西南交大概率论习题五答案.pdf

西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 1 概率论概率论与与数理统计数理统计 B 习题习题五五答案答案 A 第五章第五章 中心极限定理：中心极限定理： 1. 在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。 在1年内每人的死亡率为0.1%， 参加保险的人在 1 年的第一天交付保险费 10 元，死亡时家属可以从保险公司领取 2000 元。 试用中心极限定理求保险公司亏本的概率。 解： 设死亡人数为001. 0 ,3000,BXX， 保险公司亏本当且仅当3000102000X， 即15X。于是，由棣莫弗拉普拉斯定理，公司亏本的概率为 093. 61 73. 1 315 999. 03 3 1 15 1 15 x p pnp np pnp npX PXP 2. 一保险公司有 1 万个投保人，每个投保人的索赔金额的数学期望为 250 元，标准差 为 500，求索赔金额不超过 260 万元的概率。 解： 设第i个投保人的索赔金额为随机变量 i X(1,2,10000)i ，则 1210000 ,X XX 独立同分布，且()250 i E X， 2 ()500 i D X (1,2,10000)i ， 索赔总金额不超过 2600000 元可表示为事件 10000 1 2600000 i i X ，由中心极限定理有 10000 1 2600000 10000 250 2600000()(2)0.9772 10000500 i i PX 。 3. 某单位设置一电话总机，共有 200 个电话分机，若每个分机有 5%的时间要使用外线 通话， 假设每个分机是否使用外线通话是相互独立的， 问总机要有多少条外线才能保证每个 分机正常使用外线的概率不小于 90%？ 解：设X为 200 个电话分机中要使用外线通话的分机数，则(200,0.05)XB，如果 有外线n条，则0.9P Xn，由中心极限定理得： 2 0 00 . 0 51 0 ()()0 . 9 0 2 0 00 . 0 50 . 9 59 . 5 nn P Xn ， 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 2 得(1.28)0.90，所以 10 1.28 9.5 n ，解得13.945n，从而得14n 。 4. 设某电话总机要为 2000 个用户服务，在最忙时，平均每户有 3% 的时间占线，假设 各户是否打电话是相互独立的，试求若想以 99% 的可能性满足用户的要求，最少需要设多 少条线路？ 解：设电话交换台每小时呼叫次数为X，在每小时每户用线的概率0.03P ，由泊松 分布近似可取2000 0.0360np，因此，X服从参数60的泊松分布。 设要求的最小线路数为m：00.99PXm ()60E X，()60D X 由泊松分布的正态逼近可得： 2 60 602 0 60 60 1606060 0()()() 2606060 m t mm PXmedt 根据题意 60 ()0.99 60 m ，可得： 60 2.327 60 m ，从而602.237 7.74678.023m 所以最少需要 79 条线路。 5. 某供电站供应某地区 1000 户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电 量（单位：度）在0，20上均匀分布。问：供电站每天至少向该地区供应多少度电才能以 0.99 的概率保证该地区居民供应电量的需求？ 解：用 Xi表示居民每户每日的用电量，则 Xi的密度函数为： 从而： 令 X 表示该地区居民的用电量，则 所以： 于是若设供电站每天至少应供应 n 度电，则 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 3 6. 机器包装某种面包时，每袋面包的净重为随机变量，平均重量为 100 克，标准差为 10 克。一箱内装 200 袋面包，求一箱面包的净重大于 20500 克的概率。 解：设箱中第 i 袋面包的净重为 Xi，则 Xi独立同分布， 第六第六章章 样本及抽样分布样本及抽样分布： 7. 从正态总体25,4.2N中抽取容量为 n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2， 6.2）内的概率不小于 0.95，则样本容量 n 至少应该取多大？ 解：由于 所以： 即： 由分布函数的单调性有： 可见，样本容量至少取 25。 8. 设总体( ,4)XN，有样本 12 , n X XX，求当样本容量n为多大时， | 0.1PX0.95。 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 4 解：因为(0,1) X N n ，所以 0.10.1 | 0.1(0.05)( 0.05)2 (0.05) 1 222 X PXPnnn nnn ，得： 2 (0.05) 10.95n ，(0.05)0.975n，由(1.96)0.975，可得0.051.96n ， 于是得1536.6n ，即1537n 。 