数学二轮复习专题3__三角函数与平面向量(教案)

专题一 三角函数与平面向量高考中，三角函数主要考查学生的运算能力、灵活运用能力，在客观题中，突出考察基本公式所涉及的运算、三角函数的图像基本性质，尤其是对角的范围及角之间的特殊联系较为注重。解答题中以中等难度题为主，涉及解三角形、向量及简单运算。三角函数部分，公式较多，易混淆，在运用过程中，要观察三角函数中函数名称的差异、角的差异、关系式的差异，确定三角函数变形化简方向。平面向量的考察侧重平面向量的数量积以及平面向量的平行、垂直关系的坐标运算。向量是数学中的重要概念，并和数一样，也能运算。但同时，平面向量的工具性不容忽视。以向量的平行、垂直、所成角为载体，与三角、解析几何、不等式等知识点的综合是我们值得注意的方向。关于三角向量命题方向：（1）三角函数、平面向量有关知识的运算；（2）三角函数的图像变换；（3）向量与三角的综合运用及解三角形。（4）与其它知识的结合，尤其是与解析几何的结合。小题大都以考察基本公式、基本性质为主，解答题以基础题为主，中档题可能有所涉及，压轴题可能性不大。1、同角的三角函数关系：平方关系；倒数关系；商数关系 2、诱导公式可以概括为一句口诀：奇变偶不变，符号看象限。诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin与cos对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中+的整数k来讲的，象限指+中，将看作锐角时，+所在象限，如将cos(+)写成cos（+），因为3是奇数，则“cos”变为对偶函数符号“sin”，又+看作第四象限角，cos(+)为“+”，所以有cos(+)=sin。3、两角和与差的三角函数（1）和（差）角公式（2）二倍角公式：；（3）经常使用的公式升（降）幂公式：、；辅助角公式：（由具体的值确定）；正切公式的变形：三角函数式的化简常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角； 三角公式的逆用等。（2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。4、三角函数的图象与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图像三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心由ysinx的图象变换出ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将ysinx的图象向左(0)或向右(0平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，便得ysin(x)的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将ysinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，再沿x轴向左(0)或向右(0平移个单位，便得ysin(x)的图象。由yAsin(x)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法五点法作y=Asin（x+）的简图：五点取法是设x=x+，由x取0、2来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。5、解三角形正、余弦定理正弦定理（是外接圆直径）注：；。余弦定理：等三个；注：等三个。几个公式:三角形面积公式：；内切圆半径r=；外接圆直径2R=在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：ABC中，6、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。向量运算中的基本图形：向量加减法则：三角形或平行四边形；实数与向量乘积的几何意义共线；定比分点基本图形起点相同的三个向量终点共线等。7、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+=-=记=(x1,y1)，=(x1,y2)则+=(x1+x2,y1+y2) -=（x2-x1,y2-y1）+=实数与向量的乘积=R记=(x,y)则=(x,y)两个向量的数量积=|cos记=(x1,y1), =(x2,y2)则=x1x2+y1y28、 运算律加法：+=+，(+)+=+(+)实数与向量的乘积：(+)=+；(+)=+，()=() 两个向量的数量积：=；()=()=()，(+)=+说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如()2=9、 重要定理、公式 （1）平面向量基本定理；如果+是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量，有且只有一对数数1，2，满足=1+2，称1+2为，的线性组合。根据平面向量基本定理，任一向量与有序数对(1,2)一一对应，称(1,2)为在基底，下的坐标，当取，为单位正交基底，时定义(1，2)为向量的平面直角坐标。向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1) （2）两个向量平行的充要条件符号语言：若，则=坐标语言为：设=（x1,y1），=(x2,y2)，则(x1,y1)=(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0 （3）两个向量垂直的充要条件符号语言：=0坐标语言：设=(x1,y1), =(x2,y2)，则x1x2+y1y2=0【名师点睛】给角求值问题，利用诱导公式找到给定角和常见特殊角的联系求出值；对于给值求值的问题的结构特点是“齐次式”，求值时通常利用同角三角函数关系式，常数化为正弦和余弦的性质，再把正弦化为正切函数的形式.考点二 有关三角函数的性质问题例3：已知函数（）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（）若，求的值。