导函数的性质吴进明毕业论文.doc

10导函数的性质 吴进明目 录摘 要1Abstract(Key words)11前 言41.1研究的背景42.2研究的价值42.3研究的方法42导函数的定义52.152.262.373 导函数的性质93.193.293.393.4104 导函数的应用114.1114.2134.3144.4155小结16参考文献16 摘要导数在生活中的应用非常广泛，特别是在微观经济学中有很多具体的例子。掌握导数的基本概念和生活中常见函数的概念非常重要。利用导数可以解决曲线的切线，函数的极值和最值等等问题。本文将会介绍导数的几个重要性质，并辅以一些实例,达到对定理更全面的掌握和应用。关键词：导函数，应用，掌握，性质Abstract:Derivativeness is widly applied on our life. There are especially many concrete examples on microeconmics. Its very important to hold the basic concepts of derivativeness and functions .Humans use the derivativeness to so前言 导数是为了研究极值问题而产生的，导函数是非常有趣的一种学问，而函数与生活也息息相关，并且在美学上，建筑物等等得到了广泛的应用，当然函数跟导函数不是一个性质，但它们有着一定的联系，在函数的应用下，导函数随着也被考虑且应用。本文将通过研究导函数的发展背景，导函数的定义，性质和应用来深入了解导函数的具体性质。第1章11 研究的背景 函数的概念最早产生于运动的研究如伽利略是用文字语言来表述这些函数关系的“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比”等等。随着数学研究的深入，人们逐渐研究函数的各种性质。早在十七世纪的时候，法国数学家费马，研究了作曲线的切线和求函数极值的方法。到了十九世纪，导数的相关理论逐渐成熟，数学家们对导数提出了各种观点。在物理相关问题中，求瞬时速度就是求速度的变化率，这是物理上引入的导函数。那问题来了，怎么求最大位移跟最大速度呢？这里就涉及到了原函数跟导函数了。那么导函数根原函数有什么关系？导函数都具有哪些性质，下面我们一起来探索一下。12 研究的价值 1.2.1导数的几何意义函数y=f（x）在x0点的导数f（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0x 导数的几何意义0，f（x0） 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）. 1.2.2导数在科学上的应用导数与物理，几何，代数关系密切.在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度，加速度. 导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念.又称变化率. 如某人骑自行车走一小时了 20千米，它的平均速度是20千米/小时.但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是20千米/小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为 s=f（t） 那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是 f(t1)-f(t0)/t1-t0 当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 . 自然就把当t1t0时的极限limf(t1)-f(t0)/t1-t0 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程 （如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度）. 1.2.3导数是微积分中的重要概念导数另一个定义：当x=x0时，f(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative function），简称导数）. y=f(x)的导数有时也记作y，即（如右图） ： 物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就匀速直线加速度运动为例 位移关于时间的一阶导数是瞬时速度 二阶导数是加速度）、可以表示曲线在一点的斜率（矢量速度的方向）、还可以表示经济学中的边际和弹性。 以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。 为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。 有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。13 研究的方法本文归纳和总结了一些函数导函数的性质与应用的方法与技巧，突出了函数导函数的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握导函数性质的思想方法；注重对一些特殊导函数性质的推广及应用的介绍，以便更好地理解和运用。构造极限法是研究导函数基本方法，是转化问题的一种重要手段，通过巧妙地数学变换，将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单问题，这种论证思想也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。 (1)利用定义求函数y=f(x)在x0处导数的步骤： 求函数的增量y=f(x0+x)-f(x0) 求平均变化率 取极限，得导数。 第2章 导函数的定义设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在处取得增量（在点仍在邻域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比在时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为或或或，即第3章 导函数的性质3.1 介值性定理一 设在区间上可微，则具有介值性质，即若,，则存在使。证明：令，则,下证存在使因为在上连续，所以存在最小值点，下证，若不然或则有或，于是有，即与矛盾所以不能是，同理可证因此即是的极小值，所以3.2 导数极限定理定理二 设函数在点处连续，在的两侧内可导，若极限存在，则在处可导。且即在处连续。证明：，由拉格朗日中值定理，在与之间存在使由于存在，且当时，故在上式中令得3.3 导函数无第一类间断点定理三 设函数在内处处有导数。证明中的点或者为的连续点，