9. 设 521 ,XXX是独立且服从相同分布的随机变量， 且每一个5 , 2 , 1iXi都服从 0,1N。 （1）试给出常数c，使得 2 2 2 1 XXc服从 2 分布，并指出它的自由度； （2）试给 出常数d，使得 2 5 2 4 2 3 21 XXX XX d 服从 t 分布，并指出它的自由度。 解： （1） 易见， 2 2 2 1 XX即为二个独立的服从0,1N的随机变量平方和， 服从 2 2 分 布，即1c；自由度为 2。 （2）由于 12 0,2XXN，则 12 0,1 2 XX N ，又 3 22 5 2 4 2 3 XXX， 2 21 XX 与 2 5 2 4 2 3 XXX相互独立，则 3 3 2 2 5 2 4 2 3 21 t XXX XX ，即 3 2 6 2 5 2 4 2 3 21 t XXX XX ， 即 2 6 d，自由度为 3。 第七第七章章 点估计点估计： 10. 设 n XXX, 21 是取自总体 X 的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估 计与最大似然估计： （1）pnBX,，其中p未知，10 p；（2） EX ，其中未 知，0。 解： （1） pXE，故p的矩估计量有Xp 。 另，X 的分布律为1 , 0,1 1 xppxXP xx ，故似然函数为 n i i n i i Xn X pppL 1 1 1 对数似然函数为： 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 5 pXnpXpL n i i n i i 1lnlnln 11 令 0 1 ln 11 p Xn p X dp pLd n i i n i i ，解得p的最大似然估计量XX n p n i i 1 1 。 可以看出p的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 （2） 1 XE，令X 1 ，故的矩估计量 X 1 。 另，X 的密度函数为 xfX 0 x e 0 0 x x 故似然函数为 L 0 1 n i i X ne 其他 niXi, 2 , 1, 0 对数似然函数为 0 ln lnln 1 1 n i i n i i X n d Ld XnL 解得的最大似然估计量 X X n n i i 1 1 。 可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 11. 设 n XXX, 21 是取自总体 X 的一个样本，其中 X 服从参数为的泊松分布，其 中未知，0，求的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值： X 0 1 2 3 4 频数 17 20 10 2 1 求的矩估计值与最大似然估计值。 解： XE，故的矩估计量X 。 由样本观测值可算得 1 50 1423102201170 X， 另，X 的分布律为 , 2 , 1 , 0, ! x x exXP x 故似然函数为 niX XX X eL i n n i i n , 2 , 1, 2 , 1 , 0, ! !1 1 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 6 对数似然函数为 0 ln !lnlnln 1 11 n i i n i i n i i X n d Ld XXnL 解得的最大似然估计量X n X n i i 1 ，故的最大似然估计值1 。 12. 设 n XXX, 21 是取自总体 X 的一个样本，其中 X 服从区间, 0的均匀分布，其 中0未知，求的矩估计，且的矩估计是否是的无偏估计？ 解： 2 XE，令X 2 ，故的矩估计量X2 。 n i n i i n i i n XE n X n EXEXEE 1112 221 222 ， 故的矩估计量X2是的无偏估计。 13. 设 n XXX, 21 是取自总体 X 的一个样本，X 的密度函数为 xf 0 2 2 x 其他 x0 其中0未知，求的矩估计。 解： 3 22 02 dx x xXE，令X 3 2 ，故的矩估计量为X 2 3 。 14. 设 n XXX, 21 是取自总体 X 的一个样本，X 的密度函数为 xf 0 1 x 其他 10 x 其中0未知，求的矩估计和最大似然估计。 解： 2 1 1 1 0 dx xxXE，令X 2 1 ，故的矩估计量为 1 21 X X ， 另，似然函数 L 0 1 1 n i i n X 其他 10 i X 对数似然函数为 0ln 1 ln ln1lnln 1 1 n i i n i i X n d Ld XnL ， 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 7 解得的最大似然估计量为 1 1 ln n i i n X 。 15. 