平面介质光波导和耦合模理论.ppt

浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,1,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,浙江大学光电系：时尧成 /yaocheng,浙江大学光电信息工程学系 集成光电子器件及设计,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,2,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,平面介质光波导（光波导理论） 光波导的结构；平板光波导，条形光波导， 阶跃折射率光波导， 渐变折射率光波导； 模式，导模，基底模，辐射模，传播常数； 平板光波导中的TE模和TM模； 条形光波导中的 模和 模； 耦合模理论 模式耦合，平行耦合，反向耦合的概念； 平面介质光波导的耦合模微扰理论； 导模之间的耦合，导模与辐射模之间的耦合； 定向耦合器和分支Y波导；,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,3,2.1 平面介质光波导,2.1.1 平面介质光波导概述 什么是集成光学？ 平面光波导概述 2.1.2 平板光波导的分析方法 射线光学法 波动方程法 2.1.3 条形光波导的分析方法 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法,目前，“集成光学”的概念涵盖广泛的内容。,1969年美国贝尔实验室的Miller博士,（1）光束能限制在光波导中传播； （2）利用光波导可以制成各种光波导器件； （3）将光波导和光波导器件集成起来可构成有特定功能的集成光路,美国华裔科学家田柄耕假借集成电路的概念，对集成光学归纳了三条定义：,概念的提出,什么是集成光学？,从四个方面理解集成光学的概念：,集成光学的分类,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,7,个数集成,功能集成,电子学的发展过程：从真空管器件的真空电子学以晶体管为基础的固体电子学以集成电路为标志的集成电子学。 光子学也将有类似的发展过程：多元化的各种类型的激光器、光电探测器，并将向以微纳光子器件及光子集成器件为标志的集成光学的方向发展。,集成电子学和集成光学,8,集成光学正经历着于集成电子学同样的发证轨迹： 更小的单个器件。 更紧密的集成。 更低成本的加工工艺。 ,IBM CELL 2005,transistor radio 1954,集成电子学和集成光学,9,但是,集成电路（Electronic Integrated Circuits）。 1958年发明 60年代：导弹制导芯片，小规模集成电路 70年代：计算器，中大规模集成电路 集成光路（Photonic Integrated Circuits）。 1969年发明 1995左右：商用AWG波分复用器,10年,25年,为什么？,10,摩尔定律,1965年，intel公司的G. Moore提出：CMOS芯片单位面积的三极管数量每24个月翻一倍。,11,光子学摩尔定律,12,Laser Photonics Rev. 6, No. 1, 113 (2012),摩尔定律,13,集成电子学 单一材料：硅 （并且他的氧化物SiO2是绝好的绝缘体） 单一平台：CMOS 单一基本元器件：三极管 统一的ITRS路线图 （由几家大的国际企业定制） 尺寸：10nm 几个m,集成光学 许多不同种类且不兼容的材料： GaAs, InP, 聚合物, LiNbO3 ,. 许多不同的制作工艺配方。 许多基本元器件：激光器，探测器、调制器、滤波器 . 不同公司单独推行自己的解决方案。 尺寸：几个m 几个 cm,IBM Cell Processor,集成电子学 vs 集成光学,14,集成光学国际研究进展理论、器件,器件研究,极具前景的研究方向,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,17,集成光学的基本单元：平面光波导,（1）光束能限制在光波导中传播； （2）利用光波导可以制成各种光波导器件； （3）将光波导和光波导器件集成起来可构成有特定功能的集成光路 核心：平面光波导,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,18,平面介质光波导的发展历史：光纤的雏形,1953年，英国伦敦学院卡帕尼博士将此用于实际，发明了玻 璃光导纤维：芯层+包层 (n芯层n包层) 光纤,1870年，英国物理学家丁达尔 太阳光随着水流发生弯曲,n水 n空气，光发生全反射,光纤的发展,2019/5/26,19,“Father of Fiber Optic Communications“Charles Kuen Kao,K. C. Kao, G. A. Hockham (1966), “Dielectric-fibre surface waveguides for optical frequencies”, Proc. IEEE 113 (7): 11511158.,2009 Nobel Prize winner “for groundbreaking achievements concerning the transmission of light in fibers for optical communication”,光纤的发展,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,20,1966年，高锟和霍克哈姆发表的用于光频的光纤表面波导奠定了现代光通信的基础。