川大电路理论第二章.ppt

,(1) 数学准备在高阶动态电路和系统分析中，为了运算和书写的方便，我们引入了微分算符。,5.2 一般电路系统I/O微分 方程的建立和求解,5.2.1 电路系统I/O微分方程的建立,定义,微分算符,积分算符,性质： 等式两边的算符不能直接相消； 即：若 Pf1(t)=Pf2(t), 则 f1(t)=f2(t)+A 即 f1(t) f2(t) 这是因为同时积分要多一个常数。 积分算子P1左乘一个P时，分子分母中的P可以相消， 而积分算子P1右乘一个P时，分子分母中的P不可以相消; 即：PP11 而 P1 P1,将上述性质推广，可以得到如下结论： 如果N(P)是算符P的多项式，则,并且,(2) 广义阻抗,(3) 建立电路微分方程的方法 理论依据： 电路与系统整体应满足物理规律：KCL,KVL 电路与系统局部应满足物理规律：VCR 方法步骤： 方法1： 引入广义阻抗于电路 列节点方程，网孔方程 用克莱姆法则求解,将微积分方程组化为一元高阶微分 方程,方法2： 依据互联规律列KCL,KVL方程 依据元件规律列VCR 将代入得一组微积分方程组 引入微分算符，进行化简运算得一元高阶微分方程组。,例1：已知双耦合电路如图，试建立响应u2(t)的I/O微分方程,解：1）定义广义阻抗 2）用视察法列写节点方程：,un1(t) un2(t),将方程两边同时微分一次（即同左乘P），即得：,3）将微分方程组化为一元高阶微分方程（用克莱姆法则）,即：,注意：双耦合电路本有5个动态元件，但微分方程为4阶，是因为有一个全电容回路，即独立动态元件数只有4个。所以为4阶。,强调： 1）虽然复阻抗Z(s)与算符广义阻抗Z(P)形式相同，但物理本质不同，Z(s)有明确的物理意义，而Z(P)只是一种数学符号。 2）变量s是复频率s=+j，物理意义明确，在运算中可按代数方法运算。而P是一种数学符号，无物理意义，也不是变量，在运算中必须遵守其运算规则。,例2：已知双耦合电路如图，试建立输出响应i2(t)的微分方程,解 选用网孔电流i1(t)、i2(t)为变量，作出其等效电路图如上图 所示。据KCL，KVL和VCR利用网孔法写出电路方程组：,对(1)、(2)式两边微分一次得,引入微分算子，对联立方程消元得到一元高阶方程：,即,使用克莱姆法则，解此方程组得,(4) LTI电路系统的I/O微分方程 通过上面例子，我们了解了电路系统微分方程建立的方法，同时我们也看到了电路系统微分方程所表征的电路系统激励与响应之间的关系，即表明了电路系统输入输出的函数关系。不涉及电路系统内部，因此可以用下面框图来表示。,这就是所谓黑箱模型。至于系统黑箱内可以是电网络系统，也可以是其它物理系统、生态系统或经济系统，等等。,定义：任意一个LTI单I/O电路系统，可以用下列表示其输入f(t)与输出y(t)之间关系的一元n阶微分方程来描述：,这种描述方法称为系统时域的输入输出描述法，并用如下定义来表述,或者表示为微分算符形式,式中，a0、a1、an-1、an与b0、b1、bm-1、bm为常数，它们取决于元件的数值和系统的内部结构，而与外加激励无关。,对于一切用物理可实现的系统，输入与输出的导数最高阶次n和m都必须满足不等式：nm。 数量n称为系统的阶，它等于系统中独立动态元件的个数或独立初始条件的个数。,5.2.2 初始条件的确定,通常电路与系统给定的已知条件，是换路前(t=0-)瞬间的状态即起始状态，而我们要求的初始条件是指换路后(t=0+)瞬间的状态(初始状态)，即y(0+)、y(1)(0+) y(n-1)(0+)，只有确定了它们之后，才能求解微分方程。,(1) 没有强迫跃变时电路初始条件的确定(满足换路定律情况)：,如果系统中电容电流和电感电压是有界的，那么电容端电压和电感电流以及电荷和磁链都是连续的。