尘埃等离子体状态方程研究

尘埃等离子体状态方程研究学生：栗生长 指导老师：段文山届别：2006届 专业：物理学 班级：2班 学号：200272010213摘 要：本文首先概述了尘埃等离子体物理的基本概念、尘埃粒子的基本特性及尘埃等离子体物理的研究状况。其次简要介绍了统计物理中系综理论的理论结构和基本概念。最后用统计物理学中的系综理论研究了尘埃等离子体，得到了弱耦合尘埃等离子体的一个状态方程。讨论了该状态方程与理想气体状态方程的区别与联系，给出了用理想气体理论处理尘埃等离子体的条件,还分析了统计物理理论在研究尘埃等离子体时所遇到的困难。关键词：尘埃等离子体；尘埃粒子；统计物理；状态方程Study on State Equation of Dusty PlasmaLI Sheng-changAbstract：Brief review of dusty plasma physics and statistical physics are given. A state equation of a weakly coupling dusty plasma is obtained in this paper. The comparison between the state equation and that of ideal gas is shown. The condition that the dusty plasma can be considered as ideal gas is given.Key words: dusty plasma; dust particle; state equation; statistical physics引言 尘埃等离子体是掺杂有尘埃粒子的电离气体，它是电子、离子、尘埃粒子和中性气体分子的混合体。它广泛地存在于宇宙、实验室及微电子器件的等离子体辅助加工设备中。自1994年人们首次在实验室观察到尘埃等离子体晶格以来，尘埃等离子体物理已发展成为当今等离子体研究领域的一大热点。目前，随着新一代高密度集成电路工业及表面薄膜沉积技术的发展，解决尘埃粒子“污染”所导致的质量问题迫在眉睫1。这一问题促使许多科学家们开始研究等离子体加工中尘埃粒子的形成及其行为对等离子体过程的影响。在对尘埃等离子体中孤立尘埃粒子的有关物理过程和尘埃等离子体晶格的形成机理及其有关性质进行深入研究的同时，基础理论研究和方法的探讨也不容忽视。本文考虑到等离子体的状态方程是工程物理的重要参数之一，故研究此问题。论文主要包括三部分：第一部分简要概述了尘埃等离子体物理的基本概念、尘埃粒子的基本特性及尘埃等离子体物理的研究状况；第二部分简要介绍了统计物理中系综理论的理论结构和基本概念；第三部分用系综理论研究了尘埃等离子体，得到了弱耦合尘埃等离子体的一个状态方程。最后，在讨论该状态方程与理想气体状态方程的区别与联系的基础上，给出了用理想气体理论处理尘埃等离子体的条件，还分析了统计物理在研究尘埃等离子体时所遇到的困难。1 尘埃等离子体物理概述 尘埃等离子体物理是近年来发展起来的新研究领域。“尘埃等离子体”作为一个专业名词，它不仅出现在等离子体物理领域，而且也常出现在空间物理、电波传播、半导体科学、材料科学等领域。简单地说，尘埃等离子体不是“纯”的等离子体，而是被尘埃“污染”了的等离子体1。1.1 尘埃粒子和尘埃等离子体尘埃粒子相当普遍地存在于自然界，在天体空间、星际云、彗星、行星环、地球的磁层和电离层都有各种尺度且密度不同的尘埃粒子存在。这里尘埃物质与气态物质的密度比约为10-3，尘埃粒子的尺度范围从几个纳米到几百个纳米。