结构力学练习题.pdf

习题 习题 1 写出下列情况的边界条件： 2 设附图中的短柱体处于平面应力状态，试证在牛角尖端 C 处的应力等于零。 3 单位厚度薄板受力如下图所示，给定应力函数 2 2 1 pyxy f ，求 （1）应力分量 xyyx ,； （2）应变分量 xyyx ,； （3）位移分量。 vu, 1 4 一正方形平面单元，四个角点的坐标分别为0 , 0A，0 , 1B， 1 , 1C，1 , 0D，设点和固定，即 ，已知单元内应变 AD 0 DDAA vuvu 4 4 4 1033 10221 1021 x yx yx xy y x 求点B和C的位移，。 B u B v C u C v 5 如下图所示三角形悬臂梁，只受重力作用，而梁的密度为 p，试用纯三次式的应力函数 ，求解系数 A, B, C, D 和应力分量 3223 DyCxyyBxAx f xyyx ,。 6 一长为 l，高为 h，宽为 b 的悬臂梁，在自由端受集中力 F 的作用，取坐标系如图所示，现给出某组应 力分布 O F l h b 0,2 2 xzyzzyxyx yBAyxlA 现要求检查平衡方程（无体力） ，应变协调方程，上下面应力边界条件，及两端的圣维南边界条件，试问 2 什么情况下有可能都满足。 7 一长为 a，宽为 b，厚为 1 的板，放在一刚性光滑的地面上，取坐标系如图所示，原点取 在板的中面，板受 x 方向均布力 q 的作用，已知位移场为 u=A1 x+A2, v=B1 y+B2, w=C1 z+C2 的形式，假设弹性模量为 E，泊松比为 ，试求待定系数及 u，v，w 的表达式。 （20 分） b O 8 悬臂梁沿下边受均布剪力，而上边和lxyc0, 0lx 一端不受力，可用应力函数 2 32 2 32 44444 1 c ly c ly c xy c xy xys f 得出解答，并说明此解答在哪方面不完善？ 9 如 下 图 所 示 简 支 梁 ， 只 受 重 力 作 用 ， 而 梁 的 密 度 为， 试 证 明 应 力 函 数 满足双调和方程，并求解系数 A, B, C, D 和应力分量yDxCyByyAx f 23532 xyyx ,。 10 图中的悬臂梁受均布载荷作用，求其最大应力 （1）用应力函数 x y yxxyx q f arctan 4 4 12 222 （2）用初等理论求，并比较以上结果。 3 11 已知下列位移，试求指定点的应变状态。已知下列位移，试求指定点的应变状态。 （1） 222 104,10203 xyvxu在在(0,2)点处。点处。 （2） 22222 1023,108,10156 xyzwzyvxu在在(1,3,4)点处。点处。 12 设有图示悬臂梁右端受设有图示悬臂梁右端受 F 作用，如取挠曲线为作用，如取挠曲线为，试求试求 a,b 值。值。 32 bxaxw 13 对于图示简支梁，试检验下列挠度表达式是否都是几何可能位移？对于图示简支梁，试检验下列挠度表达式是否都是几何可能位移？ 1 21 sin2 ;1 n n n n l xn aw xaxaaxlxw 14 如图所示简支梁，先施加载荷，再承受作用，试写出图中两个集中外力所做的实功与虚功。 1 P 2 P 4 15 试用最小势能原理分析图示试用最小势能原理分析图示(a)线弹性刚架内力，并用最小余能原理分析图示线弹性刚架内力，并用最小余能原理分析图示(b)线弹性刚架内力。线弹性刚架内力。 16 图示单位厚度平面应力悬臂梁，端部受集中力作用，已知应力分布为 P 3 2 12 1 , 22 0 hI y h I P I Pxy xy y x 试利用外力功等与内力功关系，即 2 2 0 h h l xyxyyyxx dxdyP 求自由端挠度。 17 两端固支梁，在离左端距离处，作用集中力，这时左支承的反力aPR和反力矩M都作为未知系数， 现用最小余能原理求出反力R和反力矩M。 5 18 试用最小余能原理求图示等截面细长杆件自由端 C 的垂直位移。均为已知。 c fEIPRa及, 19 试分别采用如下位移函数：；并根据最小势能原理分析图示线弹性刚架内力（仅考虑弯 曲变形情况） 。 32 bxaxw 20 图示双跨连续梁，抗弯刚度为EI，受均布载荷作用。试用最小余能原理求中间简支处的弯矩。 