它们不能跃变，即它们遵守换路定律：,方法步骤： 求t0-时的iL(0-)和uC(0-) 由换路定律求iL(0+)和uC(0+) 由t=0+电路，求y(0+) 求得微分初始条件,例5.8 已知电路如图所示，开关K闭合前电路已处于稳态，当t=0时，开关K闭合，求初始条件：,解：1) 作出t=0-时等效电路，求出uC(0-) 和iL(0-) ：,2) 作出t=0+时等效电路，求出iL(0+)和uC(0+)。,因为电路中无强迫跃变，可以由换路定律得,所以t=0+时等效电路如图，因此,3) 根据电路方程和t=0+时电路初始状态，确定微分初始条件,因为,所以,即,微分得,(2) 有强迫跃变时电路初始条件的确定(不满足换路定律情况): 当电路中有冲击电流（或阶跃电压）强迫作用于电容，或冲击电压（或阶跃电流）强迫作用于电感，这时iC，uL ，即电路发生了强迫跃变，换路定律不成立，上述方法失效。通常有两种情况： . 电路形式有强迫跳变可能性； . 激励信号为奇异信号时初始条件确定。,电路有强迫跃变的特点： 存在全部由纯电容组成的闭合回路； 存在由纯电容和理想电压源组成的闭合回路；,. 电路形式有强迫跳变可能性情形,3) 存在有全部由含电感的支路组成的节点(割集)； 4) 存在含电感的支路和理想电流源组成的节点(割集) 。,方法步骤： . 对含电容节点列电荷守恒方程 (含电感回路列磁链守恒方 程) 。,. 将qCuC (=LiL)代入方程。 . 根据KVL列回路方程(根据KCL列节点方程) 。 . 对和联解，即求得电路初始条件。,例 已知电路如图所示，在开关K闭合前，各电容上的初始电荷为零。当t=0时，开关K闭合，求t=0+时各电容上的电压。,解 设t 0时，C1，C2，C3上的电荷分别为q1，q2，q3，电压分别为U1，U2，U3。,列出电荷守恒方程式 在t=0-时，与A点相连的各电容极板上的总电荷为0，开关闭合后， 满足电荷守恒定律，所以： q(0+)= q(0-)=0,2)因为,所以,3) 根据基尔霍夫定律对两个回路列KVL方程,4) 联解(a)、(b)、(c)式得,例 已知电路如图所示，在开关闭合前各电感中没有初始能量，当t=0时，开关闭合，求各电感电流的初始值。,解 1) 列磁链守恒定律方程,因为各电感都没有初始能量，故在t=0-时，由L1，L2，R组成的闭合回路所包含的磁链应等于0，即(0-)=0，根据磁链守恒定律，t=0+时闭合回路的总磁链则应为0，即：,又因为,所以,3) 联立(a)，(b)求解即得：,2) 在t=0+时列KCL方程,例 已知补偿分压器电路如图所示，在开关闭合前电容储能为零。 1) 运用三要素法求开关闭合后的电压u(t)； 2) 若要电路过渡过程为0，电路应满足什么条件（即求全补偿条件）。,解：1) 开关闭合后形成全电容回路，因此电路中独立的相当与只有一个独立的电容，所以可以采用三要素分析法求u(t):,.求u(0+): .列电荷守恒方程：,又因为电路t=0-无储能,.将q=CuC代入上式得：,.列回路KVL方程：,.联解(1)、(2)两式得：,.求u()： 因为稳态时，C开路，由分压公式可得：,.求 令独立源Us=0，则可知C1和C2并联，R1和R2并联,. 求u(t) 由三要素法公式可得：,(2) 求全补偿条件：,令,则电路过渡过程为0,采用对网络方程两边从0-到0+进行积分来求得t=0+时的初始条件因为对于0-0+无穷小区间，若被积函数不是无穷大，则在这无穷小区间内积分为0。,.电路形式无强迫跳变可能性，激励信号为奇异信号时初始 条件确定,例 已知如图电路系统起始无储能，即,解 (1)建立电路微分方程,试求,(2) 求初始条件,a. 