辅助纠缠度的计算和性质

天津理工大学本科毕业设计（论文）选题审批表届：2015 学院（系）：理学院 专业：应用物理 2014年 11 月 15 日学生姓名戚晓秋学号20113537指导教师李宗国职称讲师所选题目辅助纠缠度的计算和性质题目来源 科学技术选题理由（选题意义、拟解决的问题、对专业知识的综合训练情况等）：产生两体纠缠方法之一就是把多粒子量子态约化到更少粒子的量子态(比如两体量子态),而这个结果是通过在其他的部分上实行测量来实现的. 这样的方法被称为辅助纠缠,它是可局域化纠缠的一种特殊情况.而可局域化纠缠对量子计算就显得尤其重要, 因为在量子计算过程中量子中继器需要在长尺度范围内建立两体纠缠. 度量用这种方法产生的纠缠的度量就是辅助纠缠度量, 它量化了通过在两粒子以外的其他粒子上进行局域操作和测量而在这两个粒子上所产生纠缠的数量.我们研究了一般三体纯态辅助纠缠度量, 我们得到了一个便于计算的辅助纠缠度的下限,它同时也是一个三体纠缠度量合作纠缠的下限.这个下限有助于我们去刻画可局域化的纠缠. 此外, 我们还得到它的一个上限,这个辅助纠缠上限对于任意的n-qubit态, 都满足一个类似的纠缠monogamy不等式形式.签字： 年 月 日指导教师意见院（系）专家组意见教研室（研究所）意见签字：年 月 日签字：年 月 日签字：年 月 日注：（1）“选题理由”由拟题人填写。 （2）本表一式二份，一份院系留存，一份发给学生，最后装订在毕业设计说明书（毕业论文）中。 天津理工大学教务处制表 天 津 理 工 大 学本科毕业设计任务书题目：辅助纠缠度的计算和性质学生姓名 戚晓秋 届 2015 学院（系） 理学院 专业 应用物理指导教师 李宗国 职称 讲师 下达任务日期 2014.12.01 天津理工大学教务处制一、毕业论文内容及要求量子局域化纠缠作为一个在多体量子态上做局域测量来产生两体纠缠态的方法, 而可局域化纠缠对量子计算就显得尤其重要, 因为在量子计算过程中量子中继器需要在长尺度范围内建立两体纠缠. 度量用这种方法产生的纠缠的度量就是辅助纠缠度量, 它量化了通过在两粒子以外的其他粒子上进行局域操作和测量而在这两个粒子上所产生纠缠的数量. 参考文献定义了这种辅助纠缠度量. 尽管对于一个纯态, 已经得到了一个辅助纠缠度的解析表达式, 但是对于一般的纯态辅助纠缠度量很不容易计算.我们利用I-concurrence研究了一般三体纯态辅助纠缠度量, 我们得到了一个便于计算的辅助纠缠度的下限, 它同时也是一个三体纠缠度量合作纠缠的(entanglement of collaboration)下限. 这个下限有助于我们去刻画可局域化的纠缠. 此外, 我们还得到它的一个上限, 这个辅助纠缠上限对于任意的n-qubit态, 都满足一个类似的纠缠monogamy不等式形式. 论文内容： 学习量子力学以及与该题目相关的知识。 查阅资料，了解纠缠度量。 在阅读相关文献及资料的基础上，对量子局域化纠缠及其度量计算进行研究。要求： 学习用到的量子力学知识。 查阅有关量子局域化的科技文献篇，翻译英文材料字。 仔细整理、阅读文献，在此基础上阐述加量子局域化和辅助纠缠度量。 定期与指导教师讨论。二、毕业设计（论文）进度计划及检查情况记录表序号起止日期计划完成内容实际完成内容检查日期检查人签名12014.12.1-2015.3.3开题准备22015.3.4-2015.3.18开题, 查资料.32015.3.19-2015.4.1查阅文献, 学习量子力学有关知识42015.4.2-2015.4.16仔细阅读所查文献, 了解纠缠和量子局域化.62015.4.17-2015.4.24中期检查.72015.4.25-2015.5.20写出量子局域化纠缠及其度量所满足的公式与不等式.82015.5.21-2015.5.31完成毕业论文, 准备答辩.92015.06论文答辩注：（1）表中“实际完成内容”、“检查人签名”栏目要求用笔填写，其余各项均要求打印。 （2）毕业设计（论文）任务书一式二份，一份学院系留存，一份发给学生，任务完成后装订在毕业设计说明书（毕业论文）内。