1.1.2余弦定理教学设计(付贵有)

1.2.1 余 弦 定 理禄劝民族实验中学 付贵有一、教学内容分析人教版普通高中课程标准实验教科书必修（五）第一章解三角形第一单元第二课余弦定理。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。在余弦定理的证明中可以说，余弦定理源于向量，又基于向量。二、学生学习情况分析本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。三、设计思想新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。四、教学目标继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。五、教学重点与难点教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。六、教学过程设计()教学环节教学程序及设计设计意图创设情境 引入新课引例：如图所示，已知甲离学校b千米，乙离甲a千米，且甲学校与甲乙两条路线之间夹角，问乙离学校多少千米？这是1994年荷兰弗莱登塔尔数学研究所的一个问题（我在原问题上加了图，以及相应的条件，让问题为余弦定理的产生做铺垫）从最朴素的问题出发，可以让学生感觉亲切，自然，合理，数学的魅力就会油然而生。看似平凡的一个来源于生活中的问题能激发学生的学习兴趣，让学生进一步体会数学来源于生活，服务于生活。构建模型 解决问题方法1：（平面几何法）边Rt在突破定理证明难点时，通过新旧知识的连接点设问，可以激发学生积极性，展开联想。这里的平面几何法用到的是解直角三角形的相关知识构建模型 解决问题将学校、甲、乙所在地分别记为点A,B,C过点A作ADBC于DBD=CD-BC=bcosC-a在RtABD中， 方法2：（向量法）边模数量积如图：方法3：（建立直角坐标系）方法2：用了基本工具向量来解决此题向量的数量积打通了三角形边角的数形联系，是数与形的完美结合，是化归与转化思想的体现，方法简洁而自然建立直角坐标系我们把几何中的点赋予了代数含义（坐标） 定理剖析 深化理解问题：回顾刚刚解决的问题，在三角形中，如何用符号语言与文字语言表示上述结论？符号语言：在ABC中，AB=c，BC=a,AC=b则：语言表述：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。问题：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C进行分类讨论，即分角C为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程;教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式，而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点间的距离公式来解决，等等。问题：我们为什么要学习余弦定理，学它有什么用？学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即：；用符号以及文字语言的形式给出定理，有利于学生将抽象的数学符号与图形中实际条件建立联系，可以帮助学生理解、记忆与应用定理作为定理要经过严格的证明，在解决问题的过程中培养学生严谨的思维习惯。让学生真正体会到学习余弦定理的必要性，同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形，学会“正向”及“逆向”使用公式定理剖析余弦定理的特例：当三角形是直角三角形时，由cos90=0可得到什么结论？学生活动：勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广；当角C为锐角或钝角时，边长之间有不等关系， ；是边长a,b,c的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应让学生进一步理解余弦定理学以致用 拓展延伸例1：已知在ABC中AB=2，AC=3，A= 求BC的长例2：已知ABC的三边为，2,1，求它的最大内角数学的思维不是靠大量题目形成，而是通过一定的思辨、顿悟形成的这样的设计能使学生感觉到余弦定理的推论是解题的需要，即变形后解决有关“已知三边长，解三角形”的问题更直接；也是认识的需要，即借助推论的表达式可以清楚地看到其中蕴含的边角的互化关系归纳整理 内化知识问题：从知识、思想、方法等不同角度回顾一下这节课有何收获？知识要点：（1）余弦定理及其推论（2）余弦定理的作用（3）余弦定理的结构特点思想方法：本课涉及“类比” “特殊到一般”“分类讨论”“化归与转化”“方程”等思想方法。（1）引导学生对所学的知识、数学思想方法进行小结.（2）引导学生对学习过程进行反思，为今后的学习中进行有效调控打下良好