q 21 试写出以下结构的应变能和余应变能试写出以下结构的应变能和余应变能 （1）等截面均匀受力的轴力杆，设杆横截面积为）等截面均匀受力的轴力杆，设杆横截面积为 A，杆长，杆长 L，弹性模量，弹性模量 E。 (a)用杆变形表示杆应变能用杆变形表示杆应变能 L (b)用轴向力用轴向力 F 表示杆余应变能表示杆余应变能 （2）弯曲梁（不计剪力变形）弯曲梁（不计剪力变形） 6 设梁截面的弯曲惯性矩设梁截面的弯曲惯性矩 J，梁长，梁长 L，弯曲变形挠度，弯曲变形挠度 w。 (a)用用 w 表示梁的应变能表示梁的应变能 (b)用用 M 表示梁的余应变能表示梁的余应变能 22 使用虚功原理求下图所示梁的挠度函数使用虚功原理求下图所示梁的挠度函数 w，设，设 l x aw sin 1 ，抗弯刚度为，抗弯刚度为 EI 23 已知下图所示的悬臂梁，其跨度为已知下图所示的悬臂梁，其跨度为 L，抗弯刚度为，抗弯刚度为 EI，在自由端受载荷，在自由端受载荷 F 作用，试用最小势能原理 求最大挠度值。 作用，试用最小势能原理 求最大挠度值。 24 一悬臂梁，受均载q作用，取挠度函数，试用最小势能原理求。 （注：变形势能公 式 32 bxaxw max w l dx dx wdEI E 0 2 2 2 2 ） 25 一端固定，一端简支梁受均载q的作用，选用梁的变形 3 cos1cos1 22 xx wa ll 试用最小势能原理求待定系数a，以及中点（2/ lx ）处的w值。 26 如图4所示，两端固定的梁，受均载q的作用，试用最小余能原理求未知反力R和反力 矩M。 7 2727 有一杆，长为，剖面面积为 A，材料的弹性模量为 E，热膨张系数为L，两端固定在刚性基础上， 如图 A.1 所示。设在杆固定于基础之后，受到均匀分布的温度 T 的作用。试应用最小势能原理决定杆内的 应力分布。 28 28 与习题 l-l 相同的杆，但不是受温度作用，而是受沿杆的长度均匀分布的轴向载荷的作用，如图 A.2 所示。分布载荷每单位长度的集度为 q(单位为 N)。试用最小余能原理决定杆内的应力分布。 2929 图 A.3 表示有一绝对刚硬的梁，一端自由，另一端铰支在刚硬的基础上。该粱在跨度中间用 3 根只 受轴力的杆与基础相连。杆的剖面面积都是 A，材料的弹性模量都是 E，长度都是 L。试用最小势能原理决 定粱在外力 P 的作用下，3 根弹性杆中的内力以及梁的位移。 8 30 30 杆一端与剐硬基础相连，另一端互相连接在一起，如图 A.4 所示。杆的剖面面积均为 A材料弹性 模量均为 E，几何尺寸如图所示。试用最小势能原理和虚功原理，分别确定各杆的内力(轴力)和加载节点 的位移。 3131 如图表示一段两端自由的梁，受到力矩和的作用，不平衡的力矩由一对剪力所平衡。用最小势能原 理计算 M1作用端的转角 1 和 M2作用端的转角 2 。计算中考虑剪切力的影响。已知：L 为梁的跨长；EJ 为 弯曲刚度，沿梁长度为常值；为剪切参数；As为等效的剪切横剖面积；G 为剪切模量。 图中 y 轴的原点放在梁剖面的中性轴上，x 轴的原点放在粱左边剖面中性轴与 y 轴的交点上。 2 L s /12GAEJ 3232 试述实功与虚功之区别。 33 如图所示简支梁上外力在位移上所作之功为实功还是虚功？ 1 P 12 w 3434 受分布载荷作用之简支梁如下图所示，试证明其虚功方程为 ll l kdxMlMMwdxq 00 0 0 9 3535 受分布载荷作用之悬臂梁如下图所示，试证明其虚功方程为 l ll l kdxMlMlwQwdxq 00 3636 受分布载荷(包括切向载荷和法向载荷)和端部外力作用的圆弧形大曲率杆如图所示， 试推导其虚 功方程。 t q n q 3737 在一般情况下，圆环的径向位移可用下列三角级数来描述： 11 sincos n n n n nbnaw （1） 10 式中，为待定系数(广义位移)。试根据势能原理求图示圆环中 P 力作用点 C,D 的相对位移线 n a n b 3838 试用最小势能原理，求图示悬臂梁自由端得挠度和转角 （提示 由于梁上没有分布载荷，可设该梁之挠曲线为下列函数：） 01 2 2 3 3 axaxaxaw 3939 应用最小势能原理求图示桁架各杆的内力。 