天津理工大学本科毕业设计（论文）开题报告届：2015 学院（系）：理学院 专业：应用物理 2015年 3 月 12 日 毕业设计（论文）题目辅助纠缠度的计算和性质学生姓名戚晓秋学号20113537指导教师李宗国职称讲师（报告内容包括课题的意义、国内外发展状况、本课题的研究内容、研究方法、研究手段、研究步骤以及参考文献资料等。） 1课题意义：量子纠缠理论作为量子信息技术的重要基础之一，近些年受到很大的重视，在理论上和实验上，都取得了一些重要的成果。量子纠缠是量子信息的重要资源，因此对于纠缠的研究具有十分重要的意义。并且量子纠缠作为一种重要的资源，它有很多的实际应用。 产生两体纠缠方法之一就是把多粒子量子态约化到更少粒子的量子态(比如两体量子态),而这个结果是通过在其他的部分上实行测量来实现的. 这样的方法被称为辅助纠缠,它是可局域化纠缠的一种特殊情况.而可局域化纠缠对量子计算就显得尤其重要, 因为在量子计算过程中量子中继器需要在长尺度范围内建立两体纠缠. 度量用这种方法产生的纠缠的度量就是辅助纠缠度量, 它量化了通过在两粒子以外的其他粒子上进行局域操作和测量而在这两个粒子上所产生纠缠的数量.我们研究了一般三体纯态辅助纠缠度量, 我们得到了一个便于计算的辅助纠缠度的下限,它同时也是一个三体纠缠度量合作纠缠的下限.这个下限有助于我们去刻画可局域化的纠缠. 此外, 我们还得到它的一个上限,这个辅助纠缠上限对于任意的n-qubit态, 都满足一个类似的纠缠monogamy不等式形式.2研究内容与方法： 在查阅资料的基础上，运用所学量子力学及与该题目相关的知识，理解量子纠缠的概念及度量.利用I-concurrence研究一般三体纯态辅助纠缠度量，计算辅助纠缠度的下限. 此外, 计算它的一个上限, 这个上限对于任意的n-qubit态都有一个类似的monogamy不等式.3研究步骤：1) 学习用到的量子力学知识以及与该题目相关的知识。2) 查阅有关辅助纠缠的科技文献篇，翻译英文材料字。3) 仔细整理、阅读文献，在此基础上阐述纠缠的概念及度量，计算I-concurrence辅助纠缠度量。4) 定期与指导教师沟通、讨论。4参考文献：1 C. H. Bennett and D. P. DiVincenzo, Nature (London) 404, 247 (2000).2 M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information(Cambridge University Press, Cambridge, 2000).3 T. Konrad, F. De Melo, M. Tiersch, C. Kasztelan, A. Aragao, and A. Buchleitner,Nature Physics 4, 99 (2008).4 M. Tiersch, F. De Melo, and A. Buchleitner, Phys. Rev. Lett. 101, 170502(2008).5 T. Yu and J. H. Eberly, Phys. Rev. Lett. 97, 140403 (2006).6 P. J. Dodd and J. J. Halliwell, Phys. Rev. A 69, 052105 (2004).7 K. Zyczkowski, P. Horodecki, M. Horodecki, and R. Horodecki, Phys. Rev.A 65, 012101 (2001).8 F. Verstraete, J. Dehaene, and B. DeMoor, Phys. Rev. A 64, 010101(R)(2001).9 G. Gour, Phys. Rev. A 71, 012318 (2005);10 K. Chen, C.M. Li, Q. Zhang, Y.A. Chen, A. Goebel, S. Chen, A. Mair, andJ.W. Pan, Phys. Rev. Lett. 99, 120503 (2007).11 