电力生产问题研讨

五组 电力生产问题摘要本文是解决现代工业社会电力生产问题，即在不同时段应该如何选择不同型号的发电机使总成本最小的问题。为解决此问题我们建立整数规划模型。总成本是由七个时段的启动成本,边际成本和固定成本之和组成。而在不同时段，上一时段电机的运行情况直接影响下一时段的启动成本，进而影响到边际成本与固定成本的变化。因此我们在考虑电机运行费用时,不仅要考虑电机运行费用还应该把下一阶段电机运行状态与上一阶段联系起来，即将一天七个时段作为一整体考虑。对于问题一，首先我们通过整数规划把第一天电机从静止开始启动费用最优的最优解用lingo求解出来。然后以第一天22-24时这一时间段电机的运行情况作为第二天零时前电机运行的起点，在此通过整数规划把第二天的最优解求出来。如此迭代，直到电机达到稳定即前后两天电机运行状态相同为止。最终达到的稳定状态为所求解。结果表达如下表：型号时段型号1型号2型号3型号4工作台数平均输出功率工作台数平均输出功率工作台数平均输出功率工作台数平均输出功率0-60041500.00032000.000006-921750.00041500.00082000.00032166.6679-122750.000041425.00082000.00011800.00012-1421750.00041500.00082000.00033500.00014-182750.000041425.00082000.00011800.00018-2221300.00041500.00082000.00031800.00022-240867.036941500.00062000.00001922.592总成本144.958万元对于问题二，其模型与问题一相同，只需要在第一问的基础上，把各时段电机最大输出功率的80%作为各电机的理论最大输出功率，然后如同一的方法最终得到所需解。总成本为: 155.2380万元。具体分配见表6.关键词：整数规划 lingo 迭代 1.问题的重述随着社会的进步,人们的用电需求量不断变化.为满足每日不同时段电力的需求, 我们在每个时段应该如何选择发电机供电成为我们亟待解决的问题.每日电力需求如下表1。 表1：每日用电需求（兆瓦）时段（0-24）0-66-99-1212-1414-1818-2222-24需求12000320002500036000250003000018000每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率。所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于表2中。表2：发电机情况可用数量最小输出功率（MW）最大输出功率（MW）固定成本（元/小时）每兆瓦边际成本（元/小时）启动成本型号110750175022502.75000型号241000150018002.21600型号381200200037501.82400型号431800350048003.81200只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。问题（1） 在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？问题（2） 如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？2. 模型假设1.假设各发电机均在理想状态下运行2.假设电机从开启到达指定运行状态是瞬时的3.假设居民用电一直保持题目所给的稳定值4.电机的开启关闭对电机无损耗3.符号说明符号符号说明启动成本固定成本边际成本某天各时段电机运行总成本第种机型的启动成本第种机型固定成本第种机型的最小输出功率第种机型的边际成本第时段电机的工作时长第时段居民的需电量第种机型的总台数第种机型的最小输出功率第种机型的最大输出功率第个时段第种机型正在运行台数第个时段第种机型的平均发电量4. 问题分析此题是在不同时段应该如何选择不同型号的发电机使总成本最小的最优化问题.要使我们选择的发电机总成本最小,就需要合理的安排规划。总成本是由各时段的启动成本,边际成本和固定成本之和组成.而不同时段，上一时段电机的运行情况直接影响下一时段的启动成本，进而影响到边际成本与固定成本的变化。因此我们在考虑电机运行费用时,不仅要考虑电机运行费用还应该把下一阶段电机运行状态与上一阶段联系起来。这样的得到的总成本才是最经济的总成本。