人教版,数学,高一,必修一,1.3-3函数的最值.ppt

教学目标： 知识技能：使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用 启发学生学会分析问题、认识问题和创造性地解决问题。 重点：函数最大（小）值的定义和求法 难点：如何求一个具体函数的最值。 过程与方法：通过渗透数形结合的数学思想，对学 生进行辩证唯物主义的教育。探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确。 情感、态度与价值观：理性描述生活中的最大（小）、最多（少）等现象。,1.3-3 函数的最大值、最小值,1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.会求一些简单函数的最大值或最小值.,1.本课重点是理解函数的最大(小)值的概念并会求一些简单函数的最大值或最小值. 2.本课难点是求函数的最大值或最小值.,复习回顾：,1.函数f(x)在区间D上是增函数的定义？减函数呢？,2.用定义法证明(或判断)函数单调性的步骤？,设元作差变形判号定论,评：第三步“变形”必须要变到能判断符号为止， 常见方法因式分解 , 通分 , 配方 等等！,函数的基本性质 最值,当x = 时，图象到达最低点， 这时y= ；这时的y是函数值中最小的 当x = 时，图象到达最高点， 这时y = .这时的y是函数值中最大的,回顾并引入新题,增减函数 单调增减区间,回顾并引入新题,问题1:设函数y= f(x)图象最高点的纵坐标为M,则对定义域 内任意自变量x, f(x)与M的大小关系如何?,问题2:从图像知f(x) 6成立吗?那f(x)的最大值是6吗?为 什么?,f(x) M,通过上面的分析，我们能给出函数的最大值的定义：,函数最大值的数学定义,(maximum value).,一般地，设函数 的定义域为 I ,如果,存在实数 M 满足：,1）对任意的实数 I，都有 M,2）存在 I，都有 M,那么我们称 M 是函数 的最小值,记作：f(x)mix=M,或者 ymix=M,函数最小值的数学定义,(minimum value).,函数的最大值就是函数值域中的最大的数， 也就是图像中的最高点的纵坐标 。,函数的最小值就是函数值域中的最小的数， 也就是图像中的最低点的纵坐标 。,最大最小值的几何意义,1. f(x) =2x,有最大值，最小值吗？ 2. f(x) =2x，x(1,3),有最大值，最小值吗？ 3. f(x) =2x，x1,3,有最大值，最小值吗？ 4. 那么，1是函数的最大值吗？ 5.如果函数有最大值，可以有几个，取最大值的自变量x的值有几个呢？（最小值同理） 6. 如果函数的值域是a,b,那么，可以说，函数的最小值是a,最大值是b;反过来说，如果函数的最小值是a,最大值是b,可以说函数的值域是a,b吗？,思考,1.最大值、最小值定义的理解 (1)最大(小)值定义中具备的两个条件 对于定义域内全部元素，都有f(x)M(f(x)M)成立 M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如f(x)=-x2的最大值是0，有f(0)=0，注意定义中“存在”一词的理解. (2)两条件缺一不可， 若只有前者，M不是最大(小)值， 如f(x)=-x21成立，但1不是最大值， 更不能只有后者，那样就丢掉了最大值的核心了,例1.如图为函数y=f(x), x -4,5,的图象，指出它的最大值、最小值。,应用类型一：利用图象法求函数最值,C,基础练习,4,1.,D,2.,3.已知函数f(x)= 求函数f(x)的最大值、最小值.,【解析】.作出f(x)的图象如图：,由图象可知，x=2时，f(x)的最大值为2，,当 时， f(x)的最小值为 ，,利用图象法求函数最值 【技法点拨】 利用图象法求函数最值 1.利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法，对图象易作出的函数常用. 2.图象法求最值的一般步骤：,单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求解；,例2.已知函数,求函数 f(x) 的最大值和最小值.,利用单调性求最值 【技法点拨】 利用单调性求最值的三个常用结论 1.如果函数f(x)在区间a,b上是增(减)函数，则f(x)在区间a,b的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值. 2.如果函数f(x)在区间(a,b上是增函数，在区间b,c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a,c)上有最大值f(b). 3.