Y. Tokunaga, S. Kuwashiro, T. Yamamoto, M. Koashi, and N. Imoto, Phys.Rev. Lett. 100, 210501 (2008).12 Q. Zhang, A. Goebel, C. Wagenknecht, Y.A. Chen, B. Zhao, T. Yang, A.Mair, J. Schmiedmayer, and J. W. Pan Nature Phys. 2, 678-682 (2006).13 Z. G. Li, S. M. Fei, S. Albeverio, and W. M. Liu, Phys. Rev. A 80, 034301 (2009).指导教师意见签字： 年 月 日天津理工大学教务处制表辅助纠缠度的计算和性质摘 要对于量子力学和量子信息理论来说, 量子纠缠都是非常重要的.并且量子纠缠作为一种重要的资源, 它有很多的实际应用,因此对于纠缠的研究具有十分重要的意义。产生两体纠缠方法之一就是把多粒子量子态约化到更少粒子的量子态(态比如两体量子态),而这个结果是通过在其他的部分上实行测量来实现的. 这样的方法被称为辅助纠缠,它是可局域化纠缠的一种特殊情况, 而可局域化纠缠对量子计算就显得尤其重要, 因为在量子计算过程中量子中继器需要在长尺度范围内建立两体纠缠. 度量用这种方法产生的纠缠的的数量就是辅助纠缠度量.本文中, 我们研究了局域化纠缠的一种特殊形式-辅助纠缠. 尽管对于一般的量子态, 辅助纠缠度量的解析形式是不存在的, 但对于一般的三体量子纯态, 根据的定义,在第二章中, 我们给出了一个便于计算的辅助纠缠度量的下限, 而且这个下限还是一个三体纠缠度量-合作纠缠-的下限.这方便了度量局域化纠缠.此外, 我们还得到一个辅助纠缠度量的上限.在第三章，我们辅助纠缠度的上限还满足一个类似于不等式, 这个不等式能更好地帮助我们去理解关于多体态的纠缠分配.关键词： 量子纠缠, 不等式, 最大纠缠态, 辅助纠缠度Calculation and propertiesofthe entanglement of assistanceABSTRACTQuantum entanglement is vital both for the quantum mechanics and quantum information and theory. As an important physical resource, quantum entanglement has many applications. Therefore, it has great significance to study the entanglement.One of the methods of generating bipartite entanglement is the entanglement of assistance. It quantifies the entanglement which could be created by reducing a multipartite entangled state to an entangled state with fewer parties (e.g., bipartite) via local measurements. Such producing of entanglement, also called “assisted entanglement,” is a special case of the localizable entanglement, which is especially important for quantum communication, where quantum repeaters are needed to establish bipartite entanglement over a long length scale. Entanglement of assistance is the