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数列求和问题的探讨【摘要】数列求和问题是数列的基本内容之一，由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧逐一探讨。本文将用一些较为简单和具代表性的例子，探讨将数列求和的方法和技巧渗透、融合，实现方法与内容的整合实践，阐述数列求和中一些具体方法与思想。【关键词】 数列求和 通项公式 方法一、数列求和的思路数列是数学的重点内容之一，而数列求和是数列中较难的一个问题，技巧性强，覆盖面广，而且能有效地测试学生的运算能力、逻辑推理能力以及分析问题的能力。数列求和是一个较复杂的数学问题，因此必须挖掘题设条件，从中发现规律，顺利完成求和问题。等比、等差数列前n 项和可以直接用通项公式求和；非等比、等差数列前n项求和的关键是从通项出发，分析其结构特征，若问题能转化为等差 数列或等比数列求和的问题，则有基本求和公式可用，或变换通项，经过裂相等方法消去中间相，达到求和的目的；若通项是项数n 的一次、二次、三次多项式的 形式，则可以转化为正整数平方数列、立方数列进行求和。二、探究数列求和的方法1. 公式求和法 如果给定的数列是由等差数列、等比数列、一些已知求和公式的特殊数列或这些数列通过和的形式组成，其前n项和可用已知公式直接求得。1、等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：3、4、5、例1、已知是一个首项为，公比为的等比数列，求解：由已知得， 是首项为，公比为的等比数列。当时，当时，例2、已知数列为等差数列，且=，（，），求。解：数列为等差数列，公差= 由等差数列求和公式，得例3、已知等差数列中，求数列的前n项和.解：设等差数列的公差为，则，所以.由得，故数列是以首项为，公比为的等比数列.于是得数列的前n项和.2、错位相减法求数列和的前n项和，数列，分别为等差与等比数列.求和时在求式的两边承以公比后，与原数列的和作差，即，然后求即可.例1、求数列，的前n项和。解：=+作辅助数列：上式两边同时乘以=+于是-，得-=+（-）+（-）+（-）-=+-=-=1-=2-例2、求和解：， ， ，得 = =故3、倒序相加法倒序相加是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法。它是由高斯求和法而来，如果数列的任意第K项与倒数第K项之和等于首项与末项之和（某两项之和、某个定值或相加后成为一个基本数列），由此启发出求一类一般数列前n 项和的方法。即将数列反序，再把正序与倒序对应项相加，使相加后的数列为一个简单数列，化繁为简，化未知为已知，达到求和的目的。例1、已知，求解： （1） （2）（1）+（2）得，所以.4、分组求和法有一类数列，既不是等差数列或等比数列，也不是易求和数列，但可以“转化”为这类数列来求和。其通项是几项等差数列、等比数列或易求和数列通项的和（差）式。若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比、常见易求和的数列，然后通过重新组合的方法，使其转化为几个等差数列、等比数列，或转化为易求和数列的前n项求和，再将其合并，即可求出原数列的前n项和，以达到目的。例1、已知数列中的相邻两项是关于的方的两根，且.（1）求；（2）求数列的前项和.解：（1）方程的两根为.当k=1时，所以；当k=2时，所以；当k=3时，所以；当k=4时，所以.（2）因为.所以.五、裂项相消法如果一个数列的通项能拆成两项之差，即的每一项都可按此法化为某两项之差，然后重新组合，在求和时可以将一些正负项相互抵消，采用对消的方法求出到求和的目的。使用此法，可使解题达到事半功倍的效果。常用的裂项相消变换有：分式裂项：； .根式裂项：.对数式裂项：.指数式裂项：.正切差角公式裂项：.例1、求数列，的前n项和。解：an= =- =+=1-+-+-+-=1-=例2、求数列的前n项和.解：设 （裂项） 则 （裂项求和） 例3、在数列中，又，求数列bn的前n项的和.解： （裂项） 数列bn的前n项和 （裂项求和） 六、累加法针对某一类数列求和的问题，需要先引进一个恒等式，再通过把几个等式累加，可达到目的。一般引用的恒等式比数列通项高一次方，且是两个连续自然数的一定次方的差，列出含有通项的几个恒等式，通过迭加消去中间某些项，最后求得和式的一种方法。例4：求数列12，22，32，n2的前n项和。解：（n+1）3=n3+3n2+3n+1（n+1）3-n3=3n2+3n+123-13=312+31+133-23=322+32+143-33=332+33+1（n+1）3-n3=3n2+3n+1把上面各等式两边分别相加，得（n+1）3-13=3（12+22+32+ n2）+3（1+2+3+n）+n3（12+22+32+ n2）=（n+1）3-13-3-n=七、合并求和法有些数列可以根据数列的特点，合理合并，从而简化运算。对一些特殊的数列，若将相邻两项或某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，或呈现出一定的规律，则在数列求和时，可考虑把这些项放在一起先配对（并项）求和，得到一个新的容易求和的数列，然后再求 。例1、求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性质项）Sn（cos1+cos179）+（cos2+cos178）+（cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 0 （合并求和）三、总结1、本文仅介绍了几种常见类型的数列求和法，更一般的数列求和问题需要在掌握基本方法的基础上进行更进一步的探讨：（1）公式求和法（2）错位相减法（3）倒序相加法（4）分组求和法（5）裂项相消法（6）累加法（7）合并求和法这些方法的基本思路在于给定的数列转化为若干个等差数列或等比数列，以便应用等差数列和等比数列的求和公式，各个方法之巧妙在于针对给定数列的特点实现上述转化。当然，数列求和的方法还远远不止这些，其它方法在遇到实际问题时，再加以总结。 2、数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。数列的求和问题，关键在于认清数列的类型，究竟是最基本的等差数列或等比数列的求和，还是可转化的数列求和，认清楚以后再加上适当的方法。接具体问题时， 要具体分析，合理选择