对于问题一， 要求在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，在满足各电机在其规定的功率范围内运行且达到用户需求的发电量外，经济使用是我们需要考虑的首要问题。我们首先考虑第一天二十四小时内的七个时段，由于第一天零时电机状态全部是处于关闭状态。这样与其他天零时点击的状态有区别，因此其不具有代表性.根据多目标整数规划模型我们把第一天整体七个时段各时段电机应该处于何种运行状态才能是当天总成本最低。然后我们根据第一天第二十四时的电机运行情况，以它的状态为起点再来规划第二天各时段电机该如何运行使得第二天的总成本最低。然后再以第二天二十四时电机运行状态为起点规划第三天电机该如何运行最经济，如此循环多次。当前后两天电机各时段运行状态相同时，那么电机运行达到了稳定.达到稳定状态运行的电机才有代表性，这样一天电机运行的成本才能称为每天的总成本。其流程图如下：NP=P+1输出结果Y第P天电机运行的总成本M第一天总费用最小各电机的运行状态电机启动 问题一流程图对于问题二，要在任何时刻，使正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升，我们只需要在第一问的基础上，把各时段电机最大输出功率的80%作为各电机的理论最大输出功率。再如同一的方法，通过整数规划，先求出第一天电机在满足题目条件下最小总成本，然后迭代求出稳定条件下的各时段各电机如何运行才能使每天的总成本最小。5模型的建立与求解5.1模型的建立5.1.1模型的提出问题要求确定不同时段应该如何选择发电机在能满足每日各时段电力需求的前提条件下,总成本最小。由问题分析知，可以对电机各时段的运行状态和输出电量我们建立整数规划模型，通过整数规划对该问题进行求解。设整数规划变量分别代表在某天中第个时段第种机型正在运行的台数，代表在某天中第个时段第种机型的每台发电机平均发电量，表示第种机型的启动成本，固定成本，最小输出功率，边际成本。表示第阶段电机的工作时长。根据发电机总成本的组成，我们确定所求的目标函数：其中：代表启动成本；代表固定成本；代表边际成本表示第一时段的各机型启动成本之和表示从第二时段到第七时段各机型的启动成本之和。其中 约束条件：（1）发电机各时段的发电量等于居民各时段的需求量即，（2）各机型在各时段的发电台数不得大于各机型的总台数。即，（3）每种型号的机型在任何时段都在每种机型的工作范围内。即，5.1.2模型的建立5.2.3 问题一的模型的求解：5.2.1 第一天总费用最小时的解:首先在各电机从静止开始启动时,我们把第一天七个时段，各电机应该如何运行来求解。第一天费用最少时各电机的运行状态如下表1：表3：第一天总费用最少时各电机的运行状态和输出功率型号时段型号1型号2型号3型号4工作台数平均输出功率工作台数平均输出功率工作台数平均输出功率工作台数平均输出功率0-60041500.0000032000.0006-99955.555641500.00062000.00031800.0009-129777.777841500.00062000.0000012-1491555.55641500.00082000.0000014-189750.000041500.00081781.2500018-2251600.00041500.00082000.0000022-240031333.33372000.00000总成本152.244万元求解出第一天各时段各电机运行状态后，以第一天第二十四时电机的运行状态作为第二天的零时运行状态，然后同第一天的求解方法求解出第二天各时段电机应该如何运行，总费用最小如此迭代，直到前后两天电机各时段运行状态相同为止。迭代求解过程见附录表（表7-表10）。迭代过程中总成本变化曲线如下图： 图一 每天总成本的变化曲线5.2.2 问题一结果表达：通过多次迭代，我们得到了每天各时段电机稳定运行时各电机的数据。最终各时段不同类型电机的运行状态为如下表4：表4：每日总费用最少时各电机的运行状态和输出功率型号时段型号1型号2型号3型号4工作台数平均输出功率工作台数平均输出功率工作台数平均输出功率工作台数平均输出功率0-60041500.00032000.000006-921750.00041500.00082000.00032166.6679-122750.000041425.00082000.00011800.00012-1421750.00041500.00082000.00033500.00014-182750.000041425.00082000.00011800.00018-2221300.00041500.00082000.00031800.00022-240041500.00062000.00000总成本144.958万元5.2.3 问题一结果分析： 由问题一的结果可以看出，机组从静止开始启动直到达到稳定是一个渐变的过程，达到稳定前，每天同一时段，处于最少费用时各电机的运行状态和输出功率都在变化。