measure to measure how much entanglement is produced in this procedure. In this thesis, we explore the assisted entanglement. Though the analytical formula of entanglement of assistance doesnt exist for a general pure tripartite state, we obtain, in terms of the definition of I concurrence, a lower bound of entanglement of assistance for a general pure tripartite state in the second chapter. The lower bound is also the one of a tripartite entanglement measure, the entanglement of collaboration. This may help to characterize the localizable entanglement. Furthermore, an upper bound is also obtained. Deducing from the upper bound of entanglement of assistance, we find, in the third chapter, a proper form of entanglement monogamy inequality for arbitrary n-qubit states. This monogamy inequality may help to understand the nature of distributed entanglement in multipartite states.Keywords: Quantum entanglement, Monogamy inequality, Maximally entangled state, Entanglement of assistance目 录第一章 绪论111量子计算简介112量子通信简介213量子纠缠简介31.3.1 纠缠的定义31.3.2 纠缠的判定41.3.3 两体量子纠缠的度量81.4 本文内容安排11第二章 辅助纠缠度的计算12第三章 辅助纠缠度的性质-不等式17第四章 总结26参考文献27致谢30天津理工大学2015届本科毕业论文第一章 绪论一百多年前，物理学的巨大革命诞生了一门新的奇妙的学科量子力学， 这是我们人类历史上一个里程碑式的发现， 标志着我们将进入量子化的世界. 在许许多多伟大的物理学家的艰苦努力研究下, 量子力学己逐渐形成了一套比较完善的体系. 很快地，量子力学已经被应用到各种不同的相关领域, 它促使许多的学科有了更多的全新的进展, 并且从本质上改进了这些研究领域的基本面貌, 从而产生了众多科学研究领域的新的研究热点, 衍生出了更多的崭新的学科1.伴随着我们对量子力学越来越多的研究, 人们慢慢地发现了在量子力学中的量子态它有着与我们曾经所遇到的经典物理大不相同的特性. 因此, 对那些以经典物理理论为根基的学科, 比如: 通信理论等都需要我们做新的定位. 随着我们的深入研究， 我们发现如果将量子力学中所提出的概念和原理同信息学, 密码学等相结合, 就会出现我们以前所没有遇到过的新的情形， 我们可以用来处理新的信息任务, 当然, 这样我们就有必要去发展一门全新的交叉的学科量子信息学26.我们用量子态来携带信息, 这就是我们所谓的量子信息, 也因此量子信息学的本质就是我们利用量子态来对信息做一些处理的信息科学. 我们从量子力学的基本原理出发，来处理有关量子信息的问题, 信息的传输和处理就是量子态的传送与幺正变换, 而我们做量子测量操作便是信息的提取. 