前面在推导傅里叶变换时.ppt

1,前面在推导傅里叶变换时，是将非周期信号看成是周期信号T 无穷大的周期信号的极限，从而导出了频谱密度函数的概念。 本节将这概念推广去求周期信号的频谱密度函数,即求周期信号的傅里叶变换,从而得出傅里叶级数是傅里叶变换的特例的结论。 周期信号是不满足绝对可积条件的,同样它也仅仅在频谱中引入冲激函数后,傅里叶变换才存在。 因为周期信号可以展成傅里叶级数,即展成一系列不同频率的复指数分量或正弦、余弦分量的叠加。下面先求复指数、正弦、余弦分量的傅里叶变换,在此基础上再求任意周期信号的傅里叶变换。,2.3.4 周期信号的傅里叶变换,2,一、复指数、正弦、余弦信号的傅里叶变换 1、复指数信号e j1t 的傅里叶变换 F 1 = 2 () F e j1t = F 1 e j1t = 2 ( 1) 2、余弦信号的傅里叶变换 cos1t = 0.5( e j1t + e j1t ) F cos1t = ( 1) + ( +1) 3、正弦信号的傅里叶变换 sin1t = ( e j1t e j1t )/2j F sin1t = j ( 1) + ( +1),3,式中Xn是傅里叶级数的系数。对上式两边取傅里叶变换得,二、一般周期信号的傅里叶变换 先将任意周期信号x(t)展成傅里叶级数,上式说明：周期信号的傅里叶变换是由一系列冲激函数组成的，这些冲激出现在离散的谐频点n1 处，它的冲激强度等于x(t)的傅里叶级数Xn的2 倍，因此它是离散的冲激谱。,4,当周期信号采用傅里叶级数表示频谱时，它是有限的幅度谱，所以两者是有区别的。,这是由于傅里叶变换反映的是频谱密度概念，周期信号在各谐振点上，具有有限幅度，说明在这些谐振频点上其频谐密度趋于无限大，所以变成冲激函数。,这也说明了傅里叶级数可看作傅里叶变换的一种特例。,三、周期信号与单周期信号频谱间的关系 周期信号x(t)在时域上可以看作是它的单周期信号xd(t)的周期延拓。已知周期信号的傅里叶级数为：,5,单周期信号的傅里叶变换,比较上两式,上式说明：周期信号的傅里叶级数的系数Xn等于单周期信号的傅里叶变换Xd()在各谐频点n1处的值乘以1/T1。,或者说，周期信号的频谱是单（非）周期信号频谱在n1处的抽样值，仅差一系数1/T1，这就是为求周期信号的频谱值带来方便。,6,例2-13 求周期冲激信号T(t)的傅里叶级数及傅里叶变换。 解：周期为T1的周期冲激信号T(t)可表示为,（1）傅里叶级数(用定义),周期冲激信号的各离散谐频分量的大小均是相等的，且等于1/T1,7,（2）由于单个冲激信号(t)的频谱等于1（白色谱），周期冲激信号的傅里叶系数应是单个冲激信号的傅里叶变换在n1处的抽样值乘以1/T1，所以 Xn=1/T1 。,8,9,例2-14 求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数及傅里叶变换。,解：从单矩形脉冲信号x0(t)入手，x0(t)傅里叶变换为X0(),x(t)傅里叶级数,x(t)傅里叶变换,10,11,以计算机为中心的测控系统所能处理的信号是离散信号，而传感器所提供的信号一般都是连续信号，因此每隔一定时间间隔从已知连续信号中逐点抽取其瞬时值，从而获得抽样信号。 信号的抽样过程也就是信号在时间轴上的离散化过程,由抽样器进行。抽样器实质上是一个采样开关，每隔一定时间T 接通一次，每次接通时间 。 2.4.1 时域抽样,2.4 抽样信号的傅里叶变换,12,从时域上看，抽样过程丢失了信号在抽样间隔的信息，因此要解决抽样周期T 的选择问题。直观看，对缓慢变化的信号，T 可以大些，对快速变化的信号，T要小些。 说明了T 的选择与信号频率有关， 研究： 1）抽样信号的频谱与原信号频谱的关系？ 2）连续信号被抽样后，是否保留原信号的全部信息？在什么条件下，可以从抽样信号中无失真的恢复出原信号？,载波信号,13,令 x(t)的傅里叶变换为 X() =F x(t) 抽样脉冲序列p(t)的傅里叶变换为 P() =F p(t) 抽样后信号的傅里叶变换为xs(t)为 Xs() =F xs(t) 若采用均匀抽样,抽样周期为Ts ,频率为,一般情况下,抽样过程是通过抽样脉冲序列p(t)与连续信号x(t)相乘来完成,即满足 xs(t) = x(t)p(t) p(t)是周期信号，其傅里叶变换,14,根据频域卷积定理,上式说明：信号在时域被抽样后，它的频谱Xs()是连续信号频谱X()的形状以抽样频率s 为间隔周期地重复而得到，在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶系数Pn所加权。,15,（1）矩形脉冲抽样,抽样过程可以看作是一个周期矩形脉冲被时域连续信号x(t)调幅过程。,16,上式说明，矩形脉冲抽样信号的频谱Xs()是原信号频谱X()在频率轴上的周期延拓，其延拓周期为采样频率s，同时在这种周期重复过程中，其频谱幅度将按抽样函数的规律随频率增高而衰减。,17,18,（2）冲激抽样 为了进一步突出抽样信号频谱的主要本质，将周期矩形脉冲抽样理想化为周期冲激抽样。 即 0，抽样过程是瞬间完成的，同时抽样信号的强度等于连续信号在抽样瞬时的值。 冲激抽样信号x (t)同样可看作是一个周期冲激信号T (t)被连续信号x(t)调幅的过程，故可表示为： x (t) = x(t)T (t),19,冲激抽样信号的频谱是原连续信号频谱在频率轴上的周期延拓,其延拓周期为抽样频率s ，但与矩形脉冲抽样信号相区别的是频谱幅度将不再随频率的增加而衰减,而是保持不变。,20,