《特征值与特征向量》PPT课件.ppt

8.4 特征值与特征向量,一. 引入特征值、特征向量概念 二. 特征值、特征向量概念 三. 特征多项式的性质,一. 特征值、特征向量概念引入,问题： 对任意的AL(V), 如何找到一个基，使A 在该基下的矩阵最简单？ 定义4 A L(V), 若存在A P，存在(0)V，使得 A =0 （1），则称0为A 的特征值，为A 的属于0的特征向量. 几何意义：V3中， A 与 在同一直线上，其长度相差|0|倍. 特征向量不为特征值所唯一确定，而特征值为特征向量所唯一确定（即特征向量只能属于一个特征值）.,证明：1）A 0 对任意的kP, k0, A (k) kA k(0)0(k) . 即: 凡k都是A 的属于0的特征向量.,2) 设是A 的属于特征值1 ,2 特征向量 A = 1= 2 (1 2)= o 因0, 故 1 2 = o 1 =2 . ,V=V | A=是V的子空间，称为A 的属于特征值的特征子空间，由A 的属于特征值的特征向量与零向量(非的特征向量)组成.,证明：对任意的 kP, ,V ,A () = A ()A () = = () V A (k) = kA = k () =(k) kV 故V是V 的子空间. 例 取数乘变换K L(V)，对任意的( 0)V, kP, K () = k, 即V中非零向量均为K 的属于特征值 k 的特征向量，特征子空间即为V. 特别当 k = 1时, V中非零向量均为恒等变换 E 的属于特征值的特征向量； 当k = 0 时,V中非零向量均为零变换 O 的属于特征值0 的特征向量. 它们的特征子空间均为V.,二. 特征值、特征向量的计算,1. 命题 : 设A (L(V)在基1,2, ,n 下的矩阵A= (aij)nn , 则 = x11+ x22 + + xnn 是A 的属于特征值的特征向量的充要条件是,该命题说明，是否为A 的特征值，(0) 是否为A 的属于的特征向量，关键在于 |EA| 是否等于0，故有必要研究多项式 |EA| 的特性 促使引入一下概念：,2. 定义5 APnn, 是文字，矩阵 |EA| 的行列式 称为矩阵A的特征多项式，记为 fA() . fA() = |EA| Px, fA() = n . 为A 的特征值的充要条件是fA() = 0 .,对命题是A 的特征值的充要条件是 fA() = 0 的证明分析:,以上讨论说明，线性变换A 的特征值均为 fA ()的 根，设0是的特征值，即 fA (0) = |0 EA| = 0 如上齐次线性方程组 (0EA)X=0 的非零解均为A 的 属于特征值0 的特征向量 给出如下课题的思路：,3. 求特征值，特征向量的方法 （对给定的A ）,该实例说明：导数为0的多项式只能是零或非零常数， 其中非零常数均为求导线性变换D 的属于特征值0的 特征向量.,例4 S ：V2V2 , S () =/ (按逆时针方向旋转 度得/ ).(即二维平面上的旋转变换, 见P274例1).,作业：P324. 习题19. 1)；3)；5)；7).,三 特征多项式 fA() (APnn, P为复数域)的性质,设 f A()在复数域C上有n个根1, 2, , n（重根按 重数计），a1 + a2 + +an = Tr(A), 称为A的迹，则 （1） 1+2+ +n= Tr(A)； （2） 12n = | A | .,证明: 据根与系数的关系及性质1 1+2+ +n = a11+ a22 + + ann = Tr(A) 成立. 12n = (1)n ()n | A | = | A | 成立. ,3. (定理6) n阶矩阵AB，则存在可逆矩阵XPnn, 使得 fA () = fB () .,证明： AB 存在可逆矩阵XPnn, 使得 B = X1AX fB() = |EB| = |EX1 AX| = | X1(eA)X | = | X1 |EA| X | = | X1 | X |EA| = | X1 X | |EA| = |EA| = fA () . ,3.说明，相似矩阵有相同的特征多项式，故线性变换A 的矩阵A 的特征多项式与基的选取无关，它反映了线性变换的本质属性，故 可将矩阵A的特征多项称为线性变换A 的特征多项式，记为 fA ().,AB，则 |A| = |B| .,证明 : AB fA () = fB () 两多项式的常数 项相等，即 (1)n | A | = (1)n | B | | A | = | B |. ,定理 6 的逆一般不成立，即 fA() = fB() 一般推不出AB| .,但 A，B不相似. 因为与A = E 相似的矩阵只能是 A. ( 设 X1 AX = B B = X1 AX = X1 X = E = A ),4. 哈密顿 凯莱 ( Hamilton Caylay ) 定理 : 设 fA () 是数域 P 上n阶矩阵A的特征多项式，则 fA (A) = An (a11 a 22 ann )A + + (1)n| A | E = 0 .,Caylay (1821- 1895) 英国数学家，天文 学家. 矩阵论的创立 人。1845年发表“线 性变换理论”，1858 年给出哈密尔顿-凯莱定理. 他也 是n维几何，高位抽象空间的创 立人. 在群论和天文学方面也有 贡献. 1895年卒于英国剑桥.,Hamilton (1805 - 1865) 英国数学家，物理学 家. 对分析力学做出重 要贡献. 在数学方面的 主要贡献是发现“四元 数”，其主要著作为“四元数讲义”. 17岁发现“光束理论”。矩阵论的 提出，源于四元数的研究,故一般 称该定理为哈密顿 凯莱定理.,该定理的证明从略. 其意义为: 当矩阵A的特征多 项式 fA ()中的文字 取矩阵数域P上的n阶矩阵X ，从而构成矩阵多