因为量子力学它是一个十分奇妙的理论体系, 它所遵循的规律是与我们平时接触的经典理论大不不同的, 所以这个领域会有许许多多经典理论所不可能具备的特殊性质, 比如： 量子态会发生纠缠, 而且它还能有相干叠加.从哲学角度来说, 一个事物对另一个事物有作用, 那么另一个事物必定也会对那份事物产生发作用, 量子信息学的发现和发展也在很大程度上完善了量子力学理论的一些内容, 它不但能更好地帮助我们去学习、去理解、去运用. 而且还帮助我们更好地去处理在量子力学理论中所存在的一些本质性的困难, 同时， 这还为我们对量子力学在生活中的应用带来了全新的角度和更为广阔的发展方向. 从一九八几年到现在， 短短多年来, 不论是理论还是实验， 量子信息学都取得了相当多的进展, 它己经成为一个内容极其丰富的全新领域, 包括我们下文所要讲的量子计算和量子通信等等.11量子计算简介自从提出量子计算的概念以来7-9, 量子计算就开始被我们慢慢的研究. 在1982年，自己证明了在用我们经典的计算机来模拟量子力学的系统时, 资源的消耗会随着粒子数和自由度等的增加而呈指数的增加, 这便是我们量子计算思想的起源. 对于我们经典的计算机， 我们都是用比特来作为我们信息处理的单位, 比特就代表两种信息之中的某一种： 或也便是假或真. 实际运用中，像电压就是一个很好的来表示它的量，当然还有一些其他的量来对他加以区分，这里不再赘述. 我们现在从实现的那个立场来说, 就是需要我们设计出一个系统， 它可以拥有两个可使我们加以区别的状态, 且这两状态间必须保证不能进行自发的转换.对于量子信息学而言, 我们则用量子比特（）作为它的最基本的单位. 任意的一个就是一个双态的系统, 比如: 我们研究光子的偏振： 我们用光子沿水平方向的偏振表示,用光子沿垂直方向的偏振表示. 这显然与经典比特相比是大不相同的, 它不仅可以处于和两个态, 它还可以处于由这两个态线性叠加所产生的叠加态. 因此，我们也可以说一个就相当于是一个二维的空间. 量子态与经典态之间最本质的区别是它有相干叠加的特性. 该特性可表示为： （1.1）如果想让我们的量子计算得以实现，我们就要从以下三个问题出发, 将它们解决解决：(a)量子算法. 对于加快计算的速度, 它是关键. (b)量子编码. 因为退相干而引起的量子错误我们无法避免，然而我们必须纠正这些错误， 所以量子编码就显得相当重要. (c)实现符合量子计算的体系. 目前, 虽然已经在有些方面实现了少数的量子比特, 但对于实现有效量子计算， 研究仍然处于初级阶段.12量子通信简介量子通信集结了量子理论和经典的通信理论的优点, 它用量子态来存储信息， 是一种新型的通信的方式. 我们利用量子态在物理方面的一些性质来储存各种我们所需要的信息, 我们通过对其进行测量就能得到这些我们所需要的信息. 量子比特作为量子通信的最基本的单元, 它是双态的系统. 我们要采用量子力学的方法来处理相关信息的全部问题， 例如： 信息的传输和处理是量子态在量子通道中的传送和做幺正变换. 目前， 我们较为常用的信息的存储体是光子, 伴随着我们对光学元件以及光量子态等的一些深入研究, 采用光学的方法来实现量子通信的已经有了相当大的发展.根据传送的类型不同, 我们把其分为如下两类: (a)传送经典的信息比如: 量子身份认证, 量子密码等.(b)传送量子的信息比如: 量子通信网络, 量子隐形传态等. 13量子纠缠简介量子纠缠有助于我们量子信息的研究, 所以对其的研究也就变得很有意义. 其实， 纠缠是一个很重要的性质, 如果量子力学理论失去了纠缠这个性质, 那么很多奇怪的不能被我们一下所接受的现象将不复存在.因此, 我们应该很好地去利用这个性质, 从而实现新的通信方式. 下面我们主要从量子纠缠的定义、判定和度量这三方面来分别进行介绍.1.3.1纠缠的定义我们从两体纠缠入手. 对于两体纯态: （1.2）若有和, 使得: （1.3）则称为可分态,反之, 为纠缠态. 比如说: 两粒子的最大纠缠纯态, 我们常常也称之为: EPR态或态: （1.4）下面, 我们考虑由两子系统所组成的复合系统，如果它们处于纠缠态, 那么无论它们被我们分开的多远, 它们之间也都是存在关联的, 若我们测量其中一个，则必将影响另一子个的状态. 