连续性随机变量及其概率密度.ppt

4 连续型随机变量及其概率密度,一 连续型随机变量的概念与性质,在线段上随机投点的位置、温度、气压、电压、 电流等物理量等等，理论上可以取到某个区间 的任何实数值。,对这种类型的随机变量，不能象离散型随机变 量那样，以指定它取每个值概率的方式给出其 概率分布，而是通过给出所谓“概率密度函数” 的方式，从而得到连续型随机变量的概念。,定义 如果对于随机变量 X的分布函数 F ( x )， 存在非负函数 f ( x ) , 使对于任意实数 x 有,则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f ( x ) 称为 X 的概率密度函数，简称 概率密度或密度。,连续型随机变量的概念,分布函数 F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义,由定义知道，概率密度f (x) 具有以下性质,概率密度的性质,这两条性质是判定一个 函数 f (x)是否为某 X的 概率密度函数的充要条件,这是因为,注 由上述性质可知，对于连续型随机变量， 我们关心它在某一点取值的问题没有太大的 意义，我们所关心的是它在某一区间上取值 的问题。,对数集 A (严格意义下要求可测性),（1） 设 X 是连续型随机变量, 有概率密度 f ( x ) ，则,（2）在 f ( x ) 的连续点处，有,6 密度函数与分布函数的关系,注 1、对于连续型的随机变量, 密度函数 唯一决定分布函数。,2、连续型随机变量的分布函数一定是 连续的；分布函数如果不连续就不 是连续型随机变量 ( 除了连续型 分布和离散型分布以外还存在其它 类型的分布 )。,例1 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为,解 由密度函数的性质,求： 常数 c；,例2 某电子元件的寿命X（单位：小时）是以,为密度函数的连续型随机变量。求 5个同类型 的元件在使用的前 150小时内恰有 2个需要更 换的概率。,解 设 A = 某元件在使用的前150 小时内需要更换,检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个 5重伯努利试验 B = 5个元件中恰有2个的使用寿命不超过 150小时 ,解 (1)由 得,故，X 的概率函数为,(2)由 得,(3),当然，还可以用概率密度求概率。,例4 设连续型随机变量 X的分布函数为,确定 A、B 的值； (2) 求 X 的概率密度； (3) 求,故有,解 (1) 因为 X 是连续型随机变量， 所以F ( x )连续,即,因此,(3),(2) 由 得,当然，还可以用概率密度求概率。,注 在 F ( x ) 导数不存在的点处，根据改变被积 函数在个别点处的值不影响积分结果的性质， 可以在 没意义的点处，任意规定 的值。,二 几种常用的连续型随机变量,1、 均匀分布,则称 X 在区间（a , b）上服从均匀分布，,若连续型随机变量 X 的概率密度为,记作,均匀分布密度函数的图形,其分布函数为,均匀分布的特性,如果随机变量 X在区间（a , b）上服从均匀分布， 则X 落在区间（a , b）中的任意一个子区间上的 概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的 位置无关。 即随机变量 X 落在区间（a , b）中任意等长度的 子区间内的可能性是相同的。,X,a,b,x,l,l,0,即,X,例5 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班 车，如果某乘客到达此站的时间是7:00 到7:30 之间的均匀随机变量，试求该乘客候车时间不 超过5分钟的概率。,解 设该乘客于7时X 分到达此站,则 X 服从区间 0 , 30 上的均匀分布,令 B =候车时间不超过5分钟 则,2、 指数分布,其中 0 为常数，则称X 服从参数为 的指数分布 。,若连续型随机变量 X 的概率密度为,指数分布密度函数的图形,则其分布函数为,指数分布的应用,指数分布具有“无记忆性”。所以，又把指数分布称为“永远年轻”的分布。,对任意 s , t 0 , 有,“无记忆性”： 若X 服从参数为 的指数分布 ，则,指数分布常作为各种“寿命”分布的近似。,例 设某日光灯的使用寿命服从参数 =2000的指数分布（单位：h） （1）任取一根这种灯管，求能正常使用1000h以上的概率。 （2）某灯管已近正常使用了1000小时，求还能使用1000小时以上的概率。,其中， （ 0）为常数，则称X 服从 参数为， 的正态分布或高斯分布。,记作,若连续型随机变量 X 的概率密度为,3、 正态分布,正态分布密度函数的图形,其分布函数为,正态分布的应用,若随机变量 X受到众多相互独立的随机因素 的影响，而每一个别因素的影响都是微小的， 且这些影响可以叠加，则 X 服从正态分布。 正态分布是应用最广泛、最重要的一种分布。,例如 各种测量的误差； 人的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生们的考试成绩； 都服从或近似服从正态分布。,正态分布密度函数的几何特性,（1）曲线关于直线 x = 对称： f ( + x) = f ( - x)；,（2）在 x = 时， f (x) 取得最大值,（3）在 x = 时，曲线 y = f (x) 在对应的点处 有拐点；,（4）曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线；,（5）曲线 y = f (x) 的图形呈单峰对称状；,（1） 位置参数,即固定 ，改变 的值，则f (x) 的形状不变， 只是位置不同，沿着 x 轴作平移变换。,正态分布密度函数 f (x) 的两个参数：,（2） 形状参数,即固定 ，改变 的值，则 f (x) 图形的 对称轴不变，而形状在改变。 越小，图形越高越瘦； 越大，图形越矮越胖。,当 = 0， = 1 时，称随机变量 X 服从 标准正态分布。 其概率密度和分布函数分别为,标准正态分布,标准正态分布密度函数的图形,标准正态分布分布函数的图形,重要结论,若 ，则,1、,3、,2、,证明 1、,的分布函数为,故,2、由 1 得,3、由 2 得,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。,根据上述结论，只要将标准正态分布的分布 函数制成表，就可以通过查表解决一般正态 分布的概率计算问题。,说明,例5 设随机变量 X N (0 , 1) ，试求,（1） ；,解 （1）,（2）,（2）,解 （1）,例6 设随机变量 X N (2 , 9) ，试求,（1） ；,（2） ；,（3）,（2）,（3）,若