材料力学第五章弯曲应力.ppt

第五章 弯曲应力,回顾与比较,内力,应力公式及分布规律,均匀分布,线形分布,5-2 纯弯曲时的正应力,5-3 横力弯曲时的正应力 强度条件,5-4 弯曲切应力,5-6 提高梁强度的措施,5-1 纯弯曲,一、纯弯曲,梁段CD上，只有弯矩，没有剪力,梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力,5-1 纯弯曲,纯弯曲,横力弯曲,5-2 纯弯曲时的正应力,1、变形几何关系,2、物理关系,3、静力学关系,纯弯曲的内力,剪力Fs=0,横截面上没有切应力,只有正应力。,弯曲正应力的 分布规律和计算公式,1、变形几何关系,（一）实验观察现象：,施加一对正弯矩，观察变形,观察到纵向线与横向线有何变化？,纵向线,由直线,曲线,横向线,由直线,直线,相对旋转一个角度后，,仍然与纵向弧线垂直。,变化的是：,1、纵向线的长度,2、两横截面的夹角,各纵向线的长度还相等吗？,各横向线之间依然平行吗？,3、横截面的宽度,横截面绕某一轴线发生了偏转。,（二）提出假设：,1、平面假设：,变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面；,于1695年提出梁弯曲的平面假设,瑞士科学家Jacob.贝努力,纵向纤维之间没有相互挤压，,2、假设：,观察纵向纤维之间有无相互作用力,各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。,凹入一侧纤维,凸出一侧纤维,观察纵向纤维的变化,在正弯矩的作用下，,偏上的纤维,缩短，,偏下的纤维,伸长。,缩短；,伸长。,纤维长度不变,中性层,中性层,L0,L0,L=0,既不伸长也不缩短,中性轴,中性轴上各点,=0,各横截面绕,中性轴发生偏转。,中性轴的位置,过截面形心,你能解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？,（三）理论分析：,y的物理意义,纵向纤维到中性层的距离；,点到中性轴的距离。,两直线间的距离,公式推导,线应变的变化规律,与纤维到中性层的距离成正比。,从横截面上看：,点离开中性轴越远，,该点的线应变越大。,2、物理关系,虎克定律,弯曲正应力的分布规律,a、与点到中性轴的距离成正比；,c、正弯矩作用下，,上压下拉；,当P时,沿截面高度,线性分布；,b、沿截面宽度,均匀分布；,d、危险点的位置，,离开中性轴最远处.,弯曲正应力的分布规律,可 别 忘 记 啦,沿高度,沿宽度,3、静力学关系,中性轴过截面形心,坐标轴是主轴,中性层的曲率计算公式,EIz,抗弯刚度,4、弯曲正应力计算公式,变形几何关系,物理关系,静力学关系,正应力公式,1826年纳维在材料力学讲义中给出正确计算公式,弯曲正应力分布规律,弯曲正应力计算公式,5、横截面上最大弯曲正应力,截面的抗弯截面系数；。,反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响,最大弯曲正应力计算公式,适用条件,截面关于中性轴对称。,6、常见图形的惯性矩及抗弯截面系数：,一、横力弯曲,5-3 横力弯曲时的正应力,横截面上内力,剪力+弯矩,横截面上的应力,既有正应力，,又有切应力,横力弯曲时的横截面,横截面,不再保持为平面,也不能保证纵向纤维之间没有正应力,纯弯曲正应力公式,弹性力学精确分析表明：,横力弯曲最大正应力,二 横力弯曲正应力,对于跨度 L 与横截面高度 h 之比 L / h 5的细长梁，,用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，,误差2%,满足工程中所需要的精度。,推导弯曲正应力计算公式的方法总结,（1）理想模型法：纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数）,（2）“实验观察假设” ：梁弯曲假设,（3）,外力,内力,变形几何关系 物理关系 静力学关系,（4）三关系法,积分,应力合成内力,横力弯曲,应力法,（5）数学方法,注意,（1）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面上的应力，,（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布；,从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；,（2）必须清楚所求的是该截面上哪一点的正应力，,（4）中性轴上正应力为零，,并确定该点到中性轴的距离，,而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。,以及该点处应力的符号,（4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩 的计算式。,（6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。