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文档简介
导数在研究函数中的应用(2),f (x)0,f (x)0,复习:函数单调性与导数关系,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导,,f(x)增函数,f(x)减函数,巩固:,定义域R,f(x)=x2-x=x(x-1),令x(x-1)0, 得x1, 则f(x)单增区间(,0),(1,+),令x(x-1)0,得0x1, f(x)单减区(0,2).,注意: 求单调区间: 1:首先注意 定义域, 2:其次区间不能用 ( U) 连接,(第一步),解,(第二步),(第三步),在x1 、 x3处函数值f(x1)、 f(x3) 与x1 、 x3左右近旁各点处的函数值相比,有什么特点? f (x2)、 f (x4)比x2 、x4左右近旁各点处的函数值相比呢?,观察图像:,一、函数的极值定义,设函数f(x)在点x0附近有定义,,如果对X0附近的所有点,都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值, 记作y极大值= f(x0);,如果对X0附近的所有点,都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值= f(x0);,函数的极大值与极小值统称为极值. (极值即峰谷处的值),使函数取得极值的点x0称为极值点,探究:极值点处导数值(即切线斜率)有何特点?,结论:极值点处,如果有切线,切线水平的.即: f (x)=0,f (x1)=0,f (x2)=0,f (x3)=0,思考;若 f (x0)=0,则x0是否为极值点?,进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?,极大值,极小值,即: 极值点两侧单调性互异,f (x)0,x1,极大值点两侧,极小值点两侧,f (x)0,f (x)0,f (x)0,探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?,x2,f(x) 0,f(x) =0,f(x) 0,极大值,f(x) 0,f(x) =0,极小值,f(x) 0,注意:(1)f(x0) =0, x0不一定是极值点,(2)只有f(x0) =0且x0两侧单调性不同 , x0才是极值点. (3)求极值点,可以先求f(x0) =0的点,再列表判断单调性,结论:极值点处,f(x) =0,例1: 求 的极值。,变式1 求 在 时极值。,例题2: 若f(x)=ax3+bx2-x 在x=1与 x=-1 处有极值. (1)求a、b的值 (2)求f(x)的极值.,变式训练1:,下一张总结,详细解答,小结:,1: 极值定义 2个关键 可导函数y=f(x)在极值点处的f(x)=0 。 极值点左右两边的导数必须异号。 3个步骤 确定定义域 求f(x)=0的根 并列成表格 用方程f(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个开 区间,并列成表格由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况,思考吗,结束,返回总结,注意:函数极值是在某一点附近的小区间内定义的,是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值,并对同一个函数来说,在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。,思考1. 判断下面4个命题,其中是真命题序号为 。 f (x0)=0,则f (x0)必为极值; f (x)= 在x=0 处取极大值0, 函数的极小值一定小于极大值 函数的极小值(或极大值)不会多于一个。 函数的极值即为最值,结束
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