2018-2019学年高中数学专题08幂函数庖丁解题新人教A版.docx

专题08 幂函数考点47幂函数考点48幂函数的定义域与值域考点49幂函数的性质考点50幂函数的图象考点51幂函数的综合题考点52对数函数、指数函数与幂函数考点47 幂函数幂函数：一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数【注意】（1）只有形如（其中为任意实数，x为自变量）的函数才是幂函数，否则就不是幂函数（2）判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为（为常数）的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：指数为常数，底数为自变量，底数系数为1形如，形式的函数都不是幂函数反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式【例】如果幂函数y=（m23m+3）的图象不过原点，则m的取值是【答案】1或2【解析】由题意知，m23m+3=1，即m23m+2=0，故m=1或m=2经检验m=1或m=2均符合题意，即m=1或2【易错易混】读题要注意到是：不过原点，且要对所求m进行检验1已知函数为幂函数，则A或2B或1CD1【答案】C【解析】因为幂函数，所以，所以，又，所以【易错易混】解题时注意对a的验证，舍去不符合题意的数值2在函数y，y2x3，yx21，y（x1）3中，幂函数的个数为A1B2C3D4【答案】A【易错易混】幂函数中底数是自变量，指数是常数，而指数函数中底数是常数，指数是自变量3如果幂函数的图象经过点，则的值等于AB2CD16【答案】A【解析】幂函数的图象经过点，解得，故4已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为ABC2D2【答案】A【解析】设f（x）=x，因为f（3）=，即3=，故=，所以f（x）=，故f（2）=，所以log4f（2）=log4=5已知幂函数f（x）kx（kR，R）的图象过点，则kAB1CD2【答案】A【解析】幂函数f（x）kx（kR，R）的图象过点，k1，f，即，k6已知函数f（x）（m22m）x，求m为何值时，f（x）是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数（4）若f（x）为幂函数，则m22m1，解得m11在函数y，yx2，y2x，y1，y2x2，yx中，是幂函数的是ABCD【答案】C2幂函数的图像经过点（2，4），则等于A2B8C16D64【答案】C【解析】设出幂函数的解析式，利用已知条件求解解析式，然后求解结果幂函数为，幂函数f（x）的图象经过点（2，4），3若函数f（x）是幂函数，且满足3，则f的值为_【答案】【解析】由题意可设f（x）x，则由3，得3，即23，所以log23，则f（x）x，所以f22314已知函数f（x）=（m2+2m），m为何值时，f（x）是（1）正比例函数（2）反比例函数（3）幂函数【答案】（1）1；（2）1；（3）1【解析】（1）当m2+m1=1，且m2+2m0，即m=1时，f（x）是正比例函数（2）当m2+m1=1，且m2+2m0，即m=1时，f（x）是反比例函数（3）当m2+2m=1，即m=1时，f（x）是幂函数路基沉降与幂函数我国黄土的分布面积非常广，在黄土地区修建铁路时，作为路基的黄土，遇水或含水量增高时，会产生较大的变形，导致路基沉降，以致铁路轨道表面不平顺，降低乘客的舒适度，严重时可造成行车事故所以应对路基沉降量做出预测幂函数在预测中起到非常关键的作用沉降量S随时间t的变化计算公式：其中S表示最终沉积量，显然与幂函数有密切联系考点48 幂函数的定义域与值域幂函数的定义域与值域幂函数yxyx2yx3yyx1定义域RRR值域【例】若幂函数f（x）的图象经过点，则其定义域为Ax|xR，且x0Bx|xR，且x0Cx|xR，且x0DR【易错易混】求定义域，答案一定要写成集合或区间的形式1下列函数中，定义域为R的函数是AyByCyDyx3【答案】C【解析】y，定义域是0，）；y，定义域是xR|x0；y，定义域为R；yx3，定义域是xR|x0故选C【解题技巧】幂函数的定义域要根据解析式来确定要使解析式有意义，一般需考虑：分母不能为0；偶次根号下必须为非负实数；0的零次方没有意义；奇次根号下不作限制2函数y=在区间4，64上的最大值为ABC2D8【答案】A【解析】因为y=在4，64上是减函数，所以y=在区间4，64上的最大值为3下列函数中，其定义域和值域不同的函数是AyByCyDy4使（32xx2）有意义，x的取值范围是ARBx1且x3C3x1Dx1【答案】C【解析】（32xx2）要使上式有意义，需32xx20解之得3x1【易错易混】不仅要32xx20，还要考虑到分母不为零5设1,1，3，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有的值为A1,3B1,1C1,3D1,1,3【答案】A【解析】当1时，yx1，定义域不是R；当1,3时，满足题意；当时，定义域为0，）6已知幂函数f（x）的图象过点（25,5）（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）f（2lgx），求g（x）的定义域、值域1函数y（m1）x为幂函数，则该函数为_（填序号）奇函数；偶函数；增函数；减函数【答案】【解析】由y（m1）x