在太阳系中，人们已探测到各种形态和各种来源的尘埃粒子。近十年来，空间飞船对土星、火星的探测已证实了它们美丽的光环是由尺度从lm到10-8m的各种大小不同的尘埃粒子组成的。实际上尘埃粒子也普遍存在于实验室装置中，人们对实验室中尘埃粒子的认识也远早于对空间尘埃粒子的认识，早在1924年，朗缪就发表了第一篇讨论实验室尘埃粒子的论文。广义上讲由电子、离子和带电的尘埃粒子组成的等离子体是尘埃等离子体。近年来对尘埃粒子，特别是对等离子体中的尘埃粒子的研究引起了人们的极大兴趣。如研究地球大气层中带电尘埃粒子对电磁波传播的影响、等离子体刻蚀及溅射镀膜等技术中尘埃粒子的行为、等离子体中尘埃粒子形成聚合物现象等。这些研究既涉及到现代物理的一些基本内容，同时又联系着一些非常有应用价值的问题。如世界上最大的非相干雷达EASCAT观察到极区夏季很强的电磁波回波，观测表明这种很强的回波与出现在80-90km高度处的冰粒形成的尘埃层有关，理论研究尘埃等离子体中的电波传播已表明，尘埃粒子对电磁波有很强的“反常”散射作用；又如1993年在法国召开的尘埃等离子体讨论会上，报道了尘埃粒子在等离子体中出现的自组织现象，即形成了尘埃等离子体晶格，这为在实验室合成新物质开辟了一条新的途径。1.2 尘埃等离子体的基本特性等离子体中的尘埃粒子通常带负电荷，但这并不代表能将尘埃等离子体简单地看作仅由原来的等离子体加上带负电荷的重粒子组成的、与原等离子体性质相似的体系。因为等离子体的重要特征是其显著的“集体效应”，这种效应改变了等离子体中单个粒子的一些特性（诸如碰撞截面、散射截面等），集体效应还导致在等离子体中出现新的波动和各种不稳定性。由于等离子体中的尘埃粒子在很大程度上可能改变这种集体效应，从而使原等离子体的一些性质发生改变，这些改变都基于尘埃粒子本身的一些特性。1.2.1 尘埃粒子大的荷电特性在等离子体中，尘埃粒子因与电子、离子碰撞而充电，在短时间内（微秒量级）达到平衡。尘埃粒子所带电荷多数是负电荷，在重力、鞘层中电场力和其他一些力的作用下，尘埃粒子将悬浮在鞘层中。为简单起见，以一个球形尘埃粒子为例，设其半径a远小于等离子体的德拜长度lD，尘埃小球具有的电势将使其上的电子温度与等离子体中的电子温度同数量级，即ekTe（k为玻耳兹曼常量）。对应于这个电势，尘埃粒子上的电荷为eZd = a，由于Zd通常都很大，故一般尘埃粒子带有102-104个电子的电荷。等离子体对尘埃粒子具有屏蔽作用，实际上带负电荷的尘埃粒子排斥电子，吸引离子，在屏蔽云中将缺少大约Zd个电子（d为尘埃粒子间的平均距离）。在这种情况下，一个波长大于德拜长度的电磁波将受到屏蔽电子云的相干散射，其散射截面是一个电子汤姆孙散射截面的Zd2/4倍，更远远大于一个尘埃粒子在没有等离子体情况下的散射截面（反比于尘埃粒子质量的平方）。1.2.2 尘埃粒子电荷量的可变性 当尘埃粒子间的平均距离d远大于等离子体的德拜长度时，可不考虑尘埃粒子间的相互作用，这时可孤立地研究单个尘埃粒子。在等离子体中有多种过程可使尘埃粒子带电受到影响，如等离子体中电子、离子的热运动形成对尘埃粒子的充电电流、尘埃粒子二次电子发射导致尘埃粒子电势升高；又如尘埃粒子在强紫外辐射环境中辐射光电子或尘埃粒子表面的化学反应以及激光、射频电磁场的作用等都可能影响尘埃粒子的电荷状况。一个孤立的尘埃粒子，其表面平衡电势取决于所有可能的尘埃粒子的充电电流和等于零，即Id=0。很明显，有多种因素可影响尘埃粒子的电荷状况，如等离子体中的电荷密度扰动、温度扰动以及一些外界环境条件的改变等。