高锟被尊为光纤之父。 1970年，美国康宁公司制出对0.6328m波长的损耗为20dB/km的石英光纤，从此介质波导在光纤通信、传感等领域得到了广泛的应用。 之后爆炸性发展，从光纤损耗看 1970年，20dB/km 1972年，4dB/km 1974年，1.1dB/km 1976年，0.5dB/km 1979年，0.2dB/km 1990年，0.14dB/km,接近石英光纤的理论损耗 0.1 dB/km,短短几十年之内，全世界铺设的光纤总长度已超过10亿公里，足以绕地球赤道2.5万次,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,21,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,22,平面光波导型器件,优点: 低成本, 小尺寸, 高稳定性, 适合于大批量生产,抗电磁干扰，同时光制作工艺与集成电路工艺相兼容，可以方便与其它光电子集成器件集成于一个衬底上，实现单片集成等等,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,23,平面光波导型器件,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,24,在波导的包层中仍然存在光波的传输（倏逝波），但由于波导的限制作用，光束不会像在自由空间中那样发散,光波的传输,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,25,平板波导,条形（矩形）波导,nhigh,nlow,nlow,nhigh,nlow,脊形波导,nhigh,nlow,nlow,1-d 光限制,2-d 光限制,cladding,cladding,core,core,cladding,阶跃折射率光纤,渐变折射率 (GRIN) 光纤,core,cladding,平面光波导的分类,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,26,光纤的折射率分布,单模光纤(Single-mode Fiber)：一般光纤跳纤用黄色表示，接头和保护套为蓝色；传输距离较长。 多模光纤(Multi-mode Fiber)：一般光纤跳纤用橙色表示，也有的用灰色表示，接头和保护套用米色或者黑色；传输距离较短。,50/125m 62.5/125m,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,27,光波导折射率分布,折射率突变型（阶跃型） SiO2，SOI， InP， Polymer,渐变折射率波导,渐变折射率光波导 Ti扩散LiNbO3波导，K+离子交换玻璃波导,2019/5/26,28,渐变折射率波导,其中n0为基片折射率，n为扩散引起的最大折射率变化，w为扩散源的横向宽度，hx、hy分别为横向、高度方向的扩散深度,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,29,首先在铌酸锂基体上用蒸发沉积或溅射沉积的方法镀上钛膜，然后进行光刻，形成所需要的光波导图形，再进行扩散。可以采用外扩散、内扩散、质子交换和离子注入等方法来实现。,其中,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,30,光波导材料,Si substrate,Core-SiO2:Ge,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,31,2.1 平面介质光波导,2.1.1 平面介质光波导概述 2.1.2 平板光波导的分析方法 射线光学法 波动方程法 2.1.3 条形光波导的分析方法 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,32,平板光波导,平板波导通常由三层介质组成 导波层：中间层，介质折射率n1最大 覆盖层：上包层，折射率n3 n1 衬底层: 下包层，折射率n2 n1 n2=n3，称为对称型平板波导。反之，称为非对称型平板波导,覆盖层,导波层,衬底层,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,33,平板光波导分析方法,射线光学方法（几何光学） 射线理论分析法简单、直观、物理概念清晰，并能得到一些光在光波导中的基本传输特性。 波动方程方法（麦氏方程+边界条件） 要描述波导中的模场分布，则需用严格的电磁场理论来分析,基本概念回忆：内反射,光在玻璃里入射到与空气交接的界面上,将发生什么?,air,glass,一个小的模拟程序（Snell定律）,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,36,全内反射,全内反射(Total Internal Reflection, TIR)-光波导的物理基础 全反射临界角(critical angle),R1,|R|=1,平面波导射线分析,光线只有全反射才能在波导里稳定传输,波导的数值孔径,如果将光耦合进入波导稳定传输，那么在空气中的入射角应满足什么条件,最大入射角, 可以从Snells定律求得,数值孔径:,波导的数值孔径,光要想耦合进入波导稳定传输，入射角必须小于某个值0，但是否只要小于该角度就能稳定传输呢？