为幂函数，得m11，即m2，则该函数为yx2，故该函数为偶函数，在（，0）上是减函数，在（0，）上是增函数2为了保证信息的安全传输，有一种为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文（加密），接收方由密文到明文（解密）现在加密密钥为yx（为常数），如“4”通过加密后得到密文“2”若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是_【答案】9【解析】由题目可知加密密钥yx（是常数）是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出的值由题意得24，解得，则yx由x3，得x93函数f（x）=x+1，若f（x）在区间a，b（0a0对任意xR恒成立得解得k1k的取值范围（1，）电流与导线半径在固定电压差（电压差为常数）下，当电流通过圆柱体电线时，其强度I与电线半径r的三次方成正比其函数解析式为（k为常数）显然这与一个特殊的幂函数三次函数有密切联系比如，当半径为4毫米，电流为320安，则k=5就是这种金属材料的一个固有属性，据此可以计算，当制造出其他半径的电线时，可以计算出相同电压下电流的大小幂函数与生活密切联系，你还能发现其他方面的吗？考点49 幂函数的性质幂函数的性质幂函数yxyx2yx3yyx1奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x增x减增增x减x减公共点（1,1）【例】已知幂函数f（x）x（mZ）为偶函数，且在区间（0，）上是增函数，则函数f（x）的解析式为_【答案】f（x）x4【解题技巧】根据幂函数在区间（0，+）为增函数可得幂指数大于0，再根据偶函数可得幂指数为偶数，从而可求出m，即可得到函数f（x）的解析式1下列命题：幂函数的图象都经过点和点；幂函数的图象不可能是一条直线；时，函数的图象是一条直线；幂函数，当时是增函数；幂函数，当时，在第一象限内函数值随值的增大而减小幂函数的图象不可能在第四象限；其中正确的是ABCD【答案】B【技巧方法】解决这类问题，可采用特值法、排除法等根据幂函数的性质逐个判断即可2幂函数yxn的图象一定经过（0，0），（1，1），（1，1），（1，1）中的A一点B两点C三点D四点【答案】A【解析】当n0时，一定过（1，1）点，当n0时，幂函数在（0，）上单调递增；当0时，幂函数在（0，）上单调递减4当时，幂函数为减函数，则实数Am=2Bm=1Cm=2或m=1D【答案】A【解析】幂函数，当时，若，为增函数；当时，为减函数由题知且，解得5已知点在幂函数的图象上，则是A奇函数B偶函数C定义域内的减函数D定义域内的增函数【答案】A【解析】设，由已知得，所以该函数为奇函数1幂函数yx是A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数【答案】B【解析】由偶函数定义易知函数yx是偶函数2已知a2，b3，c25，则AbacBabcCbcaDcab【答案】A【解析】a2，b3，c25，所以bac3若f（x），则满足f（x）0的x的取值范围是A（1，）B（0，1）C（1，0）D（，1）【答案】B【解析】令y1x，y2，f（x）0即为y1y2，函数y1x，y2的图象如图所示，由图象知：当0x1时，y1y2，所以满足f（x）0的x的取值范围是（0，1）4已知幂函数f（x）x（mN*）的图象关于y轴对称，且在（0，）上是减函数，求满足（a1）（32a）的a的取值范围【答案】吃瓜夏天，大家都喜欢吃西瓜，而西瓜的价格往往与西瓜的重量相关某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤04元；6斤以上9斤以下，每斤05元；9斤以上，每斤06元此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我的钱当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱同学们，你知道顾客是怎么晓得店主坑人的吗?其实这样的数学问题在我们身边有很多，只要你注意观察、积累，并学以致用，就能成为一个聪明人，因为数学可以使人聪明起来考点50 幂函数的图象幂函数的图象幂函数yxyx2yx3yyx1图象【例】如图，C1，C2分别是幂函数yxm，yxn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是Anm0Bmnm0Dmn0【答案】A【解析】由幂函数的图象特征可知，m，n均小于0，又取x2，则2m2n，mn，即nm01函数y的图象是【答案】B【解析】显然代数表达式“（x）（x）”，说明函数是奇函数同时由当0xx，当x1时，1时，幂函数和一次函数在其定义域上均为增函数，当a0时，幂函数和一次函数在其定义域上均为减函数5幂函数及直线，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“部分”：，（如图所示），那么幂函数的图象经过的“部分”是ABCD【答案】D【解析】对于幂函数，当时；当时，故选D【方法技巧】对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx分区域根据0，01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定6点（，2）与点分别在幂函数f（x）、g（x）的图象上，问当x为何值时，有f（x）g（x）；f（x）g（x）；f（x）g（x）；当x1时，f（x）g（x）；当x（0,1）时，f（x）n21，n3n4n21，n4n31n20n4n3Dn11n20n3n4【答案】D【解析】直接根据幂函数的单调性得到结果，也可过（1,1）点作垂直于x轴的直线，在该直线的右侧，自上而下幂函数的指数依次减小4点（，2）与点分别在幂函数f（x），g（x）的图象上，问：当x为何值时，有：f（x）g（x）？