当尘埃粒子间不满足条件dlD时，则需要考虑尘埃粒子间的相互作用，这时尘埃粒子的电荷状况将变得更为复杂。一般来说，尘埃粒子间的相互作用将导致尘埃粒子电荷量的减小。尘埃粒子电荷量的可变性导致了电磁波在其中传播行为的复杂性，特别是对于可与尘埃粒子的充电时间尺度相比拟的低频电磁扰动。1.2.3 尘埃粒子的运动特性与等离子体中的其他带电粒子相比，尘埃粒子具有较大的质量，其质量md 的范围大约为10-210-15g，其荷质比远小于电子和其他离子，这使其运动形态与其他带电粒子有很大不同。研究尘埃粒子的运动，除要考虑的粒子间的电磁作用外，通常还要考虑重力、热压力、离子风和中性粒子的拖曳力等。尘埃粒子的这些特性使尘埃等离子体的集体效应表现出一些新的特征。一是尘埃粒子产生的集体效应并非“短期”现象，也就是说尘埃粒子是一个非常有效的集体效应激发源。这是因为尘埃粒子产生的集体效应（如不稳定性等）对尘埃粒子本身的反作用非常小，因此它的作用不只限于临近它的一些集体过程。另一个特点是尘埃等离子体强的非线性效应。当尘埃粒子有势场ekTe时，在尘埃粒子附近线性近似条件（线性近似条件ekTe）不再适用，这样尘埃粒子就好比一个非线性现象的产生源。1.3 尘埃等离子体物理的研究状况尘埃等离子体最早来源于空间等离子体物理，早期研究主要有：太阳系等的演化（认为构成太阳系的早期星云就是尘埃等离子体）；单个尘埃粒子的带电研究（例如人造飞船的带电等）；等离子体中孤立尘埃粒子的有关物理过程（包括尘埃粒子的充电机制、静电屏蔽、尘埃粒子电荷的极性转换、尘埃粒子电荷对尘埃粒子破裂和凝结的影响、运动尘埃粒子在等离子体中所受阻力以及尘埃粒子在引力和电磁力联合作用下的动力学过程等问题）。尘埃粒子和等离子体的相互作用也广泛存在于实验室和工业的应用中，Roth等人1985年首先在等离子体加工中发现有尘埃粒子的形成。近年来, 由于制造新一代高密度集成电路工业及表面薄膜沉积技术的发展，迫切需要解决尘埃粒子“污染”导致的质量问题，这促使科学家们开始广泛研究在等离子体加工中尘埃粒子的形成及其行为对等离子体过程的影响2。尘埃等离子体的一个大发展是库仑晶格的发现，Ikezi（1986年）和Farouki等人（1992年）首先通过计算和模拟提出了在尘埃等离子体中形成库仑晶格的可能性。自1994年Chu，Thomas和Hayashi等人几乎同时在实验室中发现了库仑晶格以来，有大量的文献对尘埃等离子体晶格的形成机理及其有关性质进行了研究（主要包括尘埃粒子的生长、尘埃粒子在鞘层中的运动、尘埃粒子间的非对称相互作用、等离子体晶格的相变过程、尘埃等离子体波等）。具体的如对尘埃颗粒在射频等离子体鞘层中的非线性共振、等离子体中尘埃粒子对电磁波的吸收效应、离子与尘埃相互作用对离子声波和尘埃声波的影响、离子与尘埃相互作用对离子声波和尘埃声波的影响的研究等。在尘埃等离子体的研究中，随着实验技术的进步和条件的改善，最近几年尘埃等离子体物理的研究又在与现代技术联系较紧密的一些领域得到了很快发展，如前面提到的对电磁波在尘埃等离子体中的传播特性、尘埃粒子的各种特性、尘埃粒子与电磁波的相互作用的研究等，其研究结果与微电子工业及材料科学的发展有密切的关系。据文献报道，半导体材料生产中50%的损失来源于等离子体蚀刻及喷镀工艺中的尘埃粒子污染。目前，美国、德国、法国、日本等国都有实验室在进行这方面的研究工作。最近，尘埃等离子体理论研究也取得了一些成果3-6，如对尘埃等离子体的Jeans非稳定性、尘埃等离子体的引力非稳定性与凝聚效应、等离子体中的电荷涨落和静电波动、空间尘埃等离子体Maser效应以及所导致的Langmuir辐射、空间尘埃等离子体中尘粒电荷的相关涨落对尘埃磁声波的影响的研究。