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曲线积分与曲面积分,第一节 曲线积分,第二节 曲面积分,一.第一型曲线积分,定理 若曲线,是光滑的，即 在 连续，且不,同时为零，函数 在 连续，则函数,在 存在第一型曲线积分，且,(1),(2),(3),其它形式的计算方法,推广 若三维欧氏空间,中光滑曲线 的参数方程是,则第一型曲线积分为,空间曲线 的弧长微分为,1.计算 其中C为圆周,2.计算 其中C为螺旋线,的一段,3.计算积分,其中C为由曲线,所界的凸围线,连续，且,则 与 在 的第二型,定理 如果函数 在有向光滑曲线,曲线积分都存在，且,二、第二型曲线积分,对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,因此下限应是起点的坐标,上限是,终点的坐标.,特殊情形,(1),则,(2),则,(3),推广,格林公式,定理,若函数 及其偏导数,在有界闭区域D上连续，则有,其中 是围成闭区域D的边界封闭曲线，,取正向,三、格林公式,注:对于不是封闭的曲线可以加些简单的辅助曲线使其构成封闭曲线.,格林公式,四、曲线积分与路径无关的条件,定理 若函数 , 以及,在单连通区域G连续，下列四个断语是等价的：,与路线C无关，,1.曲线积分,即只与始点A与终点B有关；,2.在G中存在一个函数 ,使,4.对G内的任意光滑闭曲线,3.,定理 若在单连通区域G内函数,是 的原函数，而,与 是G内任意两点，则,4.,其中C,为沿曲线 从(-1,1)到(1,1),其中C为,域,的正方向的围线,5.,6,7,计算,的上半圆周,到点,定理 若曲面块S:,是光滑或者逐片光滑的，其中D是有,其中,界闭区域。函数 在曲面S连续，则函数,在S的第一型曲面积分存在，且,五、第一型曲面积分的计算法,则,按照曲面的不同情况分为以下三种：,(1).,其它情形曲面积分的计算法,设S在 面的投影区域为 ,(3).,(2).,设S在 面的投影区域为 ,则,设 S 在 面的投影区域为 ,则,计算,其中S为平面,被柱面,所截得的部分.,8.计算曲面积分 其中S是柱面,被平面 所截取的部分。,其中S是上半球面,10.,定理 若有光滑曲面S:,其中D是有界闭区域。函数 在曲面S,连续，则函数 在S第二型曲面积分,其中符号“ ”由曲面s的正侧外法线与z轴,正向的夹角余弦的符号决定。,六.第二型曲面积分的计算方法,存在，且,定理 设 是 中的双侧闭曲面S所围成的,型（同时既是 又是 型）有界闭体,若三元函数 及其偏,导数在包含 的区域上连续，则,其中曲面S的外侧为正,奥-高公式,七、奥-高公式,外侧,定理 设S是光滑或分片光滑的有向有界曲面，,S的边界C是光滑或逐段光滑的有向闭曲线C,的正向与S的正侧符合右侧法则若三元函数,及其偏导数在包含曲,面S的空间区域内连续，则,斯托克斯公式,八斯托克斯公式,另一种形式,上述形式便于记忆.,斯托克斯公式可写成,定理 若三元函数,及其偏导数在单连通体V连续，则下列四个,断语是等价的：,）曲线积分,与路径C无关，即
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