高等数学讲义第四章微分中值定理与导数的应用.ppt

第四章 中值定理, 1. 罗尔定理、拉格朗日定理与柯西定理,1. 罗尔定理,罗尔定理的几何意义，如下图,注意：定理中的条件是充分条件,2. 拉格朗日定理,定理证明中，也可作辅助函数,易验证F(x)满足罗尔定理的条件,当 f (a)= f (b) 时，拉格日定理即为罗尔定理。 通常称罗尔定理为拉格朗日定理的特例。,拉格朗日定理的几何意义，如下图,推论：若函数 f (x)在a,b上导数处处为零，则 f (x) 常数,3. 柯西定理,易验证，F(x)在a,b上满足罗尔定理的条件。,如果取 g(x) = x，则柯西定理即为拉格朗日定理，通常称柯西定理为拉格朗日定理的推广。,运用中值定理，证明题目的关键是如何作辅助函数。,拉格朗日定理又称为拉格朗日中值定理。,2.罗必塔法则,3. 泰勒中值定理及其应用,1. 泰勒中值定理,泰勒中值定理：设函数 f (x) 在点 x0 的某个邻域内具有(n+1)阶导数，并且 x 是该邻域内异于 x0 的点， 那末在点 x 与 x0 之间至少存在一点 使得,上式即称为 n 阶泰勒公式,上式又称为麦克劳林公式,由微分定义知：,作辅助函数,上式即为一阶泰勒公式,由拉格朗日定理知：,因此拉格朗日定理又可称为零阶泰勒公式。,2. 一些简单函数的 n 阶泰勒公式,上式即为二阶泰勒公式,3. 泰勒公式的应用,1) 近似计算,2) 求极限,3) 函数值估计,4. 函数的单调性的判别法和极值,1. 函数单调性的判别法,如果函数可导的话，导数与函数的增减有很大的关系。,定理1的条件结论可改写成：,列表讨论,一般来说，用导数为零的点来划分单调区间，有时，导数不存在的点也可用来划分单调区间。,定理1 还常用来证明一些不等式,2. 函数的极值及其求法,极小值,极大值统称极值，极小点,极大点统称极值点。,注意：极小值、极大值与最小值、最大值的差异。,对可导函数来说，极值点必为驻点，而驻点不一定是极值点。,什么条件下驻点必为极值点呢？,3. 最大值、最小值问题,由闭区间上连续函数的性质知闭区间的连续函数必能取到最大值、最小值。,最大(小)值必在端点或极大(小)点处取到。,所以只要计算端点值和可能极值点的函数值加以比较即可。,例12. 求内接于半径为 R 的球的正圆锥的最大体积。,5. 曲线的凸向与拐点,仅有单调性仍不能准确地描绘函数的图形，如下列图形虽然都是单调增加的，但存在很大的差异。,1. 曲线的凸向,下面介绍凹、凸的概念,用定义来判定函数 f (x)的图形是下凸还是上凸是非常困难的，下面给出充分条件。,2. 拐点,我们把曲线凸向发生转变的转折点称为拐点。,6. 曲线的渐近线与函数作图,2）水平渐近线,1）垂直渐近线,1. 曲线的渐近线,3) 斜渐近线,2. 函数作图,函数作图的一般步骤,1) 确定函数的定义域,2) 确定曲线的渐近线,4) 用上述根或导数不存在的点将定义域分成若干 个小区间。,5) 列表讨论 在各个小区间上的符号，并 由此确定函数图形的单调区间和凸向区间以及极 值点和拐点。,6) 求出各分割点处的函数值，可能的话求出曲线在 坐标轴上的截距，用光滑曲线连接这些点便可得 到曲线 y=f (x) 的图形。,2）切线法（牛顿迭代法）,3. 方程的近似解,1）图解法,7. 曲率,1. 曲率概念及其计算法,我们已讨论了曲线的单调性、凹凸性。下面我们来讨论如何用数量来描述曲线的弯曲程度,例1. 直线上每一点的曲率为零。故直线是不弯曲的。,例2. 圆上任一点处的曲率相等且等于该圆半径的倒数。,设曲线方程为 y=f (x), f (x) 具有二阶导数,2. 曲率圆、曲率中心与曲率半径,曲线光滑一般指具有连续的切线，(或导数连续)， 进一步要求则要求曲率是连续的。,曲线 C 与曲率圆在 M 点处有 1) 切线相同，2