这些研究正在向人类显示尘埃等离子体物理的美好前景，同时也在不断激发人们研究尘埃等离子体的热情。现在，尘埃等离子体物理已成为一些学科中的重要研究内容，其自身也已发展成当今等离子体物理研究领域的一大热点。2 系综理论简介统计物理学是关于热现象的微观理论，它从组成物质的微观粒子无规运动和相互作用出发，依据粒子遵从的力学规律，用统计的方法研究热现象。统计物理学之所以被称为“最美丽”的科学，是因为它的应用非常广泛，而理论假设只有一个（即等概率原理）7。就统计方法而言，统计物理学包含了最概然统计和系综理论两种基本方法。前者是特殊的，只适应于近独立粒子系统；后者是普遍的，不仅可处理近独立粒子系统，还可处理有相互作用的粒子系统。系综理论也有经典系综理论与量子系综理论之分，经典系综理论引入相空间来描述一个经典的力学系统，力学体系的一个状态，就对应着相空间的一个代表点；量子统计系综理论中，力学系统的状态由对应的波函数来决定，它的变化则依从波动方程，因此不能用相空间来描述，而必须采用希尔泊特空间。2.1 系综理论的理论结构这里从两个方面来说明系综理论的理论结构。首先，从理论的逻辑关系看，系综理论由三部分组成：（1）宏观物体由大量微观粒子组成，微观粒子遵守经典的或量子的力学运动规律。所以，首先要对粒子和系统的微观状态作经典的或量子的描述。（2）宏观量是相应微观量在满足一切给定宏观条件下所有可能微观状态上的统计平均值。这一部分是理论的核心，它给出了系统宏观性质和微观性质之间的联系，从而揭示了宏观系统的微观实质。（3）计算系统的涨落。由于统计平均值有一定的近似性，通过计算涨落可以得到平均值与实际测量值之间的相对偏差，从而确定统计结果的可信度。其次，从研究对象的特征看，系综理论包括微正则分布、正则分布和巨正则分布三种统计分布，它们分别适用于孤立系、闭系和开系。2.2 系综理论的基本概念（1）相空间（或-空间）：由广义坐标q1，q2，qf和广义动量p1，p2，pf共2f个变量为直角坐标组成的一个多维空间。f为系统的自由度，相空间中的一个点代表系统在某一时刻的一个可能的微观状态。（2）统计系综：指与所研究的实际系统内部结构相同、外界条件相同、彼此完全独立且能代表实际系统所有微观状态的大量假想系统（或标本系统）的集合。（3）系综平均值：在经典理论中，以D代表相空间代表点的密度，N代表系综中系统的总数，d表示相空间中的广义体积元，表示t时刻系统的微观状态（由相应的代表点表示）处在d内的概率密度，则系统的任一微观量B(q，p)的系综平均值为：。在量子理论中，给定宏观条件下系统可能的微观态是大量的，用s =1，2，表示系统的可能的微观状态，以Bs表示微观量B在量子态s上的数值，s（t）表示时刻t系统处在s态上的概率，则B的系综平均值为：。可以看出，要得到一个物理量的统计平均值，其根本问题是在给定宏观条件下确定系统的分布函数（即概率密度）或分布概率s。（4）刘维尔定理：平衡状态下系统的宏观量不随时间改变，和s都不显含时间t，即。此式说明，系统从初态出发沿正则方程确定的轨道运动，概率密度是不随时间改变的常数。（5）系综的三种统计分布：在给定的宏观条件下，确定系统的分布函数是系综理论的根本问题。处在不同宏观条件下的系统分布函数的形式不同。常用的三种系综如表1所示。系综微正系综正则系综巨正则系综系统孤立系闭系开系状态参量E，V，NT，V，NT，V，分布概率函数经典量子特征函数表1 三种系综的比较 在研究三种分布时，我们把为微正则分布作为平衡态统计物理学的基本假设，由它直接导出正则分布和巨正则分布。