f（x）g（x）？f（x）0且a1）即为幂函数，其系数为1，这是幂函数的一个重要特征解答本题，求出m值后，易忽略对m取值的检验，从而产生增解1函数的图象大致是A B C D【答案】A【解析】因为，时，所以排除B，C；当时，所以选A2幂函数f（x）x满足x1时f（x）1，则满足的条件是A1B00D0且1【答案】C【解析】因为x1时x11，所以yx单调递增，故0【易错易混】将1转化为1，借助其单调性进行比较3已知幂函数的部分对应值如下表：x1f（x）1则不等式的解集是Ax|4x4Bx|0x4Cx|xDx|0x4若（a1）（32a），则a的取值范围是A（，）B（，）C（，2）D（，）【答案】B【解析】令f（x），f（x）的定义域是（0，），且在（0，）上是减函数，故原不等式等价于，解得a【思路归纳】比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同（1）若底数相同，则利用指数函数的性质比较大小；（2）若指数相同，则利用幂函数的性质比较大小；（3）若底数、指数均不同，则考虑用中间值法5已知幂函数yxm22m3（mN*）的图象与x轴，y轴无交点，且关于原点对称，则m的值为_【答案】26已知幂函数yx（mN）的图象关于y轴对称，且在（0，）上是减函数，求满足（a1）3m（3a2）3的a的取值范围【解析】函数在（0，）上单调递减，m22m30，解得1m3mN，m1,2又函数图象关于y轴对称，m22m3是偶数又222233为奇数，122134为偶数，m1原不等式等价于（a1）3（3a2）3又yx3在（，）上是增函数，a13，a，故a的取值范围是a1设a=，b=，c=，则AabcBcabCbcaDba，又因为y=是减函数，故ab2幂函数f（x）x3m5（mN）在（0，）上是减函数，且f（x）f（x），则m可能等于A0B1C2D3【答案】B3已知幂函数yx（mN*）的图象与x轴、y轴均无交点，且关于原点对称，则m_【答案】2【解析】幂函数yx（mN*）的图象与x轴、y轴均无交点，且关于原点对称，m22m30，且m22m3为奇数，即1mf（a1）的实数a的取值范围【答案】（1）0，），增函数；（2）1，【解析】（1）m2mm（m1），mN*，m与m1中必定有一个为偶数，m2m为偶数，函数f（x）x（mN*）的定义域为0，），并且该函数在其定义域上为增函数对称美对称美是形式美的美学法则之一，人的形体是对称的，鹰、猛虎、雄狮、孔雀、金鱼、知了、蝴蝶等无一不表现出对称的形态形态的对称能给人以健康的美感，若不对称则给人以不愉快的印象，对称美源于自然亦道法自然 考点52 对数函数、指数函数与幂函数1三种函数模型的性质yax（a1）ylogax（a1）yxn（n0）在（0，）上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随n值而不同2三种函数模型的增长速度比较（1）对于指数函数yax（a1）和幂函数yxn（n0）在区间（0，）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn（2）对于对数函数ylogax（a1）和幂函数yxn（n0），在区间（0，）上，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logax1），ylogax（a1）和yxn（n0）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，yax（a1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn（n0）的增长速度，而ylogax（a1）的增长速度则会越来越慢3某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为02万公顷、04万公顷和076万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x（年）的函数关系较为近似的是Ay=02xBy=110（x2+2x）Cy=2x10Dy=02+log16x【答案】C【解析】将x=1,2,3，y=02,04,076分别代入验算【方法总结】当函数模型不好确定的时候，一一验证是否吻合，即可得到答案4某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则AabBabCabD无法判断【答案】A【解析】ba（110%）（110%）a（1）ba，b1）的函数关系分别是f1（x）x2，f2（x）4x，f3（x）log2x，f4（x）2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是Af1（x）x2Bf2（x）4xCf3（x）log2xDf4（x）2x【答案】D1某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长