当各时段机组的开关情况达到稳定时，总花费也达到稳定。若居民用电需求不变，此种各时段的运行状态将长期稳定并一直保持下去。而对于题目所问，求每天的总成本最小，根据电力系统中规定，它是指电机达到稳定后的一个指标。达到稳定前的每一天的变化量不能计算在内。因此最终的结果为稳定时的最经济的运行状态和最小总成本。5.3 问题二的模型的建立与求解：正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升，我们将不同型号电机的最大输出功率的80%作为实际的最大输出功率。 5.3.1问题二模型的建立5.3.2第一天总费用最小时的解:求解出的第一天的费用最小时，各电机的运行状态和输出功率。如下表5： 表5 留出20%余量后第一天各电机运行状态和输出功率型号时段型号1型号2型号3型号4工作台数平均输出功率工作台数平均输出功率工作台数平均输出功率工作台数平均输出功率0-60041200.00011600.00031866.6676-981125.00041200.00081600.00031800.0009-129800.000041200.00071600.00011800.00012-1491400.00041200.00081600.00031933.33314-189750.000041000.00071521.42921800.00018-2291333.33341200.00061600.00021800.00022-240041200.00061600.00021800.000总成本元求解出第一天各时段各电机运行状态后，同样我们以第一天第二十四时电机的运行状态作为第二天的零时运行状态，然后同第一天的求解方法求解出第二天各时段电机应该如何运行，总费用最小。如同问题一的迭代方法，直到前后两天电机各时段运行状态相同为止。迭代求解过程见附录表（表11表16）。迭代过程中总成本变化曲线如下图：图二 每天总成本的变化曲线5.3.3 问题二结果表达：通过多次迭代，在保证正在工作的发电机组能留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升的条件下，我们得到了电机每天每时段稳定运行时，各发电机的状态和输出功率，其结果如下表：表6 留出20%余量后每日总费用最少时各电机的运行状态和输出功率型号时段型号1型号2型号3型号4工作台数平均输出功率工作台数平均输出功率工作台数平均输出功率工作台数平均输出功率0-61800.000041200.00041600.000006-971285.71441200.00081600.00031800.0009-127800.000041200.00081600.00011800.00012-1481400.00041200.00081600.00032400.00014-185750.000041162.50071600.00031800.00018-2251400.00041200.00081600.00031800.00022-240041150.00051600.00031800.000总成本元5.3.4 问题二结果分析由问题二结果过程可以分析，从第一天到最终达到稳定状态需要经过一个比较明显的波动过程。这是由于电机在不断调整过程中每天各时段要达到一个比较稳定的运行状态所必须经历的调整过程。当其达到稳定后，每天各时段运行状态相同。同一对比可知，对电机的要求不同，电机调整到达稳定所需时间也是变化的。但当他们达到稳定状态后，以后每天各时段电机的运行状态就达到稳定了。6模型的评价与推广6.1 模型的评价优点：模型中我们采用二维的元素集合表示变量，求目标函数以及制定约束条件时，使得问题变得更加的清晰，也使得模型的结构使人易于理解与掌握。同时我们运用整数规划的方法使得所求解更符合实际问题。缺点：该模型是一个非线性的多目标整数规划问题，用lingo软件进行求解时，由于变量过多导致会导致运算时间过长甚至导致无法运算出来。所确立的未知量太多，编程过程中难免会出现多多少少的问题。 6.2 模型的改进寻找变量之间的关系，使得模型中的变量减少，提高程序的运行效率。