虽然从原则上说，这三种分布描述的是三种不同系统的统计分布规律，但在实际问题中，只要系统本身足够大，其能量和粒子数的相对涨落很小，则用三种分布求得的热力学量是相同的。从这个意义上说，三者是等效的。另外，系综理论是普遍的理论，由它可导出玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布。（6）配分函数：从物理意义讲，配分函数是系统的有效状态之和；从数学上讲，它是为方便而引入的一个生成函数。利用系统的能量函数得到系统的配分函数是用系综理论处理实际问题的关键，因为有了系统的配分函数就可以通过热力学公式得到该系统的热力学性质。表2给出了三种分布的配分函数表达式。在计算配分函数时，应注意两个问题：对于由近独立粒子组成的系统，系统的配分函数Z（T,V,N）和单粒子的配分函数Z1（T,V）之间的关系为：Z（T,V,N）= Z1（T,V）N （定域系统）或Z（T,V,N）= Z1（T,V）N/N! （非定域系统），利用这两个式子可以简化近独立粒子系统配分函数的计算。配分函数可分为经典和量子两种表达，前者用积分计算，后者用求和来计算。系 综正则系综巨正则系综配分函数经典量子表2 几种系综的配分函数表达式（7）热力学公式：对于有相应微观量的宏观量，热力学公式是根据系综平均值公式得到的。对于没有相应微观量与之对应的宏观量，其热力学公式只能通过和热力学的比较得出。要注意系综理论中的热力学公式同玻耳兹曼统计热力学公式的区别，不要因形式相似而混为一谈。表3给出了三种分布的热力学公式。分布微正系综正则系综巨正则系综热力学公式说明 表3 三种分布的热力学公式（8）热力学量的涨落：将随机变量每次的取值x与其平均值的偏差记为，则定义涨落为，相对涨落定义为。在系综理论中，由正则分布可以求得恒温系统能量的涨落为：由巨正则分布可求得开系的粒子数涨落及能量涨落分别为： 2.3 关于系综理论的几点讨论（1）系综理论中三种分布所对应的系综的宏观条件各不相同，但在确定系统的统计性质时，这三种分布是完全等效的8。（2）从涨落的角度看，正则分布是巨正则分布忽略粒子数N涨落的结果，而微正则分布是正则分布忽略能量E涨落的结果。由于实际系统中所包含的粒子数N非常大，由系综平均求出的宏观量的相对涨落总是很小的。因此，在处理实际问题中，三种系综宏观条件的差别并不能表现出来。虽然如此，在理论上巨正则分布仍然是统计物理中最有代表性的分布，其它分布都可由巨正则分布直接导出。从这一角度来说，其它分布是巨正则分布在一定条件下的特殊情况。（3）系综理论虽然讨论了三种分布，但在解决实际问题时，很少应用微正则分布，这不仅因为自然界中没有完全孤立的系统，更重要的是它的计算复杂，所以除理想气体以外，很少用微正则分布来进行计算。另外，在实际中多用容易变换的指数函数表达的正则分布和巨正则分布来处理问题。（4）在系综理论中，可以将经典统计理解为量子统计的极限。总之，无论从系综理论的建立，还是从涨落理论的分析和计算体系等方面来说，系综理论都表现出了理论上高度的统一性和逻辑上高度的严密性9。3 尘埃等离子体状态方程研究系综理论作为统计物理学的基本理论，它可以处理互作用粒子组成的系统（如高密度下的实际气体等）10。弱耦合的尘埃等离子体，系统各组分间存在明显的相互作用，因此也可用系综理论来处理。3.1 尘埃等离子体的能量当尘埃粒子的半径远小于尘埃粒子间距时，可将尘埃粒子当作点粒子对待。假设尘埃粒子具有相同的质量，且带电量相同。