设 n XXX, 21 是取自总体 X 的一个样本，总体 X 服从参数为p的几何分布，即 , 3 , 2 , 1,1 1 xppxXP x ，其中p未知，10 p，求p的最大似然估计。 解：似然函数 nXn n i i pppL 1 1，对数似然函数： 0 1 ln 1lnlnln 1 1 p nX p n dp pLd pnXpnpL n i i n i i 解得p的最大似然估计量为 X p 1 。 16. 已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布 E，其中0未知，现在观测到 六个时间间隔数据（单位：s） ：1.8、3.2、4、8、4.5、2.5，试求该路口车辆经过的平均时间 间隔的矩估计值与最大似然估计值。 解：根据习题 11 的结果，的矩估计和最大似然估计量都为 X 1 ，故平均时间间隔的矩 估计和最大似然估计都为 1 ，即为X。 由样本观测值可算得 1 1.83.2484.52.54 6 X 。 17. 设 321 ,XXX为总体 2 ,XN 的样本，证明 11232123 111212 , 632555 XXXXXX 都是总体均值的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。 证明： 3211 2 1 3 1 6 1 XXXEE 123 111111 632632 E XE XE XE XE X ， 2123 123 212 555 212212 555555 EEXXX E XE XE XE XE X ， 所以 21 ,都是总体均值的无偏估计，又 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 8 236 321 1 XXX DD 2 123 11111177 369436941818 D XD XD XD XD X ， 2123 2 123 212 555 41499 2525252525 DDXXX D XD XD XD X ， 可见 12 DD，所以二个估计量中 2 更有效。 B 第五章第五章 中心极限定理：中心极限定理： 1. 某地进行的抽样调查结果显示，考生的外语成绩（百分制）近似的服从正态分布， 平均成绩为 72 分，96 分以上的占考生总数的 2.3%。试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分 之间的概率。 2. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标 准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多装 多少箱， 才能保证不超载的概率大于0.977（(2)0.977， 其中( ) z是标准正态分布函数） 。 解：设第i箱的重量为 i X，1,2,in， 1 n ni i YX 为n箱的重量，由题设知： ()50 i E X，()5 i D X，1,2,in，( )50E Yn，( )5D Yn 且随机变量 12 , n X XX相互独立且同分布，于是由独立且同分布中心极限定理， n Y近似服从正态分布(50 ,25 )Nnn，若要求 1 50000.977 n ni i P YX ， 即 1 500050 0.9775000 5 n ni i n P YX n ，于是应有 500050 2 5 n n ， 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 9 1000 10 2 n n ，从而有98.0199n，即最多可以装 98 箱。 3. 某仪器上的一个易损元件坏了， 现买回 80 个这种元件， 更换一个后， 其余作后备用， 以便再损坏时能够立即更换。已知买回的这批元件中每一个的使用寿命（以 h 计）都服从指 数分布(0.2)Z，试求这批元件使用的总时数能超过 500h 的概率。（ 2.240.9875 ） 解： i X表示第 i 个元件的寿命， i.i.d. (0.2) i XZ，1,2,.,80i ，则 5 i E X , 25 i D X ，故 80 1 i i XX 表示 80 个元件的总寿命，且 80 1 400 i i E XE X , 80 1 2000 i i D XD X ， 根据独立同分布中心极限定理，有 5 500400 5001500112.240.012 2000 P XP X 。 4. 从次品率为 0.05 的一批产品中随机地取 200 件产品，试求取出的产品中至少有 3 个 次品的概率。 解：设X表示取出的 200 件产品中的次品数的数学期望和方差为： ()200 0.0510E Xnp，()(1)200 0.05 (1 0.05)9.5D Xnpp， 由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理得： 3 100 10 31031()()1( 2.27)( 3.24)0.989 9.59.5 P XPX 。 5. 设某种电气元件不能承受超负荷试验的概率为 0.05现在对 100 个这样独立工作的 元件进行超负荷试验，以 X 表示不能承受试验而烧毁的元件数，请利用中心极限定理计算 )105( XP。 