,（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压;,注意,正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负,及梁的变形状态来 确定。,作弯矩图，寻找最大弯矩的截面,分析：,非对称截面，,例1 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。,求最大拉应力、最大压应力。,计算最大拉应力、最大压应力,要寻找中性轴位置；,（2）计算应力：,（1）求支反力，作弯矩图,B截面应力分布,9KN,1m,1m,4KN,1m,A,C,B,FA=2.5KN,应用公式,（3）结论,C截面应力计算,C截面应力分布,应用公式,1、C 截面上K点正应力,2、C 截面上最大正应力,3、全梁上最大正应力,4、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径,例2：矩形截面简支梁承受均布载荷作用,如图所示,1、截面几何性质计算,确定形心主轴的位置,确定中性轴的位置,确定形心的位置,2. 求支反力,（压应力）,3、C 截面上K点正应力,4、C 截面上最大正应力,弯矩,公式,作内力图,5、全梁上最大正应力,危险截面,公式,6、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径,练习1：计算下图中11截面上、两点的正应力，并求梁内的最大正应力，画危险面上正应力的分布规律。已知矩形截面的宽为75毫米，高150毫米。,练习2：圆型截面梁的横截面直径为D50毫米，受力如图。计算最大正应力并画危险面上的正应力分布规律。,练习3：求下图中11截面上点的正应力、此截面上的最大正应力、此梁上的最大正应力。已知矩形截面的宽为120毫米，高180毫米。,三、弯曲正应力强度条件,弯曲正应力的分布规律,危险点：,距离中性轴最远处；,分别发生最大拉应力与最大压应力；,1、塑性材料,抗拉压强度相等,无论内力图如何,梁内最大应力,其强度条件为,通常将梁做成矩形、圆形、工字形等,对称于中性轴的截面；,此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。,因此：,强度条件可以表示为,2.离中性轴最远处。,要综合考虑弯矩M与截面形状Iz,1.弯矩的绝对值最大的截面上；,塑性材料,c、塑性材料制成的,变截面梁,总之，,梁内最大应力发生在：,3 .强度条件为,2、脆性材料,抗拉压强度不等。,内力图形状有关。,梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在,最大应力通常与截面形状，,通常将梁做成T形、倒T形等,关于中性轴不对称的截面。,离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。,由于脆性材料抗压不抗拉，,或者, 脆性材料梁的危险截面与危险点,上压下拉,上拉下压,危险截面只有一个。,危险截面处分别校核：,二个强度条件表达式,危险截面有二个；,每一个截面的最上、最下边缘均是危险点；, 脆性材料梁的危险截面与危险点,各危险截面处分别校核：,四个强度条件表达式,弯曲正应力强度计算的三个方面,1、强度校核,2、设计截面,3、确定许可载荷,例1：图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。,材料的许用应力,分析,（2）危险截面：,（3）危险点,截面关于中性轴对称,弯矩 最大的截面,抗弯截面系数 最小的截面；,危险截面的最上、下边缘处。,（1）轮轴为塑性材料,公式,（1）计算简图,（2）绘弯矩图,B截面，C截面,（3）危险截面,（4）强度校核,B截面：,C截面：,（5）结论,轮轴满足强度条件,例2：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦,材料的许用应力,起重量,跨度,试选择工字钢的型号。,自重,分析,（2）确定危险截面,（5）计算,（6）计算 ，选择工字钢型号,（3）截面为关于中性轴对称,（1）简化为力学模型,（4）应力计算公式,（1）计算简图,（2）绘弯矩图,（3）危险截面,（4）强度计算,（5）选择工字钢型号,36c工字钢,F=F1+F2,例3：T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。,试校核梁的强度。,5、作弯矩图，确定危险截面,6、确定危险点，进行强度校核,分析：,非对称截面；,确定形心主轴位置；,1、脆性材料，,2、寻找形心,3、确定中性轴位置；,4、计算图形对中性轴的主惯性矩,危险截面与内力图有关,（2）求截面对中性轴z的惯性矩,（1）求截面形心,（4）确定危险截面,（3）求支反力，作弯矩图,B截面应力强度计算,9KN,1m,1m,4KN,1m,A,C,B,FA=2.5KN,应用公式,（5）结论,C截面强度计算,应用公式,满足强度条件,例4：一简支梁受力如图所示。