解：（1）由，得所以函数的最小正周期为因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1（）由（1）可知又因为，所以由，得从而所以【名师点睛】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为yAsin(x)B的形式，然后再求解(2)对于形如yasin xbcos x型的三角函数，要通过引入辅助角化为ysin(x)(cos ，sin )的形式来求例4：设函数的图象经过点（）求的解析式，并求函数的最小正周期和单调递增区间（）若，其中是面积为的锐角的内角，且，求和的长解：（）函数的图象经过点 .4分函数的最小正周期.5分由可得的调递增区间为7分（）因为 即 9分是面积为的锐角的内角， .10分 .12分由余弦定理得： .13分【名师点睛】求函数yAsin(x)(或yAcos(x)，或yAtan(x)的单调区间(1)将化为正(2)将x看成一个整体，由三角函数的单调性求解例5：已知函数.()求函数的最小正周期；()若函数在-，上的最大值与最小值之和为，求实数的值. 解：（）4分函数的最小正周期6分()，当，即时，8分当，即时， 10分由题意，有12分【名师点睛】求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为yAsin(x)B的形式，进而结合三角函数的性质求解(2)将三角函数式化为关于sin x，cos x的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解.考点三 三角函数的图象变换例6：为了得到函数的图像，只需把函数的图像（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位解=，=，所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像，故选B.【名师点睛】三角函数图象的变换规则是：平移时“左加右减，上加下减”，伸缩的倍数是，求三角函数的最值，一般要把三角函数化为f(x)=Asin(x+)+B的形式，有时还要注意x+的取值范围例7：已知函数的部分图象如下图所示：（1）求函数的解析式并写出其所有对称中心；（2）若的图象与的图象关于点 P（4，0）对称，求的单调递增区间解：（1）由图可得。A=，所以，2分则此时，将点代入， 可得.4分； 对称中心为 7分（2）由的图角与的图象关于点 P（4，0）对称，得,9分=,11分令.即单调递增区间为13分【名师点睛】本题三角函数图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离正好是半个周期，从而确定参数，由最高点和最低点可确定振幅，代入某一点的坐标到三角函数解析式可以确定初相；求给定区间上的三角函数的最值（或值域）问题，一般思路是求的范围，并作为一个整体，借助基本函数解决.由图象求解析式时,“找准关键点”的确定很重要,尽量使A取正值.考点四 三角恒等变换例8：的值等于（ ）ABCD【解析】原式=，故选A。例9：若，是第三象限的角，则(A) (B) (C) 2(D) -2【名师点睛】给值求值、给值求角问题. 发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”；寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系；合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化.例11：求值：【解析】原式【名师点睛】合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化.例12：已知, () 求的值；() 求的值.解:（）因为,又,所以（）根据（），得8分而,且,1故=【名师点睛】善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系，整体运用条件中角的函数值可使问题简化角的常见变换：2()，()()考点五 解三角形及实际应用例13：在等比数列。 （）求的值；()若的值。解：（）依题意，由正弦定理及 ()由由（舍去负值）从而，由余弦定理，得代入数值，得解得【名师点睛】正弦定理、余弦定理都体现了三角形的边角关系，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用例14：如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知AB5(3)(海里)，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105，在DAB中，由正弦定理得，DB10(海里)，又DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcos DBC3001 20021020900，CD30(海里)，则需要的时间t1(小时)答：救援船到达D点需要1小时【名师点睛】将所求问题归结为一个或多个三角形问题中运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之例15：。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【解析】如图，由（1）得而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，所以，解得，从而值，且最小值为，于是当取得最小值，且最小值为。此时，在中，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。【名师点睛】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出； (3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案考点六 向量的概念、向量的运算、向量的基本定理例16：如图，在四边形ABCD中，则的值为（ ） A.2 B. C.4 D.解： 【名师点睛】:本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字.例17： 已知向量，其中O为坐标原点（）若 且 ，求向量与的夹角（）当实数 变化时，求的最大值解：（）设它们的夹角为，则=，故（）=所以当时，原式的最大值是；当时，原式的最大值是【名师点睛】本题是平面向量和三角函数的交汇问题，着重考查了根据图象确定函数的表达式，进而确定图象上点的坐标、向量的模、两向量的夹角等知识考点七 向量与三角函数的综合问题例18：已知向量，其中0，且，又的图像两相邻对称轴间距为.()求的值；() 求函数在上的单调减区间.解： () 由题意 由题意，函数周期为3，又0，；() 由()知 又x，的减区间是.