解：根据题意知，不能承受试验而烧毁的元件数 X),(pnB， 根据棣莫弗-拉普拉斯定理，X 近似服从正态分布),(npqnpN， 其中 n=100，p=0.05，q=0.95： 5 . 0-)29. 2()0()29. 2(29. 2 75. 4 5 0 75. 4 510 75. 4 5 0 105 105 X X npq np npq npX npq np X P PPP 6. 假设一条生产线生产的产品合格率是 0.8.要使一批产品的合格率达到在 76%与 84% 之间的概率不小于 90%，问这批产品至少要生产多少件？ 解：令 1, 0, 若第 个产品是合格品 其他情形. i i X 而至少要生产 n 件，则 i=1,2,n,且 X1，X2，Xn独立同分布，p=PXi=1=0.8.现 要求 n,使得 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 10 1 0.760.840.9. n i i X P n 即 1 0.8 0.760.80.840.8 0.9 0.8 0.20.8 0.20.8 0.2 n i i Xn nnnn P nnn 由中心极限定理得 0.840.80.760.8 0.9, 0.160.16 nnnn nn 整理得0.95, 10 n 查表1.645, 10 n n270.60, 故取 n=271。 第六第六章章 样本及抽样分布样本及抽样分布： 7. 设总体 2 (0,1 )XN， 从总体中取一个容量为 6 的样本 1 X， 2 X， 6 X， 设 1 (YX 22 23456 )()XXXXX，试确定常数C，使随机变量CY服从 2 分布。 解：因为 2 123 (0, 3 )XXXN，所以 2 123 (0,1 ) 3 XXX N 。 于是 22 123 ()(1) 3 XXX ，同理 22 456 ()(1) 3 XXX 。 由 2 分布的可知性，故 222 123456 1 ()()(2) 333 XXXXXX Y 可知 1 3 C 。 8. 设 总 体(0,4)XN， 12345 ,X XXXX是 来 自X的 简 单 随 机 样 本 。 记 12 222 345 XX ZC XXX ，试确定常数C，使Z服从t分布并确定自由度。 解： 12 12 0,80,1 8 XX XXNN 222 222 2 353534544 ,i.i.d.0,13 2222224 XXXXXXXXX N 12 12 222 222 345 345 33 8 3 22 /4 3 XX XX tC XXXXXX ，自由度为 3 9. 设 12 , n X XX(2)n为来自总体 2 (0,)N的简单随机样本，X为样本均值, 2 S 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 11 为样本方差，证明： 2 12 2 34 () () XX XX (1,1)F。 证明： 22 1234 3412 (0,2),(0,2) (0,1)(0,1) 22 XXNXXN XXXX NN ， 22 22 3412 3.4 (1)(1) 22 XXXX xx 由定理知 ， 所以 1234 XXXX与相互独立， 因此： 2 12 2 34 () () XX XX (1,1)F。 10. 从正态总体 2 (34,6 )XN中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间 (29,39)内的概率不小于0.95，试问样本容量至少应取多大？ 解：因为 2 (34,6 )XN，所以 2 (34,6 / )XNn，欲使 3934293455 0.952939 666/6/ nn PX nn ， 即 5 210.95 6 n ， 5 0.975 6 n ，5 1.96 6 n ， 2 6 1.96 5.536 5 n , 即样本容量至少应取6n。 11. 在天平上重复称一重为的物品， 假设各次称量结果相互独立且同时服从正态分布 2 ( ,0.2 )N。以 n X表示n次称量结果的算术平均值，则为使| 0.10.95 n PX，试求 n的最小值。 解：设第i次称量结果为 i X，1,2,in，由题设知， 12 , n X XX相互独立且同 时服从正态分布 2 ( ,0.2 )N，所以其算术平均值 2 0.2 ( ,) n XN n ，于是 |0.1 | 0.1 0.2/0.2/ n n X PXP nn 210.95 222 nnn 于是 0.975 2 n ， 查表得 1.96 2 n ， 即 2 (2 1 . 9 6 )1 5 ,3 6 6 4n， 所以n的最小值 16。 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 12 12. 设总体 X 服从)2 ,(a上的均匀分布(2a并已知)，设 4321 ,XXXX是取自这个总 体的一个样本，X为样本均值。求： （1） 2 3XY 的概率密度;（2）相关系数 31X X ;（3） )cov( 2 XX ，。 