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文档简介

第三章 中值定理与导数的应用,本章导数的应用包括：,2、利用导数讨论函数的性态（3.33.5节）,3、导数在经济中的应用（3.6节）,1、利用导数求函数的极限 (3.2节),中值定理,第三章 中值定理与导数的应用,中值定理是微分学的理论基础,它把函数的改变量同函数的导数联系起来,使得我们能够利用导数来研究函数及其图形的性态。,本章我们将学习：, 中值定理, 洛必达法则, 函数单调性、极值与最值的计算, 曲线凹凸的判定, 函数图形的作法, 经济应用,3.1 中值定理,我们先通过几何图形直观理解罗尔定理:,3.1.1 罗尔(Rolle)定理,（1）连续；,（2）可导；,（3）端点处函数值相等。,如何证明？,一、定理3.3.1(罗尔定理),函数 f(x) 在最大值点或最小值点处一阶导数为零。,证明关键点,证,证明关键点：f(x) 在最大值点或最小值点处一阶导数为零。,故M和m不可能同时,在区间端点a,b处取到，,由极限的不等式性质知:,证毕,分母0,分子0,分式0,注：(1) 罗尔定理三个条件是充分条件，只要三个条件 满足，就保证结论成立，若定理中的三个条件缺少其 中任何一个，定理结论不一定成立.如下图:,(2),解：,注意与零点定理应用的区别,三、应用,二、几何意义,解：,例3 设 为n次多项式， 没有实根，试证明 最多,只有一个实根.,证 设 至少有两个不等的实根，设为 ，不妨设,因 在 上连续，,在 内可导，,且,由罗尔定理知，至少存在一点,使得,方程 的根，,即 是,与题设矛盾.,证：,罗尔(1652-1719)是法国数学家.1652年4月21日生于昂贝尔特,1719年11月8日卒于巴黎. 罗尔在数学上的成就主要是在代数方面,专长于丢番图方程的研究. 罗尔于1691年在题为任意次方程的一个解法的证明的论文中指出了：在多项式方程 的两个相邻的实根之间，方程,至少有一个根。但罗尔并没有使用导数的概念和符号，后一个多项式实际上是前一个多项式的导数，罗尔只叙述了这个结论，而没有给出证明。这个定理本来和微分学无关，因为当时罗尔是微积分的怀疑者和极力反对者，他拒绝使用微积分，而宁肯使用繁难的代数方法。但在一百多年之后，即1846年，尤斯托.伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数,尤斯托.伯拉维提斯还把此定理命名为罗尔定理.,根据待证结论构造辅助函数,证,例如：f (x)在以a,b为端点的区间上应用拉格朗日中
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