使用动态规划里面的贪婪算法可以使模型更具有特色，求解时更方便。6.3 模型的推广本模型可以应用于整数规划行业，如机器的生产零件，企业分派任务等领域，而且在非整数规划行业同样适用，如灾害预防采取何种措施，企业的一些决策的制定等。参考文献：1姜启源，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，20032徐权智，杨晋浩，数学建模，北京：高等教育出版社，20043韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005 4宋来忠，数学建模与实验，北京：科学出版社，2005附录：1/程序一程序model:sets:daima/1.15/:h;sduan/1.7/:e,f; !e时段f总兆瓦;numberxh/1.4/:a,b,c,d,g,k，hi,hm;!a启动成本b固定成本元/小时c最小输处功率（MW)d每兆瓦边际成本g每种型号的总数量;link(numberxh,sduan):x,y,xy;!x(i,j);endsetsdata:a=5000 , 1600, 2400, 1200; b=2250 , 1800 , 3750 ,4800;c=750 ,1000 ,1200 , 1800;d=2.7, 2.2, 1.8, 3.8;e=6 ,3 ,3 ,2 ,4 ,4, 2;f=12000,32000,25000,36000,25000,30000,18000;g=10,4,8,3;hi=750,1000,1200,1800;hm=1750,1500,2000,3500;k=0,0,0,0；!当为第一天时，k表示起始阶段各电机从静止启动；当第n（n=2）天时k表示第n-1天时，对应的各电机的二十二到二十四时的启动台数;第二天时，k=0,3,7,0;第三天时，k=0,4,6,0;第四天时，k=0,4,6,0;第五天时，k=0,4,6,0enddata!启动成本;h(1)=sum(numberxh(i):(abs(x(i,1)-k(i)+x(i,1)-k(i)*a(i)/2);h(2)=sum(numberxh(i):(abs(x(i,2)-x(i,1)+x(i,2)-x(i,1)*a(i)/2);h(3)=sum(numberxh(i):(abs(x(i,3)-x(i,2)+x(i,3)-x(i,2)*a(i)/2);h(4)=sum(numberxh(i):(abs(x(i,4)-x(i,3)+x(i,4)-x(i,3)*a(i)/2);h(5)=sum(numberxh(i):(abs(x(i,5)-x(i,4)+x(i,5)-x(i,4)*a(i)/2);h(6)=sum(numberxh(i):(abs(x(i,6)-x(i,5)+x(i,6)-x(i,5)*a(i)/2);h(7)=sum(numberxh(i):(abs(x(i,7)-x(i,6)+x(i,7)-x(i,6)*a(i)/2);!固定成本;h(8)=sum(sduan(j):x(1,j)*b(1)*e(j);h(9)=sum(sduan(j):x(2,j)*b(2)*e(j);h(10)=sum(sduan(j):x(3,j)*b(3)*e(j);h(11)=sum(sduan(j):x(4,j)*b(4)*e(j);!边际成本;h(12)=sum(sduan(j):x(1,j)*(y(1,j)-c(1)*d(1)*e(j);h(13)=sum(sduan(j):x(2,j)*(y(2,j)-c(2)*d(2)*e(j);h(14)=sum(sduan(j):x(3,j)*(y(3,j)-c(3)*d(3)*e(j);h(15)=sum(sduan(j):x(4,j)*(y(4,j)-c(4)*d(4)*e(j); !总成本;min=sum(daima(t):h(t);!电量的边界条件;x(1,1)*y(1,1)+x(2,1)*y(2,1)+x(3,1)*y(3,1)+x(4,1)*y(4,1)=f(1);x(1,2)*y(1,2)+x(2,2)*y(2,2)+x(3,2)*y(3,2)+x(4,2)*y(4,2)=f(2);x(1,3)*y(1,3)+x(2,3)*y(2,3)+x(3,3)*y(3,3)+x(4,3)*y(4,3)=f(3);x(1,4)*y(1,4)+x(2,4)*y(2,4)+x(3,4)*y(3,4)+x(4,4)*y(4,4)=f(4);x(1,5)*y(1,5)+x(2,5)*y(2,5)+x(3,5)*y(3,5)+x(4,5)*y(4,5)=f(5);x(1,6)*y(1,6)+x(2,6)*y(2,6)+x(3,6)*y(3,6)+x(4,6)*y(4,6)=f(6);x(1,7)*y(1,7)+x(2,7)*y(2,7)+x(3,7)*y(3,7)+x(4,7)*y(4,7)=f(7);!