求i2(0+)：对方程(1)两端进行从00两次积分,因为对于00无穷小区间，若被积函数不是无穷大，则在这无穷小区间内积分为0。,0,0,所以,则,b.求,对(1)式两边进行一次00的积分得,0,又,综上所述，这种方法的要领和步骤是：,当激励为奇异信号时，先建立电路方程； 对方程两边从00进行适当的积分： 进行与微分方程阶次相同次的积分，求y(0+)-y(0-),降一阶的积分，求,5.2.3 电路与系统微分方程的求解,(1) 求解方法： 方法1：经典法,自由响应 强迫响应,. 求齐次方程的齐次解(自由响应),求特征方程的特征根,查下表得齐次解(系数Ai未定),表5.1 齐次解表达式,. 求齐次方程的特解(强迫响应),对于一般激励信号，特解的求取是困难的，但对于一些典型激励信号，特解的函数形式与激励形式有关。将激励函数代入微分方程的右端，代入后，右端的函数式称为“自由项”。通常，由观察自由项试选特解函数式，再代入方程求得特解函数式。,自由项,部分特解函数式列于下表,表5.2 特解表达式,注：（1）表中B，C是待定系数。 （2）若f(t)由几种激励函数组合，则特解也为其相应的组合。,（3）若表中所列特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项，即t倍乘表中特解；若这种重复形式有k次（特征根为k重 根），则依次倍乘t2，tn诸项。例如 ，而齐次解也是 ，则特解为 ；若是k重根，则特解为,将yp(t)代入非齐次方程，通过比较系数法，求得其系数。,. 由已知起始条件，求得初始条件； . 由完全解和初始条件定出通解系数Ai，即得全解y(t),方法2：叠加法,（零输入响应）（零状态响应）,. 由已知起始条件求得初始条件； . 求零输入响应,求特征方程的特征根,查表5.1 得yzp(t)(系数Ai未定),由初始条件确定系数Ai,. 求零状态响应yzs(t),解法同方法1，所以可求得yzs(t),. 叠加：,(2) 两种解法的区别 相同点 零输入响应和自由响应都具有相同的函数形式，都满足齐次微分方程。 零状态响应与强迫响应都仅仅与输入激励有关，与电路无关。 不同点 确定待定系数Ai的先后次序不一样 自由响应零输入响应零状态响应中的自由分量 强迫响应零状态响应中的强迫分量,本质区别： yzp(t)、yzs(t)满足叠加定理，着眼于因果关系。 yh(t)、yp(t)不满足叠加定理，着眼于动态关系。,例：已知电路如图，激励 求电路的中u2(t)的由响应，强迫响应。,解：建立电路方程：,求解： 用经典法求解 (1) 求齐次方程通解,特征方程为,所以通解为,(2) 求特解： 因为激励是正弦，所以,代入原方程通过比较系数求得B1、B2,(3) 求全解表达式：,(4) 求初始条件，定系数ki,由换路定律,因为流过R2得电流即为iC2，而,故方程的初始条件为：,根据全解表达式，则：,(5) 完全响应表达式：,例：给定电路微分方程为：,已知：,试求电路的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应。,解：将激励代入微分方程得：,当t0时，电路微分方程为：,方法1.经典法：y(t)=yh(t)+yp(t) (1) 求齐次方程通解：,(2) 求特解： 因为信号f(t)是在t0时输入的，特解只在t0时才成立，而这时(t)=0，激励只有-e-t，因为其指数-1与特征根相同，而特征根又是重根，所以特解应设为：,代入方程(2)：,即得：,(3) 求初始条件： 对方程(1)从00积分两次：,而因为 与通解的形式一样，它必须满足齐次方程，代入方程后，所得的结果必然为0，故特解为：,对方程(1)从00积分