在尘埃粒子数为N的条件下，尘埃等离子体的能量可表示为 (1)其中m为尘埃粒子的质量，Cdi为尘埃粒子的随机热运动速度。这样(1)式中第一项为就代表尘埃粒子的动能，第二项代表尘埃粒子间的相互作用势能。假设尘埃等离子体总的相互作用势能可表示为各尘埃粒子对的相互作用势能之和，且第i个粒子与第j个粒子间的相互作用势能仅与它们间的距离rij有关。这样，系统总的相互作用势能就可表示成N(N-1)/2项，考虑到粒子数N一般都很大，因此可忽略(N-1)与N之间的差别，从而认为相互作用势能共有N2/2项。3.2 配分函数的求解 用系综理论处理互作用粒子的关键在于确定分布函数，本文用正则分布处理尘埃等离子体。配分函数在正则分布情况下的经典表达式为 (2)式中为系统的微观状态数，h为普朗克常量，r为单个粒子的自由度。对本文研究的系统，取r=3，系统总的自由度f=3N。若以pi、qi分别表示第i个粒子的广义动量和广义坐标，可将(2)式变为 (3) (3)式中含有动量的被积函数可以分离变量，因此对动量的积分就可分解为3N个积分的乘积 这样，配分函数就可表示为 (4)其中，Q为位形积分 (5)3.3 位形积分的求解为求解位形积分，先定义函数 (6)当rij大于尘埃粒子的相互作用最大距离时，有，且fij=0。利用函数fij的定义，可将位形积分表示为 (7) 积分展开式(7)中各项代表的相互作用尘埃粒子集团如图1所示。f12f12f34f12f23f12f13f23图1 相互作用的尘埃粒子集团若只保留(7)式中的前两项而略去后面各项，位形积分将简化为 (8) (8)式中第二项由不同的i和j构成的N(N-1)/2个积分各个相等，且都等于 函数f12仅当1、2两个粒子都在相互作用最大距离范围内时积分才不为零。因此，积分与第一个粒子的坐标无关。略去边界效应，有 为两尘埃粒子的相对坐标。利用上式可将位形积分表示为 (9)(9)式两边取对数，有 (10)对(10)式右边第二项的对数函数作级数展开，展开时若认为很小，就可只取展开式中的第一项，得 (11) 将(11)式代入含有配分函数的热力学压强公式中，得 (12)或 (13) 利用第二位力系数( NA为阿伏加德罗常数)及1/kT可将(13)式变为 (14)其中n为物质的量，k为玻耳兹曼常量，T为尘埃等离子体的温度。这里应当说明，在得出(8)式和(11)式时所作的两个简化是不合理的。不过在准确到第二位力系数的近似下，这两个简化所引起的误差刚好相互抵消。3.4 第二位力系数的求解下面利用尘埃粒子相互作用势能求解第二位力系数。在尘埃等离子体中，相同尘埃粒子间的相互作用势能可表示为11 (15)其中q为尘埃粒子的带电量，r为两尘埃粒子间的距离，D为等离子体的德拜长度。 尘埃等离子体在稳定平衡状态下的德拜长度可表示为11 (16)其中，e为基本电荷量，为平衡状态下尘埃等离子体中的总粒子数密度,nd为平均粒子数密度，s为尘埃粒子的种类数。在本文研究的系统中，只有一种尘埃粒子，故有Ntot = nd = N/V。这样，(16)式可写为 (17)为方便求解第二位力系数，先将其在球坐标系下表示为 (18)将前面的(15)式代入(18)式，有 (19) (19)式中的积分在数学计算上是很复杂的，这里只考虑弱耦合的情况，即在(r) / kTD时，可认为尘埃粒子之间是彼此孤立的，即无相互作用，相当于方程中的a q2nd=0，这样尘埃等离子体的状态方程就简化为理想气体的状态方程pV=NkT。这说明，此时可用理想气体的有关理论和方法来处理尘埃等离子体。当然，本文用统计物理的一般理论和方法仅仅讨论