4040 采用最小势能原理，求图示等截面细长杆件自由端 C 的垂直位移。均为已知。 c fEIPRa及, 11 4141 采用最小势能原理，求图示细长曲杆自由端 B 的水平位移IRq B E,及，均为已知 解 我们知道，用最小势能原理求某一已知载荷作用方向上的相应位移时，可先写出系统的变形能 U，然 后由 i P U 得到欲求之位移 i 。现在遇到的新情况是：在 B 点欲求位移的方向上没有外力作用，对于这种 情况，我们可采用所谓附加力法来加以解决。即先在指定点并沿所求位移的方向上假想地加上一个力，如 力 P。 求弯矩及其偏导数时， 把它当作真实载荷一样处理， 在代入位移算式时再令 P=0， 如此求得的 i P U 即 为 B 点的水平位移。 B 42 试用最小余能原理求图示细长杆件端截面 C 的垂直位移EIPRafc及。,均为已知。 12 4343 采用最小势能原理， 求图示细长杆件端截面 C 的垂直位移EIPRaf ccc 及。及转角水平位移, 均为已知 4444 采用最小势能原理，求图示开口细链环 A，B 两端截面间的相对线位移 C 的垂直位移 EIPR B A B A 及。和相对角位移,均为已知 4545 采用最小势能原理，试求图示静不定细长杆件 C 端的支反力及 B 点处沿 P 力方向的位移。 4646 图示平均半径为 R 之等截面薄圆环，在某处被一径向截面切开，切缝中卡入一厚度为 e 的块体，使环 张开。采用最小余能原理，试求环中的最大弯矩。R、e 及 EI 均为已知。 13 4747 采用最小余能原理，求图示细链环载荷作用点 A，B 的相对线位移 B A ，P, R 及 EI 均为已知。 4848 图示结构是由半径为月的半圆形曲杆和两段长度各为l的直杆所组成，P 及 EI 为已知，采用最小势能 原理，试求两个载荷 P 作用之点 A、D 间的相对线位移 D A 3223 32464 6 RlRRll EI P D A 该位移使 A，D 两点之间的距离增大。 4949 采用最小势能原理，求图示平面细长曲杆自由端 B 在垂直方向上的位移均为已知。 EIPRfB及, EI PR fB 2 3 8 该位移方向向下。 5050 采用最小势能原理，求图示薄圆环 A、G 两截面的弯矩及 C、D 两点之间的相对线位移。 均为已知。 EIPRCDAB及, 14 A ，G 两截面的弯矩分别为 PRM A 2 4 和 PRMG 2 42 其中，使曲率增大，使曲率减小 A M G M C，D 两点之间的相对线位移为 EI PR D C 82 4 162 该位移使 C，D 两点相对移远。 5151 采用最小势能原理，求图示桁架 B 点的垂直位移点的水平位移和 BC 杆的转角CfB, C 及aP BC ,EA 均为已知。 15 5252 试述画出图示飞机机翼内力图和翼梁突缘、腹板和翼肋的应力图。 16 53 试求图示方板的最大挠度。 （ D aq w 0 max 00203. 0） 17 54 求 图 示 环 板 在 周 边 载 荷 作 用 下 的 最 大 挠 度 。 设3 . 0, 5 . 1aR， 板 厚。 （ 3 2 max 209. 0 E FR w） 5555 如图所示四周简支矩形板，板面受到垂直于板面的法向均布力 p0，板四周边界上受到均布弯矩 M0作 用，试求其挠度。 56 56 如图所示厚为 h，直径为 2a 四周简支圆板，板面受到垂直于板面的法向均布力 p 作用，且沿轴界作用 着径向弯矩，试求板的挠度曲面函数，最大挠度和边界上的转角。 18 57 设厚度为 ， 直径为的圆板， 板周界为固支， 板面受均布法向载荷作用， 此时圆板内力与挠度 的关系为 ta2 0 pw 单位宽度上径向弯矩 d dw d wd DM 2 2 单位宽度上周向弯矩 2 2 1 d wd d dw DM 单位宽度上法向力 d dw d wd d wd DF z 22 2 3 3 11 其 中为 板 弯 曲 刚 度D 112 3 Et D，为 材 料 泊 松 比 ，E为 弹 性 模 量 。 设 板 挠 度 解 为 lnln 2 32 2 10 4 CCCCw 64 0 D p 1,C ， （1）写出确定的边界条件； （2）求出 ； （3）求板挠度函数； （4）求出圆板中心挠度。 321 ,CC 0