几何模型(小学奥数必会6大模型).pdf

模型一：等高模型模型一：等高模型 定义定义：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。如果固定三角形的 底（或高）不变，另一者变大（小）n 倍，三角形的面积也就变大（小）n 倍。 六种基本类型：六种基本类型： 两个三角形高相等，面积比等于底之比；两个三角形底相等，面积比等于高之比 公式：公式： DC BD S S ADC ABD ； FC ED S S ABC ABD 其中，BC=EF 且两三角形的高相等 公式：公式：1 DEF ABC S S 夹在一组平行线之间的等积变形 公式：公式：1 ABD ABC BCD ACD S S S S 等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方形和正方形可看作特殊的平行四边形） 公式：公式：1 CDEF ABCD S S 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 公式：公式： ABCDEDC SS 2 1 两个平行四边形高相等，面积比等于他们底的比 公式：公式： EF AB S S DEFG ABCD 例题：例题：长方形 ABCD 的面积为 36cm2，E、F、G 为各边中点，H 为 AD 边上任 意一点，问阴影部分面积是多少？ 5 .135 . 41818 5 . 436 8 1 2 1 1836 2 1 2 1 36 2 1 2 1 2 1 BEF BEFBEFDGHBFHBEH CDHBCHABHDGHBFHBEH CDHBCHABHABCD CDHDGHBCHBFHABHBEH CGHDGHCFHBFH BEHAEH SS BFBESSSSSS SSSSSS SSSS SSSSSS SSSS SS EBAE HCBH 阴影 阴影 ， ， ，同理， 、如图，连接 模型二：相似模型模型二：相似模型 定义定义： 形状相同， 大小不相同的两个三角形， 一切对应线段的长度成比例的模型。 两种基本类型：两种基本类型： （一）金字塔模型（二）沙漏模型 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比； 公式：公式： AG AF BC DE AC AE AB AD 相似三角形的面积比等于他们相似比的平方； 公式：公式： 22 :AGAFSS ABCADE 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。 ） 公式：公式：当 DE 为中点时，BCDE 2 1 例题：例题：如图，DE 平行 BC，且 AD=2，AB=5，AE=4，求 AC 的长. 由金字塔模型得5:2:BCDEACAEABAD，所以10524AC 模型模型三三：鸟头模型（共角模型）：鸟头模型（共角模型） 定义：定义：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 四种基本类型：四种基本类型： 公式：公式： ACAB AEAD ABCS ADES 例题例题： 如图如图， 三角三角形形ABABC C的面积的面积是是1 1， 延延长长B BA A到到D,D,使使DB=AB;DB=AB;延延长长C CA A到到E,E,使使EA=2AC;EA=2AC; 延长延长 CBCB 至至 F F，使，使 FB=3BCFB=3BC，求三角形，求三角形 DEFDEF 的面积？的面积？ 解：解： 716122 632 180 14212 1243 221 3CACE 3BCCF 2ACAE ABCSDBFSCEFSADESDEFS BFBD BCBA ABCS DBFS DBFABCDBFSABCS ADESCEFSS CBCA CFCE ABCS CEFS ACAB AEAD ABCS ADES ADAB FCEBCACEFSABCS EADBACADESABCS 与 与 与 总 模型模型四四：风筝模型：风筝模型 定义定义：两个共底的三角形，其面积之比等于其顶点到顶点连线与底边所在直 线交点的线段长度之比。 两种基本类型两种基本类型： （同侧风筝模型、异侧风筝模型）（同侧风筝模型、异侧风筝模型） 公式：同侧风筝模型：公式：同侧风筝模型： ADCS ODCS AB OB 异侧风筝模型：异侧风筝模型： BCDS ABCS OD AO 例题：例题：如图，正方形 ABCD 的面积为 1，E、F 分别是 BC 和 DC 的中点，DE 与 BF 相交于 M 点，DE 与 AF 相交于 N 点，那么阴影三角形 MFN 的面积是多少？ 