【名师点睛】：向量与三角函数结合是高考命题的一大热点，在解决有关向量的平行、垂直问题时，先利用向量的坐标运算，再利用平行、垂直的充要条件即可简化运算过程例19：解：(1)由于，所以= =0，即4sin(+)-8cos(+)=0，所以tan=2. (2)因为=(sin+cos，4cos-4sin)，所以 =sin2+2sincos+cos2+16cos2-32cossin+16sin2=17-30sincos=17-15sin2.所以2的最大值为32，所以|的最大值为.(3)由=16，得sinsin=16coscos，即4cos4cos-sinsin=0，所以.【名师点睛】：此题主要考查向量的模、两向量平行和垂直的充要条件、向量的和、差、数乘、数量积等平面向量的基本概念和基本运算，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦公式、两角和的正弦与余弦公式，具有较强的综合性解决这类综合性问题，除了正确理解和掌握相关的知识以外，还需要具有较强的运算求解能力和推理论证能力熟练地掌握平面向量的四种运算、向量的模以及两向量平行与垂直的充要条件这些平面向量的核心内容，是解决这类问题的关键例20：已知中的内角的对边分别为，定义向量，且（）求函数的单调递增区间；（）如果，求的面积的最大值【名师点睛】三角函数、三角形和平面向量是高考高频题，综合性强，但难度不大，考查的都是基础知识和基本运算.以三角形为载体，以向量为工具，通过向量的坐标运算考查三角函数的化简求值是高考热点.例21：已知点，O为坐标原点。（）若,求的值；（）若实数满足,求的最大值。【名师点睛】：向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性。（1）解决这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算；（2）常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思路。考点八.向量与函数问题的交汇例22：已知平面向量a(，1)，b(, ).(1) 若存在实数k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，试求函数的关系式kf(t)；(2) 根据(1)的结论，确定kf(t)的单调区间.解：（1）法一：由题意知x(,), y(tk，tk)，又xy故x y（tk）(tk)0.整理得：t33t4k0，即kt3t. 法二：a(，1)，b(, ), . 2，1且abxy，x y0，即k2t(t23)20，t33t4k0,即kt3t (2) 由(1)知：kf(t) t3t kf(t) t3,令k0得1t1；令k0得t1或t1.故kf(t)的单调递减区间是(1, 1 )，单调递增区间是（，1）和（1，）.【名师点睛】：第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.例23：向量满足，.(1)求关于k的解析式；(2)请你分别探讨和的可能性,若不可能,请说明理由,若可能,求出k的值；(3)求与夹角的最大值. 【名师点睛】：此题主要考查向量的模、两向量平行和垂直的充要条件、向量的和、差、数乘、数量积等平面向量的基本概念和基本运算熟练地掌握平面向量的四种运算、向量的模以及两向量平行与垂直的充要条件这些平面向量的核心内容，是解决这类问题的关键三角函数1要区别正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角的概念头脑中要有一根弦：角的范围已经扩展了，系列角如何表示，相关角如何表示。2在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取3单位圆中的三角函数线，是三角函数的一种几何表示，利用三角函数线进行求角和解三角不等式，有时候会更简单。4要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，或者换元后成为一个初等函数式（换元后注意定义域的确定），进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性5函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调区间的两个函数值才能由它的单调性来比较大小，要注意单调区间是一个连续区间。6三角函数很好地体现了对称性和周期性的关系，要把这种关系拓展到一般函数。对称性用处：对称轴和最值对应,对称点和零点对应.7熟练三角函数图象的作图方法，注意定义域有限制的作图训练。通过作图去体验和巩固图象间的变换关系。8熟悉公式的记忆和运用（1）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限；（2）两角和差的正弦、余弦、正切公式的正面运用和逆用；（3）倍角公式以及变形，体会降幂和和差化积的意图；（4）合一变形:asinx+bsinx=。但要控制难度，限制在是特殊角的范围内。提醒:一些常见的变形技巧:(1)化切为弦；(2)遇公因式提取公因式;(3)凑角(不要盲目用一些公式展开,关键是看已知角和所求角有没有特殊关系。比如相差180度,90度等)9关注三角函数在三角形中的应用，结合平面几何的性质寻找边角关系，要特别重视正弦定理和余弦定理在解三角形中的计算，掌握三角形面积公式的多种计算方法。三角函数这部分内容在高考中的难度要求是不高的，所以在复习的时候要控制难度，但由于公式多，性质复杂，变形有一定的技巧，所以要花较多的时间加强训练，学习时注意化归思想和数形结合思想的渗透，注意易错点。平面向量1透彻理解向量的概念。向量概念的两大要素“方向和长度”使向量既有“形”又有“数”的特征，既联系几何又联系代数，是高中数学重要的知识网络交汇点，是数形结合的重要载体。要抱着这样的观点去学习向量知识。2先从向量的几何特征进行学习，包括向量相等，向量共线的概念，平面向量的基本定理，以及向量的加减、实数与向量的积、向量的数量积等运算的几何表示，目的是给向量建立一个系统的几何体系。3向量的坐标运算使得几何问题可以通过代数运算加以解决，在对向量的几何特征掌握透彻的前提下，理解记忆相关公式。如：向量共线、垂直的充要条件，向量的数量积运算，线段定比分点公式、平移公式等。4向量的数量积运算是平面向量的重要内容，它与实数之间积的运算既有区别又联系，要辨别清楚。向量的数量积运算是采取几何运算公式还是坐标运算公式，要甄别清楚；两个公式同时运用，又可构造出一个等式。要会灵活应用向量的数量积公式求向量的模和两点间的距离。5要把平面几何的性质、定理迁移到平面向量来，使得平面向量的几何推导成为可能，但题目的难度要有所控制。如：在平行四边形中，若，则，即菱形模型。若，则，即矩形模