如果函数f(x)在区间(a,b上是减函数，在区间b,c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a,c)上有最小值f(b).,求最大值、最小值时的三个关注点 (1)利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标. (2)单调性法求最值勿忘求定义域. (3)单调性法求最值,尤其是闭区间上的最值，最忌不判断单调性而直接将两端点值代入求解时一定要注意.,函数最值的应用 【技法点拨】 解实际应用题的四个步骤 (1)审读：解读实际问题，找出已知条件，未知条件，确定自变量和因变量的条件关系. (2)建模：建立数学模型，列出函数关系式. (3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围). (4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.,小结,1.函数的最大（小）值的概念 2.求函数的最值的一般方法,(1)图像法：对于熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数等函数可以先画出其图象，根据函数的性质来求最大（小）值,(2)单调性法：对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画出其图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利用单调性求出函数的最值,最大(小)值的理解,对于任意xI，都有_， 存在x0I，使得 _.,函数y=f(x)图象上_点的纵坐标.,对于任意xI，都有 _， 存在x0I，使得 _.,函数y=f(x)图象上_点的纵坐标.,f(x)M,最高,f(x0)=M,f(x)M,f(x0)=M,最低,1.函数f(x)=x2-1总成立，f(x)的最小值是-1吗？ 提示：f(x)=x2-1总成立， 但是不存在x使f(x)=-1， 所以f(x)的最小值不是-1. 2.要确定f(x)=ax+2(a0)在-1,3上的最值，需要先确定什么？ 提示：先判定f(x)=ax+2(a0)在-1,3上的 单调性或者画出函数图象， 从而判定何时取最大值，何时取最小值.,类型二：利用函数单调性求最值,例3：二次函数在闭区间上的最值,问题1：已知函数y=x2+2x-3 且x 求函数的最值。,解：因为由图易知:对称轴 X0= -1 0，2,f(x)在区间0，2上单调递增。,所以：ymin= f(0)= -3 ymax= f(2)= 5,答：函数的最小值为-3， 最大值为5,0， 2,-3，-2,解：因为由图易知:对称轴 X0=-1 -3，-2,f(x)在区间-3，-2上 单调递减,答：函数的最小值为-3， 最大值为0,所以：ymin= f(-2) = -3 ymax= f(-3) = 0,-2，2,问题2：已知函数y=x2+2x-3 且x , 求函数的最值。,-3，-2,解：因为由图易知：对称轴 X0=-1 -2，2,又因：f(-2)= -3, f(2) = 5,答：函数的最小值为-4， 最大值为5,所以 ymin= f(-1) = -4 ;,所以：ymax= f(2) = 5,总结：要求最值，就要考察函数在区间上是否具有单调性，对于二次函数就要考察函数图象的对称轴与区间的位置关系。,问题1,问题2,问题3,例4.求函数f(x)=x2-2ax+2 在2，4上的最小值,【规范解答】,例4：求二次函数f(x)=x2-2x+2在t ,t+1的最小值,1.,的最大值_,最小值_.,2.,的最大值_,最小值_.,7,-2,10,6,耐克函数,注意定义中条件和结论的双向使用。,思考：,1、若f(x)在R上增函数，且f(a)f(1)， 则a范围为 。,2、若f(x)在R上减函数，且f(3a-1)f(a+3)， 则a范围为 。,3、若f(x)在-2,1增函数， 且f(a-1) f(2a+1)0，则a范围为 。,函数f (x)在此区间A上为增函数。,评：,4. 已知二次函数f(x)=ax2+4ax+a2在区间 - 2 , 0上有最小值5，求实数a的值。,KEY：5或,思考：本题中,如何求f(x) 在区间- 2,0上的最大值?,思考、已知函数 f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间 （- ，1上是减函数，求实数a的取值范围。,例2、函数 f (x) 在 ( 0 , + ) 上是减函数， 判断 f ( a 2 a + 1 ) 与 f ( ) 的大小关系？,函数单调性在比较大小、解不等式中的应用,点评：函数的单调性使得变量之间的不等关系和函数之间的不等关系可以“正逆互推”,例3、函数f(x)是定义在(0,+)上的增函数，满足：f(xy)=f(x)+f(y)，f(8)=3， 解不等式 f(x) f(x2)3,函数单调性在比较大小、解不等式中的应用,注：利用