解： （1）X2和 X 同分布，故 其他0 2)2/(1 )( 2 xaa xfx 因为 yg(x)3x2，反函数 x2h(y)( , 3 yh y 3 1 ，3 (x) g 恒大于 0由公 式可知 Y的概率密度为 )2( 3 1 |3| 1 3 | )(|)()( a y fyhyhfyf XXY , 3ay6 同时，0)(yfY，y3a 或 y6 （2）由于独立性，则0 31 XX （3） 48 )2( 4 1 ),cov( 4 1 ),cov( 4 1 ),cov( 4 1 ),cov( 4 1 ) 4 1 cov()cov( 2 2 42322212 4 1 22 a DX XXXXXXXX XXXX i i ， 第七第七章章 点估计点估计： 13. 设总体X的密度函数为 1 ,0,( 0,0) 0, a ax x axe f xa x0. ，据来自总体X 的样本（ 1 X， 2 X， n X），试求未知参数的最大似然估计量。 解：最大似然函数为 1 1 1 1 ( , ) n a i i nx nna ni i f xxa ex ，取对数得： 1 11 lnlnln nn aa ii ii fnxx 1 ln 0 n a i i fn x 。 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 13 所以 1 n a i i n X 。 14. 设某种电子元件的寿命T服从参数的指数分布，今测得 10 个元件的失效时间为 1050，1100，1080，1200，1300，1250，1340，1060，1150，1150， 试求未知参数的最大似然估计值。 解：指数分布的密度函数为： 0 , 00 x ex f x x ， 作似然函数： 1 1 ( ) n i ii nx xn i Lee ，取对数得： 1 ln ( )ln n i i Lnx ， 令 1 ln ( ) 0 n i i dLn x d ，的极大似然估计值为 1 1 n i i n X X ， 由样本的观测值得： 10 1 11 (1050 1100 1080 1200 1300 1250 1340 1060 1150 1150) 1010 1168 i i xx 所以，的最大似然估计值为 1 0.00086 1168 。 15. 总体 X 的密度函数 cx cxxc xf 0 1 （0c为已知数） ，其中1 为未知参数， n XX, 1 为其样本，求的矩估计量。 解： 11 1 dd 1 c xcxxcxxxfEX ccc ， 故矩估计量 cX X 。 16. 设总体X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 2 2 (1) 2 1 2 其中 1 (0) 2 是未知参数，利用总体X的如下样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩估计值和最大似然估计值。 解： 22 ()01 2 (1)23 (1 2 )3 4E X ，则 1 ( 31303123 )2 8 x ， 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 14 令()E Xx，即3 42，解得的矩估计值为 1 4 ； 似然函数为： 624 ( )4(1) (1 2 )L，得： ln ( )ln46ln2ln(1)4ln(1 2 )L， 即： 2 ln ( )62862824 11 2(1)(1 2 ) dL d ， 令 ln ( ) 0 dL d ，解得 713 12 或 713 12 ， 因为 1 0 2 ，所以的最大似然估计值为： 713 12 。 17. 设 12 , n X XX是来自总体X的一个样本，X的概率密度为： 1 ( )2 0 x f x 其它 ， 其中(0)为未知参数。试求参数的矩估计量。 解：, 0XUEX， 2 222 1 11 23 n i i E XxdxX n ， 可以得到的矩估计量 2 1 3 n i i X n ； 另解： 2 2 2 2 1 21 123 n ni i DXSXX n ， 整理可得，的矩估计量 2 1 3 3= n ni i SXX n 。 18. 设 12 , n X XX是来自总体X的一个样本，X的概率密度为： 2 0 ( , ) 0 axax f x a 其它 ， 其中a是未知参数，若得样本值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，试求参数a的极大似然 估计值。 解：似然函数为 2 1 1 , 0 ; 0, n n n ii i i i axax L af x a 其他 ，0 i ax可以等 价表示为 12 0 n axxx，故a的极大似然估计量 1 a X，相应的估计值为 0.1a。 C 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 15 第五章第五章 中心极限定理：中心极限定理： 1. 