,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,40,平板波导的色散方程,式中m 是整数，代表不同的模式, 真空中波矢,要维持光波在导波层内传播，必须使光波在导波层上、下界面之间往返一次的总相移为2的整数倍。上、下截面全发射相移分别为f13、 f12 ，则可得到平板波导的模方程：,只有满足这个条件（本征方程）的光才可能稳定传输。每个m取值代表本征方程的一个解。,思考：该方程中各字母的物理意义,是相位 的单位,1、2界面反射时产生的相位,1、3界面反射时产生的相位,光波前进过程中的相位变化,思考：光在1、2和1、3表面全反射时分别产生了一个附加相位，为什么？,思考：全反射时发生的相位变化大小怎么求？,只要想到反射折射的大小变化，首先想到菲涅尔公式,全反射相移,当全反射发生时,根号为虚数，因此此时的反射系数为一复数,全反射相移,思考：全反射时的相位变化究竟怎么产生的？,思考：光在传输过程里如何产生相位变化？,相位不存在突变之说，相位的产生途径只有一个，即传输一段距离，即相位变化源自于,思考：从以上分析可以得到什么必然结论？,全反射时，光不是于入射点终止，而是 前进了一段又回来了,古斯汉森(Goos-Hanchen)位移,在全反射发生时，实际入射光会部分进入光疏介质，形式上相当于反射点相对入射点有个偏移距离,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,47,平板波导的本征方程,对于TE波，全反射相移为,对于TM波，全反射相移为,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,48,设平面波在折射率为n1的介质中的波矢量为k1,k1x = n1k0cosi,式中k0为平面波在真空中的波矢的大小,k1z = n1k0sini,k1 在x方向和z方向的分量分别为：,定义传播常数：=n1k0sini=k1z 定义有效折射率neff: neff= /k0= n1sini,传播常数、模式,导波存在条件： k2 k1,n2 neff n1,每个m对应一个i，对应一个,光波导的模式,光线在上、下两个界面的全反射临界角分别为: c13=arcsin(n3/n1) c12=arcsin(n2/n1),49,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,50,2.1 平面介质光波导,2.1.1 平面介质光波导概述 2.1.2 平板光波导的分析方法 射线光学法 波动方程法 2.1.3 条形光波导的分析方法 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,51,麦克斯韦方程,从麦克斯韦方程，建立光波在介质波导中的电磁场分布方程（波动方程），结合边界条件导出传播模式的特征方程，进而讨论介质波导中光传播的特性。,时谐电磁场的麦克斯韦方程组,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,52,波动方程,将矢量各分量展开，得,并且考虑到y方向是均匀的，即,设波沿着z方向传播，则沿z方向场的变化可用一个传输因子exp(-iz)来表示,TE模(横电模),TM模(横磁模),浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,53,波动方程（TE模）,波动方程的解,上式为波动方程，也叫做Helmholtz方程，其通解可表示为：,其中 ，通常称为横向波矢。a1, a2, j 为待定系数。,54,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,55,波动方程的解（场分布）,根据物理意义可以预见在导波层内是驻波解，可用余弦函数表示，而在覆盖层、衬底层中是倏逝波，应是衰减解，用指数函数表示。,导模存在条件：kx、a3、a2均应为实数，故须满足,与射线法结果一致,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,56,边界条件,边界条件为：边界处切向Ey分量连续，切向分量Hz也连续，由 知 连续,(1) x= -a处，,(2) x=a处，,TE模,关于的函数,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,57,TE模的特征方程：,与射线法得到结果的一致：,TM模的特征方程：,特征方程（本征值方程）,关于的函数,特征方程,考虑对称波导的情况,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,58,(1),(2),图解法求解特征方程,模式的阶数：m m越大，kx越大，b越小。