与以往大家所知道的情况不同， 量子纠缠有着它独有的特性, 且不能用我们以往的局域实在论来对其进行解释. 因发现在隐变量理论和量子力学中，有些情况下会出现两个不同的结论， 提出了一个著名的不等式， 我们称它为不等式10. 且设计了实验证明了局域隐变量理论与之符合. 然而, 量子力学的结论去超出了他的想象. 下面, 我们考虑若两体系统, 如果它们处于纠缠态， 那么它们一定有关联, 例如：态, 但是反之，有关联的却并不一定是纠缠态, 例如： 可分离的态也可能存在关联.对由个子系统所形成的系统, 如果它及其子系统的密度矩阵有下列式子, 则其存在纠缠, 即: （1.5）这里: （1.6）量子纠缠态表现出的奇特的重要性， 引起了大家对它的极度关注. 它不仅意义深远, 而且潜在着极大的价值等我们去探索；另一方面, 我们难以避免量子系统与环境发生相互之间的作用产生量子纠缠, 这也是发生量子退相干的最主要的形式. 显然， 这也是我们今后研究的最主要的障碍.1.3.2 纠缠的判定对于如何来判定量子态纠缠， 这是一个相当重要及急迫的问题. 目前， 已经存在了大部分的研究工作，提出了多种判断依据, 下文，我们将针对比较常用的几种判定方式来做介绍.1、不等式和不等式我们假设自旋粒子和 处于量子态，并且它们沿相反的方向运动: （1.7）若沿方向对粒子进行自旋子的测量, 结果为, 则对粒子进行同样的测量, 结果必定为, 反之一样. 因为一开始的波函数, 它不能很准确地对单独测量的结果做预测, 所以对于我们的这种关联测量的结果, 似乎预示着全新的理论.按照隐变量理论, 量子理论外有一隐变量存在. 这里, 我们将看做为一个连续变量. 因而，和测量的结果和为：和， 这测量结果与参数、和隐变量之间存在一定的关系, 而且: （1.8）假设, 测量的结果不依赖, 不依赖.若用来表的几率分布, 则和的平均值，我们可以将它可写成如下积分: （1.9）式中: （1.10）下面, 我们引入另外一测量, 即: 和, 它们对应测量的结果为: 和,则： （1.11）其中: （1.12）两边同时取绝对值,且用: （1.13）则有: （1.14）这便是不等式.然而, 根据量子理论, 和将形成统一的纠缠态, 我们如果沿方向对做测量和沿方向对做测量, 则平均值表示如下: （1.15）式中, 为, 间夹角. 代入不等式, 则有: （1.16）其实, 该事有时候并不成立, 比如: 我们取、 和、 的夹角为：, 和夹角为：, 则便有了： （1.17）在我们实验中, 往往会有失误等情况的出现, 从而使我们上面的整个计算过程中的一些条件不再可用. 另外对或者测量时, 有时仪器可能也会有失效的情况出现, 这将导致我们的仪器会对或给出零的结果. 因此, 以上不等式的证明是我们在理想化的条件下进行的. 下面, 我们将考虑这些实际因素给出不等式. 理想的, 有: （1.18）我们考虑实际因素, 则有: （1.19）经过进一步推导, 可得四个测量方向所具有的相互关联的函数: （1.20）此为不等式. 显然, 如果不满足或不等式就能说明纠缠一定是存在的. 但是是否违背不等式却并不是完全用来判断纠缠态的依据, 对于纠缠它只是充分条件. 当然, 也有不违背的纠缠态存在.2、判据对或的两体系统, 我们有：判据11， 它是辨别量子态是不是可分的充要条件. 在物理学的角度来看, 判据相当于对某一体做了部分的时间反演. 然而，对于其他的情形, 判据却只是可分离的一个必要条件. 若我们用这个有不充分性的判据来对所研究的量子态归类, 则会产生纠缠态. 对于任意的部分转置正定量子态， 均不可以对型纠缠态进行提纯, 这种态我们将它叫做纠缠态.3、重排判据1213我们设矩阵, 其中的矩阵元素为, 我们定义: （1.21）我们将维的矩阵分成个分块矩阵, 将所得到的维分块矩阵记成, 则我们可记重排矩阵为: （1.22）显然，它的维数为： 下面，我们定义范数 （1.23）式中为的奇异值. 则：若量子态可分, 则 （1.24）4、纯态的分解前面所提到的一些判据, 不仅对混合态的可分性是必要条件, 且对大部分的纯态可分性均为充要条件. 