已知 ，空心圆截面 的内外径之比 ，试选择截面直径D；若外径D增加 一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？,3、作弯矩图，确定危险截面；,分析：,对称截面；,1、塑性材料，,2、已知图形对中性轴的主惯性矩,5、公式,4、确定危险点，进行强度校核,1、求支座反力，并作弯矩图,FA=FB=ql/2,2、确定危险截面,强度计算,若外径D增加一倍，,不变,例5： 已知 材料的 ，由M图知： ，试校核其强度。,5、确定危险点，进行强度校核,分析：,非对称截面；,确定形心主轴位置；,1、塑性材料，,2、寻找形心,3、确定中性轴位置；,4、计算图形对中性轴的主惯性矩,6、公式,（1）确定中性轴的位置,（2）计算截面对形心主轴的惯性矩,（4）正应力校核,所以结构安全。,问题：若材料为铸铁，截面这样放置是否合理？,1、已知T型截面的惯性矩为IZC10-6m4，材料的许用拉应力为t30MP，许用压应力c60MP，校核梁的强度。,2、AB梁为10号工字钢，在B点用圆杆支撑， BC杆的直径为D20毫米，梁与杆采用同种材料，许用应力为160MP，求许用载荷？,3、图示中的梁由二根槽钢组成，许用应力为120MP，选择槽钢的型号。,4、矩形截面悬臂梁的跨度为L4米，截面的高、宽比为3：2，均布载荷的集度为10KN，许用应力为10MP，确定矩形截面的尺寸。,5、已知T型截面的惯性矩为IZC21.7610-6m4，材料的许用拉应力t= 30MP，许用压应力c=60MP，设计载荷？，如果截面倒置？,6、20工字钢，许用应力为160MP，求载荷P。,7、已知T型截面的惯性矩为IZC10000cm4，材料的许用拉应力为t40MP，许用压应力c160MP，h196.4，求力P？。,8、许用应力为60MP，校核强度。,10KNm,30KNm,1m,1m,1m,60,120,9、25号槽钢，许用应力为120MP，求M？，画危险面的正应力的分布规律。,10、球墨铸铁材料，采用T型截面，惯性矩为IZC30000cm4，画危险面上的正应力的分布规律，并求梁内的最大拉应力、最大压应力。,11、已知T型截面的惯性矩为IZC2010-6m4，材料的许用拉应力为t32MP，许用压应力c75MP，校核强度。,12、AB梁的跨度为L6米，当力P直接作用在梁的中点时，梁的最大正应力超过许用应力的30。为消除过载的影响，增加一辅助梁CD。求辅助梁的跨度？,13、在200200的矩形截面上左右对称地挖去直径为160的半圆。作梁的内力图，并求梁内的最大正应力。,14、已知工字型截面梁的惯性矩为IZC104cm4，材料的许用拉应力为t40MP，许用压应力c100MP，y1=100mm，y2=220mm，L=1m，求载荷集度？,15、槽形截面梁受力如图，材料为铸铁。对本身截面形心轴的惯性矩为IZC=1.729109mm4，许用拉应力为t=40Mpa,许用压应力为C=80MPa，求梁的许可载荷P。,P,16、铸铁制成的槽形截面梁， 材料的t=40MPa, C=150MPa, 对截面形心轴的惯性矩为IZ4010-6m4，y1=0.14m，y2=0.06m，校核梁的强度,17、图示结构，AB为T形铸铁梁，y1=140mm，y2=60mm，惯性矩为IZ4107毫米4。CD为直径为d=30毫米的圆截面钢杆，载荷P可在梁上自由移动。已知AC2米，CB1米，铸铁的许用拉应力为 t=35MPa，许用压应力为c=140MPa，钢材的许用应力为=160MPa，确定系统的许可载荷P。（不考虑CD杆的稳定性),5-4 弯曲切应力,横力弯曲,横截面上内力,既有弯矩又有剪力；,横截面上应力,既有正应力又有切应力。,切应力分布规律和计算公式,FA=FB=P,观察AC段内力,Fs=P,=+常量,+M线性规律上升,横截面上的切应力合成剪力,横截面上的剪力产生切应力,关于切应力的两点假设,目标：,距离中性轴为y的直线上各点切应力计算公式,距中性轴等远的各点处切应力大小相等。,1、在AC 段取长为dx的微段,2、分析微段上的应力,3、切开微段分析,4、分析微段的平衡条件,5、计算右侧截面正应力形成的合力,同理,6、微元体的平衡方程,距离中性轴为y的直线上点的切应力计算公式,7、切应力计算公式,各项的物理意义,1、Fs,欲求切应力的点所在截面的剪力；,2、Iz,欲求切应力的点所在截面对中性轴的惯性矩；,3、b,欲求切应力的点处截面的宽度；,4、Sz*,横截面上距离中性轴为y的横线以外部分的面积A1对中性轴的静矩。,8、切应力分布规律,切应力沿截面高度按抛物线规律变化。,中性轴处,最大正应力所在的点,工字形截面梁切应力沿高度的分布规律,计算公式,切应力危险点,中性轴处,最大切应力,腹板上的切应力呈抛物线变化；,腹板部分的切应力合力占总剪力的9597%。,工字形截面的翼缘,翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按直线规律变化；,翼缘部分的切应力强度计算时一般不予考虑。,并与腹板部分的竖向剪力形成“剪应力流” 。