,59,图解法求解特征方程,模式数量,向下取整,60,图解法求解特征方程,0阶模总是存在,1阶模存在条件:,2阶模存在条件:,61,图解法求解特征方程,单模条件,62,截止波长,对于对称平板波导，TE0和TM0的截止波长均为无限长,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,63,辐射模条件,截止波长,特征方程与色散曲线,特征方程中有4个参数（n1,n2,a,），改变任何一个结构参数都要对方程重新求解，不利于应用。为此作归一化处理。 传播常数范围： 归一化传播常数： 波导参数V：,用b和V 表示的特征方程：,（m = 0,1,2,-）,色散曲线： 波导参数一旦确定，对应模的数量就确定； m=0模的传播常数最大，随着m的增大，传播常数减小； 特征方程表示的是TE波（ S波），习惯用模的阶数作为偏振光的下标，如TE0模，如TE1模等。,当给定V值后，波导中可能存在的导波模数量就确定了； b=0称为截止，从图中可见，TE1模的截止V值等于/2，如果V值小于/2，则只有一个模，称其为单模区； V值大于TE1模的截止V值，称其为多模区； TM波的导波参数V与TE波稍有不同，如果相对折射率不到1%，则同阶模的V值可认为相同。,色散曲线,均匀空间平面波的色散曲线：,三层对称平板波导色散曲线：,（一条直线）,67,平板波导模式分布,将特征方程的解，代入上式，并确定各个系数，求得Ey。而后根据右式，确定其余场分量。,68,平板波导模式分布,69,场在覆盖层和衬底中是按指数函数衰减的，衰减的快慢分别由衰减系数a2和a3确定。,平板波导模式分布,a2和a3的值大，则场衰减快，穿透深度1/ a2和1/ a3就浅，说明场主要束缚在导波层中。反之， a2和a3的值小，则场衰减慢，穿透深度就深，说明波导束缚场的能力差。,a2和a3的大小与覆盖层、衬底的折射率有关，同时还与模序数m密切相关。由模式本征方程可以导出，m越大，则越小， a2和a3也越小。这表明高阶模的电磁场可延伸到导波层外的距离较远。,70,从量子力学的角度来看平板波导对光的束缚,Helmholtz equation:,x,n,ncore,nclad,ncore,nclad,nclad,Schrdinger equation:,?,E1,E2,E3,离散能级 (能态) 势阱越深将支持更多的能级,离散的传播常数值 波导越宽折射率差越大，可容纳的模数就越多,求传播常数的顺序,72,特征模的展开,任意电场分布的光波入射如何转变成特征模？ 处理方法：将任意电场分布展开，分解成不同特征模的电磁场分布。 数学上用正交函数展开，如傅立叶级数等，称之为特征模展开； 各导波模以相应阶数模的传播常数传播； 随着光的传播，不同模之间的相位差将发生变化，导致导波模叠加以后的电磁场分布也随着传播过程而变化，光束像蛇一样反复蠕动前进。,光波导中的各种损失,在单模波导中导波模只有基模，其余展开分量全部转变成耦合损失，所以为减小耦合损失，应尽量使入射光束的形状与波导基模的形状相同。,渐变折射率波导,在扩散性波导中，折射率分布多为渐变式：,对称型渐变折射率波导,75,渐变折射率波导中光的传播,光纤向折射率高的方向偏折,76,渐变折射率波导的应用,渐变折射率波导中的光纤传输呈周期性聚焦：,若长度取1/4周期，则输出为平行光：,中间可插入波片、偏振片、滤波片，方便进行光信号处理。,P,77,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,78,2.1 平面介质光波导,2.1.1 平面介质光波导概述 2.1.2 平板光波导的分析方法 射线光学法 波动方程法 2.1.3 条形光波导的分析方法 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,79,条形光波导的分析方法,光在平板波导中传播时，在无约束的方向上发散。为了避免这种情况，在集成光学中通常采用条形波导。和平板波导相比，条形波导的分析要复杂得多。通常采用近似的方法对此进行分析。 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法 （有限差分，有限元）,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,80,马卡梯里法(Marcaili),由于导波模的大部分能量集中在波导芯层内传输，而在波层中的能量很少，图中阴影部分的能量就更少。马卡梯里(Marcaili)方法的近似处理是忽略图中的四个阴影区域，只考虑图中五个区域。,矩形光波导的近似分析,严格分析，必须将空间区域分为9块，每块中有6个场矢量的分量，同时必须在12个界面满足边界条件。,Marcaili近似分析,以Ex、Hy为主的模,以Ey、Hx为主的模,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,81,从波动方程 出发，且,的Hx分量为0,假设场分布E(x, y)可以表示成如下分离变量的形式,将上式分裂成如下两个方程，即：,分立变量法,其中：,对以上两个方程分开求解，然后再合并。