接下来， 我们将要来介绍分解, 所得的数便可判别纯态的可分性.任意两体纯态, 可写成如下分解： （1.25）式中,为非负实数, 且: （1.26）而和为和的归一正交基,即: （1.27）证明：设和是和任意的正交完备基, 则该一般纯态可用如下来表示： （1.28）式中为矩阵的元素. 因为和的维数有可能不相同, 我们一定可用零元素来使它们维数相同. 利用方阵的奇异值分解,得： （1.29）式中, 为非负对角元的对角阵, 和均为幺正矩阵. 所以又可将态写成: （1.30）令: （1.31）则: （1.32）易证和正交归一. 我们定义非零的组，其个数为的数. 因此， 当量子纯态数不小于, 则它便是纠缠的.1.3.3 两体量子纠缠的度量虽然, 我们发现了量子纠缠的一个特性是不满足不等式, 当然,也并不是所有. 所以， 我们有必要对不满足不等式的情况所不满足的程度给出一个定量的描绘. 这也就激发了我们一开始对于纠缠态的度量问题的一些探索. 而我们也将纠缠态它所携带的纠缠量的多少定义成为纠缠度. 我们对于纠缠度的一些描绘, 本质上也就是为了在两个不同的纠缠态之间建立起定量可比的关系. 首先， 我们必须对其性质十分的了解， 以便于我们获得其度量. 一般地， 我们对量子纠缠度的定义一定要符合以下几点 14, 15：(a)可分态量子纠缠是0(b)等价的态，它们纠缠相同 （1.33）(c)变换不增加平均纠缠 （1.34）(d)连续性：若两密度矩阵距离无限趋于零, 则纠缠差别也趋于零 （1.35）(e)可加性：对态的份同样的拷贝, 其纠缠也应该是单份纠缠的倍 （1.36）对于两体纯态我们一致认为对它的描绘理论已经是相当完美的； 目前, 对混合态纠缠, 我们却了解的不多；对于多体的高维系统的问题, 我们却根本没有办法处理. 下面, 我们先给大家介绍几种纠缠的度量.1、形成纠缠度()1619我们将形成的纠缠度定义如下：在用局域操作或者经典通信的过程中, 当制备了纠缠态时, 消耗了的态的最小值, 即: 若制备份需个态, 则有: （1.37）当然, 它也可写成: （1.38）式中, 最小值恰好是的全部可能分解, 即: （1.39）而是熵: （1.40）式中: （1.41）对于计算混合态纠缠是有一定难度的, 现在, 我们只在的条件下, 才得到了具体的公式. 任意混态, 它的纠缠有如下表示: （1.42）其中: （1.43）而为两比特纠缠度量. 对于: （1.44）显然, 式中表示复共轭. 一般混态, 定义: （1.45）且我们把: （1.46）的本征值排列成: （1.47）则有: （1.48）下面, 我们将两比特推广, 因而有了来度量纠缠, 对纯态我们给出如下定义: （1.49）式中, 是单体约化密度矩阵. 2、可提纯纠缠度()20若和有份关于的拷贝, 通过过程, 和至多可以得到个态, 则我们对可提纯纠缠度给出如下定义： （1.50）这里的形成和可提纯纠缠度并不完全独立, 若为两体纯态, 则它们相等: （1.51）若为两体混合态, 则: （1.52）3、相对熵纠缠度()21, 22我们假设两体复合的量子系统的量子态集合为, 且将它分成包含全部非纠缠态的子集和包含全部纠缠态的子集, 则有: （1.53）对,我们用相对熵给出它的纠缠度定义：对全部可分态, 态相对熵的最小的值 （1.54）为对于的相对熵: （1.55）其实该定义就是和可分态的最小距离. 且在两体纯态的条件下, 其与形成纠缠度或可提纯纠缠度相等, 而对混合态, 也给出了上限.4、负度()在年, 负度被引入 23, 定义为： （1.56）式中为部分转置本征值. 下面, 定义对数负度: （1.57）式中, 是部分转置本征值. 该纠缠度量为和可分性的充要条件, 再后来, 它的单调性又被证明了24, 所以这是个很不错的度量. 1.4 本文内容安排在论文的第一章， 我们主要是对量子信息学方面的知识做了一些介绍. 在论文的第二章， 我们会用 25 来研究一般的三体纯态辅助纠缠的度量, 得到了它的一个方便计算的下限, 这也便是合作纠缠的一个下限26. 当然, 这个下限也将帮助我们去描述可局域化的纠缠. 