图图 1 1图图 2 2 30 1 2 1 15 1 FAD 15 1 MFN 15 1 35 11 FDFA FNFM FAD MFN 1 2 8 1 4 1 BEF BED MF DM 1 4 8 1 2 1 BEF BEA NF AN 4 1 1 2 1 2 1 ED BC 2 1 BED 2 1 2 1 BEA 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 BEF 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 BEF 2 1 11 SS S S S S S S SABCDSS BFECSBFECS EFBDEFAE ADCDBCABABCDS 通过鸟头模型得到： ）（如图、连接）（如图、连接 模型模型五五：蝴蝶模型：蝴蝶模型 定义：定义：1、任意四边形蝴蝶模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题 的一个途径。通过构造模型，可以了解四边形的内部的四个三角形的面积关 系。 2、梯形的蝴蝶模型研究的是被梯形对角线分成的四块三角形面积之 间的关系以及三角形面积比和线段比之间的相互转化。 公式：任意四边形：公式：任意四边形： 24313241 :SSSSSSSS 梯形：梯形： 。长度之比的位置的转移 线段两个模型的主要作用是模型，金字塔模型。这其他平行线模型：沙漏 思想。例模型面积问题的重要面积问题，以及其他比这是解决梯形蝴蝶模型 分的面积份数，数，进而表示出所有部出合适三角形的面积份设份数：按比例条件设 小：中：大：总 小：大 中：大小：中 的结论：梯形蝴蝶模型关于面积 找到上底与下底之比为找平行线点是：梯形蝴蝶模型题目中重 右”。左下，或“上翅磅，面积乘积相等”型结论可记为：“两对任意四边形中的蝴蝶模 总结： ）之比为如下结论（上底与下底反复运用等高模型，有 . 5 . 4 : : b:a 3. b:a 2 1. 2 . 1 :. 3 :. 2 . 1 : 2 22 22 22 31 34324121 42 bababa ba baSS baBCADODOBOCOASSSSSSSS SS ba 例题：例题：如图 ABCD 和 CEGF 是两个正方形，AG 和 CF 相交于 H，已知 CH 等于 CF 的 三分之一，三角形 CHG 的面积等于 6 平方厘米，求五边形 ABGEF 的面积。 49.54.536AGEF 5 . 4)36(3 2 1 2 1 3cmBC 21HF:CHFG:AC 6cm36CGEF 18CGEF 2 1 18612 126 1 2 1 2 36 2 1 2 1 6 21: 3 1 , 22 2 2 22 2 S DFADADFS cmS cmSCFGSEFGSCFGS cmGFHSGHFScmCHGSAHCS cmCHGSAHFS HFCHCFCH ACEGFGACFGAC ：由 到如下结论由梯形蝴蝶模型可以得 ：由已知得： 是梯形，四边形平行于则、如图，连接 如图，梯形 ABCD 中，AD 与 BC 平行，AD=BE=EC,O 是 AC 与 BD 的交点，P 点是 AE 与 BD 的交点。若已知三角形 AOD 的面积为 10，那么阴影部分（即四边形 OPEC） 的面积是多少？ 25530 541: 21:21: / 21:, 21: 60230 2021: 2 1 / APOAECPOEC AOPOCDAOP ADCADECADC OCDOCDAOD SSS SSS AEPCDAPODAO CDAE ODAOADEC CP ODAO SSS SSS BCADBCAD ECBEADADEC ： 中点为： 由蝴蝶模型可得 ：为平行四边形四边形 连接 ： ： 由蝴蝶模型可得 为平行四边形，四边形 模型模型六六：燕尾模型：燕尾模型 定义：定义：燕尾定理：在三角形 ABC 中，AD，BE，CF 相交于同一点 O，有 SAOBSAOC=BDCDSAOBSCOB=AECESBOCSAOC=BFAF 因 此图类似燕尾而得名。 公式：公式： DBDADGBSDGASCGBSCGAS FCFAFGCSFGASBGCSBGAS ECEBEGCSEGBSAGCSAGBS : : : 例题：例题：如图，在三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 AC 的三等分点，AE=2EC. 三角形 ABC 的面积是 60 平方厘米，那