教师的又一基本功：适当的提问！ 三个主要的方面： （1）解题策略； （2）数学的精神； （3）学会学习。,六、数学思维的学习与教学,努力加强数学思维（数学方法论）的学习。 两条主要的线索：（1）“问题解决”与“问题提出”；（2）概念的生成、分析与组织。,数学思维学习的关键,不应求全，而应求用，也即应当密切联系自己的教学实践去进行学习，学以致用。 长期的努力方向：理论指导下的自觉实践。,相关的思想,基础知识：不应求全，而应求联； 基本技能：不应求全，而应求变； 数学思维：不应求全，而应求用。,一个练习,“红花映绿叶春=叶绿映花红，要求想出红、花、映、绿、叶分别代表什么数字？” 请尝试着以数学启发法为指导去求解这一问题（相应的解答为：219784=87912）。,当前应当特别注意的一个问题,防止简单的移植： 集合与分类； 函数与变化； 极限与无限； ,例十一 “除非它们都能站起来！”,这是发生在20世纪60年代的一个真实故事：当时“新数运动”作为风靡全球的改革运动正处于高潮之中，其核心思想就是认为应当用现代数学思想对传统的数学教育作出改造，由于集合的概念在现代数学中占据了特别重要的位置，因此，下述情况的出现就无足为奇了。,在幼儿园上学的女儿告诉数学家的父亲：“我们今天学了集合！” 父亲：“老师是怎么教的？” 女儿：“女教师首先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；其次，她又让所有的女孩子站起来，并说这是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，最后，教师问全班：大家是否都懂了？她得到了肯定的答复。”,父：“那么，我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合？” 迟疑了一会，女儿最终作出了这样的回答： “不行！除非它们都能站起来！”,结论,应当更为清楚地去界定，就小学数学的各个学习阶段而言什么是相关的数学思维？ 应当积极从事数学思维的教学，这主要地又并非是指于专门性的思维教学，而应更加强调数学思想的渗透，也即用数学思想的分析指导、带动具体知识内容的教学。,例十二 “重建”高斯,少年时代的高斯是如何很快求得1+2+3+99=4950的？,类比与启示,为了求解S=1+2+3+99=？我们也可首先去计算2S： 2S= 1 + 2+ 3+ 99 +99 + 98+ 97+ 1 =10099=9900 S=4950,结论之八,用思维分析带动具体知识内容的教学的关键：方法论的重建，从而实现化神奇为平凡、化难为易。 意义之一：使数学教学真正“讲活”、“讲懂”、“讲深”； 意义之二：使数学思维真正成为可以理解的、可以学到手的、和可以加以推广应用的。,“讲活”：教师应当通过自己的教学活动向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识； “讲懂”：教师应当帮助学生真正理解有关的教学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背； “讲深”：教师不仅应帮助学生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生深入领会并逐