另外, 我们同时还得到了一个上限.在论文的第三章， 我们研究辅助纠缠的性质, 发现我们得到的这个上限对任意态, 都有一个相似的不等式.在论文的第四章, 我们将对本论文中的研究做一些总结.第二章 辅助纠缠度的计算近年来, 量子纠缠作为一个通信和信息处理的潜在资源，已经被很多人作为研究的主题. 同时，纠缠是如何产生的以及如何分配也越来越引起人们的兴趣. 比如： 对于量子隐形传态来说， 纠缠的分配就显得格外重要. 对于两体纠缠, 通常可把多粒子量子态变到更少的粒子态， 则在其他部分上测量便会有此结果. 该方法被称为: 辅助纠缠，对可局域化纠缠来说, 它是一种特殊的情况. 由于我们的两体纠缠要建立在长尺度范围内, 所以可局域化纠缠就变得十分的重要. 用该方法度量便为辅助纠缠度量, 在两粒子外的粒子上, 它对局域操作和测量进行了量化, 得到这两个粒子上的纠缠量. 在文献27, 28中该度量被定义. 对纯态, 等已经给出了表达式, 但对一般的情况我们很难计算得到.在下文中我们将采用 25 来研究一般的三体纯态辅助纠缠的度量, 得到了一个方便计算的下限, 这也便是合作纠缠的一个下限26. 当然, 这个下限也将帮助我们去描述可局域化的纠缠. 同样, 我们也得到了一个上限.对于一个的三体纯态，它由和共享，尽可能的在它那一方进行一些适当的操作或测量，使得和的共享量子态纠缠达到最大值。这种方式所达到最大的平均纠缠，我们称之为辅助纠缠。文中我们将采用定义辅助纠缠度: （2.1）式中: （2.2）参照文献29的方法， 我们可得一个下限. 对任意的纯态分解： （2.3）可得： （2.4）式中： （2.5） （2.6）式中：和是群和的生成元. 根据不等式： （2.7）得（2.4）式. 对任意的分解： （2.8）参照文献中的方法30, 可重写这个态： （2.9）式中， 为对角矩阵, 它的矩阵元为. 是幺正矩阵, 向量组成其列元素.另一方面, 的本征分解可为： （2.10）式中， 为对角化矩阵, 对角元素为的本征值, 而的列元素为的本征向量. 则有： （2.11）式中， 是右幺正矩阵. 所以（2.4）式可改写成： （2.12）式中： （2.13） 根据柯西施瓦兹不等式： （2.14）则有： （2.15）式中参数满足: （2.16）式中: （2.17）因为是对称阵， 根据参考文献31， 我们总可以找到一个，使得： （2.18）式中， 表示迹范数，它的定义为： （2.19）对于给出任意的幺正矩阵，可得： （2.20）式中， 依赖于和，且是下面矩阵的奇异值： （2.21）因此， 式子(2.15)能达最大值, 且为： （2.22）因此， 就可以得到我们所要的下限： （2.23）对任意的基于某种纠缠度量的三体量子态, 合作纠缠度32大于或者等于对应的辅助纠缠度的值， 它被和证明. 所以,这个下限也同时是合作纠缠的下限， 而且它能帮助我们刻画可局域化纠缠. 特别的, 例如： 的纯态, 它就与文献33中结果相符.一般地， 对于每一组， 我们都会有一个对应的辅助纠缠的下限估计， 采用这个方法， 经数值优化， 我们就可无限趋近这个辅助纠缠的下限. 事实上，它的计算过程中会有矩阵， 对于（2.22）式右端贡献最大. 所以, 这个矩阵迹范数就为我们的辅助纠缠的下限找到了一个简便的代数估计. 例如: （2.24）其归一化条件为: （2.25）不妨假设： （2.26）显然, 我们不需要用数值优化, 便可得一纯代数的下限估计. 其实, 当： （2.27）根据（2.22）式, 我们可得经数值优化后的下限为. 在本文中， 我们还得到了一个辅助纠缠度的上限估计. 我们从定义出发，则有： （2.28）式中: （2.29）这里第一个放大的不等式是根据柯西施瓦兹不等式得来的. 后一个不等式利用了的凸性. 我们称该上限定义为: （2.30）不但可作辅助纠缠的上限估计, 它还对任意的态, 有与不等式相似的性质. 事实上, 不但满足不等式34, 35, 而且的纯态, 辅助纠缠也有与不等式相似的性质3638. 下一章中， 我们将对相似与不等式的性质做进一步的研究.第三章 辅助纠缠度的性质-不等式这一章