《连续函数的概念》PPT课件.ppt

1,第八节 函数的连续性与间断点,第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性,第十节 闭区间上连续函数的性质,第一章,函数与极限,一、函数的增量,函数在x0处的增量,x0处的增量,xxx0,x,y,x0,x,x,y,x=x0+ x,x0+ x,0,y=f(x)f(x0),y=f(x0+ x)f(x0),x,x,y=2x . x+( x)2,( x)2,x,x0+,y0,xx0+,f(x)f(x0),x,y,x0,y,x,0,f ( x0),f ( x),x,x0-,y0,xx0-,f(x)f(x0),或,二、函数在点x0处连续定义,设函数f(x)在点x0的某个领域U(x0;h)内有定义，若,则称f(x)在点x0处连续。点x0为连续点.,或,左连续：,右连续：,5,函数在点x0处连续当且仅当左连续且右连续,例1,在定义域内每一点x处连续,7,例2,在定义域内每一点x处连续,8,例4,有界量乘以无穷小量是无穷小量,在定义域内每一点x处连续,9,例5 确定函数,中,的值，使函数,在,处连续。,解,与,10,3、区间上的连续函数,（1）如果,在,内的每一点都连续，则称它在,内连续；,（2）如果,在,内连续，又在,点右连续，在,点左连续，则称它在闭区间,上连续；,（3）如果,在它的整个定义区间连续，则简称,是连续函数。,基本初等函数在其定义域内都是连续函数,11,三、间断点,连续必须同时满足的三个条件：（1）,有确定的值；,（2）,存在；,（3）,1、几种 常见的间断点,（1）跳跃间断点,是,跳跃间断点。,例6,不连续即间断,12,(2)可去间断点,例7,是,的可去间断点。,是连续函数,13,（3）无穷间断点,例8,是,无穷间断点。,是,无穷间断点。,在(-,+)上有无穷间断点,14,（4）振荡间断点,例9,在,上来回振荡。,是,振荡间断点。,振荡不存在。,15,2、间断点的分类,（1）第一类间断点：,可去间断点,（2）第二类间断点：第一类除外,振荡间断点,与,至少有一个不存在,跳跃间断点,无穷间断点,振荡不存在。,左、右极限存在,例10 函数,在x=1处没有定义，所以函数在点,x=1处间断，但,所以点x=1是可去间断点,若定义f(1)=2，则新函数,为连续函数,例11 函数,在x=0处没有定义，所以函数在点,x=0处间断，但,所以点x=0是跳跃间断点,问：,有什么间断点？,思考与练习,1. 讨论函数,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.,2. 设,时,提示:,为,连续函数.,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,提示:,作业：,P.65 1,5书上；3(1)(4)，4作业本 上,4提示：,20,第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性,Th1,设,设,则,Th3,在点x0处连续，则,都在点x0处连续。,Th2,设,在区间Ix上单调且连续，则其反函数,在区间Iy上也单调连续。,21,由基本初等函数的连续性及连续函数的运算法则知，,任何初等函数在它们有定义的区间上都是连续的。,例13,解 原式,分段函数在分段点处连续，必须,作业：,P.69 1,5书上；3(双数),4(双数)，6作业本 上,23,第十节 闭区间上连续函数的性质,Th1 闭区间上的连续函数在该区间上有界且一定能 取得最大值和最小值。,例,在,上连续。,24,25,注意：如果定理的条件不满足，结论就不一定成立。,在,内连续，,函数在闭区间-1，1上,x=0 处不连续，,没有最大值和最小值。,也没有最大值和最小值。,Th2（介值定理）,推论1 在闭区间上连续的 函数必取得介于最大值和 最小值之间 的任何值。,26,推论2（零点定理）,利用零点定理，可以判断方程,使,则至少存在一点,在某个范围内是否有实根。,27,且有,例. 证明方程,证: 显然,又,故由零点定理, 至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根 ;,取,的中点,内必有方程的根 ;,可用此法逼近求近似根.,二分法,在区间,内至少有一个根 .,则,则,28,说明：,f(x)满足零点定理，则f(x)=0至少有一个根，,若函数又在该区间内单调，则只有唯一根。,29,作业：,P.7