2020版高考数学复习第十三单元第67讲不等式的证明练习理新人教A版.docx

第67讲不等式的证明 1.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,求2a+2b+2c的最小值.2.2018深圳耀华实验学校模拟 若a0,b0,a+b=1.求证:(1)4a+1b9;(2)2a+1+2b+122.3.已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r23.4.2018武昌调研 设函数f(x)=|x-2|+2x-3,记f(x)-1的解集为M.(1)求M;(2)当xM时,证明:xf(x)2-x2f(x)0.5.2018甘肃临泽一中月考 已知函数f(x)=m-|x-2|,mR,且f(x+1)0的解集为0,2.(1)求m的值;(2)若a,b,cR,且1a+12b+13c=m,求证:a+2b+3c9.6.2018衡水模拟 已知函数f(x)=|x-3|.(1)求不等式f(x)2a2+2b2.7.2018宁夏银川一中月考 已知函数f(x)=|x|-|x-1|.(1)若f(x)|m-1|的解集非空,求实数m的取值范围;(2)若正数x,y满足x2+y2=M,M为(1)中m可取到的最大值,求证:x+y2xy.8.设函数f(x)=x-|x+2|-|x-3|-m,若对任意xR,1m-4f(x)恒成立.(1)求实数m的取值范围;(2)求证:logm+1(m+2)logm+2(m+3).课时作业(六十七)1.解:(a+b+c)2a+2b+2c=(a)2+(b)2+(c)22a2+2b2+2c2a2a+b2b+c2c2=18,且a+b+c=9,2a+2b+2c2,当且仅当a=b=c时取等号,2a+2b+2c的最小值为2.2.证明:(1)a0,b0,a+b=1,4a+1b=(a+b)4a+1b=4+4ba+ab+15+24baab=9,当且仅当a2=4b2时,等号成立.(2)(分析法)欲证2a+1+2b+122,只需证2a+1+2b+1+2(2a+1)(2b+1)8,a0,b0,a+b=1,只需证(2a+1)(2b+1)2,由均值不等式可得(2a+1)(2b+1)(2a+1)+(2b+1)2=2,当且仅当a=b时,等号成立,故不等式2a+1+2b+122成立.3.解:(1)因为|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1x2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+12+12)(p1+q1+r1)2=(p+q+r)2=9,当且仅当p=q=r=1时,等号成立,即p2+q2+r23.4.解:(1)由已知,得f(x)=x-1,x2,3x-5,x2.当x2时,由f(x)=x-1-1,解得x0,此时x0;当x2时,由f(x)=3x-5-1,解得x43,显然不成立.故f(x)-1的解集为M=(-,0.(2)证明:当xM时,f(x)=x-1,于是xf(x)2-x2f(x)=x(x-1)2-x2(x-1)=-x2+x=-x-122+14.令g(x)=-x-122+14,x(-,0,则函数g(x)在(-,0上是增函数,g(x)g(0)=0.故当xM时,xf(x)2-x2f(x)0.5.解:(1)由f(x+1)0,得m-|x-1|0,显然m0,则1-mx1+m.f(x+1)0 的解集为0,2,1+m=2且1-m=0,m=1.(2)证明:由(1)可知1a+12b+13c=1,则a+2b+3c=(a+2b+3c)1a+12b+13c=1+2ba+3ca+a2b+1+3c2b+a3c+2b3c+1=3+2ba+a2b+3ca+a3c+3c2b+2b3c3+6=9,当且仅当a=2b=3c时等号成立,即a=3,b=32,c=1时等号成立.6.解:(1)当x3时,由|x-3|x+1,得x-3x+1,所以x3;当x3时,由|x-3|x+1,得3-x1,所以1x3.综上可知,不等式f(x)1.(2)因为(a2+1)(b2+1)-(2a2+2b2)=(ab)2+a2+b2+1-2a2-2b2=(ab)2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1),又因为a,bM,所以a1,b1,所以a21,b21,即a2-10,b2-10,所以(a2-1)(b2-1)0,所以原不等式(a2+1)(b2+1)2a2+2b2成立.7.解:(1)由题可得f(x)=-1,x1,所以f(x)max=1,所以|m-1|1,解得0m2,所以实数m的取值范围为0,2.(2)证明:由(1)知,M=2,所以x2+y2=2.因为x0,y0,所以要证x+y2xy,只需证(x+y)24x2y2,即证2(xy)2-xy-10,即证(2xy+1)(xy-1)0.因为2xy+10,所以只需证xy1,因为2xyx2+y2=2(当且仅当x=y=1时取等号),所以xy1成立,所以x+y2xy成立.8.解:(1)对任意xR,1m-4f(x)恒成立,m+1mx-|x+2|-|x-3|+4恒成立.令g(x)=x-|x+2|-|x-3|+4,则g(x)=3x+3,x3,函数g(x)在(-,3上是增函数,在(3,+)上是减函数,g(x)max=g(3)=2,m+1mg(x)max=2,即m+1m-20,m2-2m+1m=(m-1)2m0,m0,综上,实数m的取值范围是(0,+).(2)证明:由m0知,m+3m+2m+11,即lg(m+3)lg(m+2)lg(m+1)lg1=0.要证logm+1(m+2)logm+2(m+