抽样检查产品质量时，如果发现次品多于 10 个，则拒绝接受这批产品，设某批产品 的次品率为 10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接收该产品的概率达到 0.9？ 解：设n为至少应抽取的产品数，X为其中的次品数： 1, 0, k k X k 第 次检查时为次品 第 次抽查时为正品 则 1 n k k XX ，()0.1 k E X，()0.1(1 0.1)0.09 k D X。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有 0.1100.1100.1 101() 0.1 0.90.1 0.90.3 Xnnn P XP nnn 。 由题意 100.1 1()0.9 0.3 n n 100.1 ()0.1 0.3 n n ，查表得 100.1 1.282 0.3 n n 147n 。 第六第六章章 样本及抽样分布样本及抽样分布： 2. 在总体 12,4N中随机抽取一容量为 3 的样本 123 ,X XX。 试求： （1） 121PX ； （2） 123 max,15PX XX 。 解： （1）由于 4 12, 3 XN ，所以 12 1 121 4 34 3 X PXP 113 210.6156 24 34 3 ； （2） (3) 3 3 (3)123 12 max, 2 XX x XXXXFxFx ，所以 (3) 123 max,15115 X PX XXF 3 315 12 111.5 2 3 1 0.93320.1873 。 3. 在总体 2 (12,2 )XN中随机抽取一个容量为5的样本 125 ,X XX，其顺序统计量 为 (1)(2)(5) ,XXX，试求（1） (5) 15P X； （2） (1) 10P X。 解：因为 125 ,X XX是来自总体X的一个样本，而 2 (12,2 )XN，故 2 ( 12,2 ) i XN （15i ）， 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 16 （1） 5 5 (5) 15 15max1515(15) i i P XPXP XF 5 5 5 15 12 ()(1.5)0.93320.7077 2 ； （2） 5 5 (1) 15 10min10111011(10) i i P XPXP XF 5 5 5 1 01 2 11()1(1)10 . 8 4 1 30 . 5 7 8 5 2 。 第七第七章章 点估计点估计： 4. 设某种元件的使用寿命X的概率密度为 2() 2 ( ; ) 0 x ex f x x ，其中0 为未知参数，又设 12 , n x xx是X的一组样本观测值，试求（1）参数的最大似然估计 量 ； （2）求总体X的分布函数( )F x； （3）求统计量 的分布函数 ( ) F x ； （4）如果用 作为的估计量，讨论它是否具有无偏性。 解： （1）由X的概率密度函数，得似然函数 11 2()22 2() 11 ( )( ; )222(1,2, ) nn ii iii nnxxn xnn ii ii Lf xeeexin ， 取对数得： 1 ln ( )ln222(1,2, ) n ii i Lnxnxin ， 再对求导得： ln ( ) 20(1,2, ) i dL nxin d ， 即( )L是单调增加的，虽然越大则( )L越大，但必须满足条件 (1,2, ) i xin 所以当取为 12 , n x xx中最小值 (1) x时，( )L取得满足条件的最大值， 所以的 最大似然估计值为 (1)12 min , n xx xx。 （2）总体X的分布函数( )( ; ) x F xf tdt 当x时，( )( ; )0 x F xf tdt ； 当x时， 2()2() ( )( ; )21 xx tt F xf tdtedte ； 即得 2() 1 ( ) 0 x ex F x x ； 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 17 （3） 12 min, n X XX的分布函数 ( ) F x 为： 1212 ( )min, 1min, nn F xPxPX XXxPX XXx 12 1 1 1 n ni i P Xx P XxP XxP Xx 11 1111( )1 1( ) nn n i ii P XxF xF x 2 () 1 0 n x ex x ； （4）因为 12 min, n X XX的概率密度函数为 2() 2 ( )( ) 0 n x nex fxF x x 而 2 ()2 ()2 () 1 ( )2| 2 n xn xn x Exnedxxeedx n ， 所以 12 min, n X XX不是的无偏估计。 5. 设总体X服从伽玛分布，其概率密度函数为： 1 0 ( ; , ) ( ) 00 x xex f x x （ 0 1 )(dxex x ）， 其中是已知正实数， 参数(0)未知， 若 12 , n X XX是来自该总体的一个容量为n 的样本，试求参数的极大似然估计量，且问其