数量的边界条件;x(1,1)=g(1);x(2,1)=g(2);x(3,1)=g(3);x(4,1)=g(4);x(1,2)=g(1);x(2,2)=g(2);x(3,2)=g(3);x(4,2)=g(4);x(1,3)=g(1);x(2,3)=g(2);x(3,3)=g(3);x(4,3)=g(4);x(1,4)=g(1);x(2,4)=g(2);x(3,4)=g(3);x(4,4)=g(4);x(1,5)=g(1);x(2,5)=g(2);x(3,5)=g(3);x(4,5)=g(4);x(1,6)=g(1);x(2,6)=g(2);x(3,6)=g(3);x(4,6)=g(4);x(1,7)=g(1);x(2,7)=g(2);x(3,7)=g(3);x(4,7)=g(4);for(sduan(j): for(numberxh(i):hi(i)=y(i,j);gin(x(1,1);gin(x(2,1);gin(x(3,1);gin(x(4,1);gin(x(1,2);gin(x(2,2);gin(x(3,2);gin(x(4,2);gin(x(1,3);gin(x(2,3);gin(x(3,3);gin(x(4,3);gin(x(1,4);gin(x(2,4);gin(x(3,4);gin(x(4,4);gin(x(1,5);gin(x(2,5);gin(x(3,5);gin(x(4,5);gin(x(1,6);gin(x(2,6);gin(x(3,6);gin(x(4,6);gin(x(1,7);gin(x(2,7);gin(x(3,7);gin(x(4,7);End程序一运行结果Local optimal solution found. Objective value: . Objective bound: . Infeasibilities: 0.E-02 Extended solver steps: 3 Total solver iterations: 1459 Variable Value H( 1) 10000.00 H( 2) 59400.00 H( 3) 0. H( 4) 4800.000 H( 5) 0. H( 6) 0. H( 7) 0. H( 8) .0 H( 9) .0 H( 10) .0 H( 11) .0 H( 12) .0 H( 13) 83600.00 H( 14) .0 H( 15) 13680.00 E( 1) 6. E( 2) 3. E( 3) 3. E( 4) 2. E( 5) 4. E( 6) 4. E( 7) 2. F( 1) 12000.00 F( 2) 32000.00 F( 3) 25000.00 F( 4) 36000.00 F( 5) 25000.00 F( 6) 30000.00 F( 7) 18000.00 A( 1) 5000.000 A( 2) 1600.000 A( 3) 2400.000 A( 4) 1200.000 B( 1) 2250.000 B( 2) 1800.000 B( 3) 3750.000 B( 4) 4800.000 C( 1) 750.0000 C( 2) 1000.000 C( 3) 1200.000 C( 4) 1800.000 D( 1) 2. D( 2) 2. D( 3) 1. D( 4) 3. G( 1) 10.00000 G( 2) 4. G( 3) 8. G( 4) 3. HI( 1) 750.0000 HI( 2) 1000.000 HI( 3) 1200.000 HI( 4) 1800.000 HM( 1) 1750.000 HM( 2) 1500.000 HM( 3) 2000.000 HM( 4) 3500.000 X( 1, 1) 0. X( 1, 2) 9. X( 1, 3) 9. X( 1, 4) 9. X( 1, 5) 9. X( 1, 6) 5. X( 1, 7) 0. X( 2, 1) 4. X( 2, 2) 4. X( 2, 3) 4. X( 2, 4) 4. X( 2, 5) 4. X( 2, 6) 4. X( 2, 7) 3. X(