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在柱坐标系和球坐标系下的计算,一、在柱坐标系下的计算法,规定：,圆柱面,半平面,平 面,如图，柱面坐标系中的体积元,然后再把它化为三次积分来计算,积分次序一般是先 z 次 r 后,积分限是根据 在积分区域中的变化范围来确定,例1,解,将 投到xoy 面得D,注,若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。,例2,解,关键在于定出 的变化范围,的范围容易定出,z 呢？,注意到,二、在球坐标系下的计算法,规定,球 面,圆锥面,半平面,如图，球面坐标系中的体积元素为,然后把它化成对 的三次积分,具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示,积分次序通常是,解一,用球坐标,解二,用柱坐标,解,注,若 积分区域为球体、球壳或其一部分,被积函数呈,而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单,通常采用球坐标。,补充：利用对称性简化三重积分计算,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的,奇偶性,“你对称，我奇偶”,关于 xoy 面对称,关于 xoz 面对称,关于 yoz 面对称,三、小结,三重积分换元法,柱面坐标,球面坐标,（1） 柱面坐标的体积元素,（2） 球面坐标的体积元素,
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