,T形截面梁切应力沿高度的分布规律,计算公式,切应力危险点,中性轴处,圆形截面梁切应力沿高度的分布规律,计算公式,切应力危险点,中性轴处,最大切应力,2、横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点,3、竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线规律变化,1、在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切。,圆环截面的最大切应力,切应力的危险点,能否说：“切应力的最大值一定发生在中性轴上”？,当中性轴附近有尺寸突变时,最大切应力不发生在中性轴上；,当中性轴附近有没有尺寸突变时,最大切应力发生在中性轴上；,切应力强度条件,对于等宽度截面， 发生在中性轴上；,在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：,（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应 力的强度条件是次要的。,对于宽度变化的截面， 不一定发生在中性轴上。,一般情况下，,以正应力设计为主，,切应力校核为辅；,(2) 对于较粗短的梁，当集中力较大时，,注意,(4) 薄壁截面梁时，也需要校核切应力。,截面上的剪力较大，需要校核切应力强度条件。,(3) 载荷离支座较近时，,截面上的剪力较大；,(5) 木梁顺纹方向，抗剪能力较差;,(6) 工字形截面梁，要进行切应力校核;,（7）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，,该处的切应力为零；,切应力的最大值发生在中性轴上，,该处的正应力为零。,对于横截面上其余各点，同时存在正应力、切应力。,这些点的强度计算，应按强度理论进行计算。,注意,例题1：悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的= 10 MPa，=1MPa，求许可载荷F。,1.画梁的剪力图和弯矩图,2.按正应力强度条件计算许可载荷,3.按切应力强度条件计算许可载荷,4.按胶合面强度条件计算许可载荷,5.梁的许可载荷为,例2铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力为 ，许用压应力为 ， 。试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？,(a) 确定中性轴的位置,(c) 最大静矩：,(b) 计算图形对形心主轴的惯性矩,(1) 平面图形几何性质计算,（2）绘剪力图、弯矩图,计算约束反力：,作内力图,（3）正应力强度计算,对于A截面：,（3）正应力强度计算,对于D截面：,正应力强度足够。,结论,（4）切应力强度校核,在A截面左侧：,切应力强度足够。,危险截面,计算公式,（5）若将梁的截面倒置,此时强度不足会导致破坏。,1、求图示梁上1-1截面上、二点的切应力，及梁内最大的切应力。,2、求图示梁内最大正应力、最大切应力，并画出正应力与切应力的分布规律。,3、矩形截面简支梁由三根宽为150、高为60的矩形板胶合而成。已知胶合面上的许用剪应力为 胶合0.5MP，梁的许用应力为：10MP， 2MP。校核梁的强度。,4、矩形截面简支梁24100，许用剪应力为60MP，校核梁的剪切强度。,5、P200KN，均布载荷的集度为q=10KN/m，梁的跨度为L2米，集中力到支座的距离a0.2米。梁的许用应力为：160MP， 100MP，选择工字钢型号。,6、矩形截面简支梁24100，梁的许用应力为：120MP，许用剪应力为 100MP，校核梁的强度。,7、矩形截面简支梁，高：宽3：2，梁的许用应力为：8MP， 0.7MP，设计矩形截面的尺寸、。,8、矩形截面简支梁，宽50，高160，梁的许用应力为：MP， 1MP，求梁的许可载荷。,5-6 提高弯曲强度的措施,1、合理布置支座,一、 降低 Mmax,2、合理布置载荷,降低 Mmax,安装齿轮,靠近轴承一侧；,3、集中力分散,降低 Mmax,二、梁的合理截面,增大抗弯截面系数,截面面积几乎不变的情况下，,截面的大部分分布在远离中性轴的区域,1、合理设计截面,抗弯截面系数WZ越大、横截面面积A越小，,截面越合理。,来衡量截面的经济性与合理性,合理截面,合理截面,伽利略1638年关于两种新科学的对话和证明,“空心梁能大大提高强度，而无须增加重量，,所以在技术上得到广泛应用。,在自然界就更为普遍了，,这样的例子在鸟类的骨骼和各种芦苇中可以看到，,它们既轻巧而又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力。“,矩形截面中性轴附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。,根据应力分布的规律：,解释,合理截面,合理截面要求上下危险点同时达到各自的许用应力。,对于塑性材料,宜设计成关于中性轴对称的截面,对于脆性材料,宜设计成关于中性轴不对称的截面,且使中性轴靠近受拉一侧。,2、合理放置截面,竖放比横放更合理。,为降