,82,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,83,波动方程的解,其中,为z方向传播常数 kx,ky为x,y方向传播常数,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,84,特征方程,根据,处,和,连续的条件 ， 可以得到,根据,处,和,连续的条件 ， 可以得到,用数值方法可获得(kx, ky), 之后再求出模斑分布,可以用类似的方法得到,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,85,矩形波导的模场分布,(a) m=1, n=1 (b) m=2, n=1; (c) m=1, n=2;,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,86,2.1 平面介质光波导,2.1.1 平面介质光波导概述 2.1.2 平板光波导的分析方法 射线光学法 波动方程法 2.1.3 条形光波导的分析方法 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,87,假设场分布E(x, y)可以表示成如下分离变量的形式,将上式分裂成如下两个方程，即,其中neff(x)即为等效折射率分布，可由平板波导本征方程解得(同时可得Y(y)，即可得到一个等效的平板波导，由此很容易得到本征值和相应的本征向量X(x),等效折射率法,等效折射率法,(1) 将三维波导分解成平板波导的组合(如图 所示)； (2) 对每个平板波导，沿着y方向根据平板波导本征方程求解neff(x)(图示neff2，neff3)； (3)根据步骤(2)中得到的neff2，neff3，得到沿着x方向的折射率分布(二维平板波导)； (4)对x方向的平板波导再解一次平板波导本征方程，可以得到传播常数。 在整个求解过程中，需要注意的是，若求解TE模Ex，则在求neff(x)时，应取TE模，而在求时，应取TM模；求解TM模Ey，则在求neff(x)时，应取TM模，而在求时，应取TE模；,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,88,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,89,2.1 平面介质光波导,2.1.1 平面介质光波导概述 2.1.2 平板光波导的分析方法 射线光学法 波动方程法 2.1.3 条形光波导的分析方法 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法,数值解法,解析解比较困难，近似会存在比较大的误差；数值方法被应用到光波导模式解中 线方法(the Method of Lines, MoL) 矩方法(the Method of Moments, MoM) 有限差分方法(the Finite Difference Method, FDM 边界元方法(the Boundary Element Method, BEM 有限元方法(the Finite Element Method, FEM),浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,90,有限差分方法,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,91,折射率n是位置(x, y)的函数，因此不能消去,由麦克斯韦尔方程得到 全矢量波动方程（无近似）：,有限差分方法,设光波沿着z方向传播，则沿z方向场的变化可用一个传输因子exp(-iz)来表示，即 对于FDM，考虑的是某个波导截面的场分布，从而有 ， 如果两个分量之间的耦合很弱以致可以忽略(这对很多光波导器件来说都是满足的)，就可以考虑半矢量的情形，即忽略耦合项Pxy,Pyx, 可以得到,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,92,TE,TM,有限差分方法,五点差分，可以将方程进行差分离散化,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,93,微分变为差分：,有限差分方法,94,边界条件：数值计算所模拟的空间不能无限大！,完纯导体边界 边界处电场或磁场设为0 任何达到该边界的电磁场将被反射 完美匹配层边界(PML) 任何达到该边界的电磁场将被吸收 用于模拟无限大的空间,计算空间的边界,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,95,SiO2波导的模场,几种折射率差的SiO2波导,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,96,*单模光纤：2a=8.9m，=0.27% (加了折射率匹配油). *对于=1.55m，90度弯曲波导的损耗小于0.1dB.,弯曲波导,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,97,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,98,InP波导的模场,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,99,硅纳米波导,TM模场分布,TE模场分布,浙江大学光电系,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,100,LiNbO3波导,TE模场分布,TM模场分布,光束传输法(Beam Propagation Method),光束传输法(BPM)简单方便、计算速度快、准确性高，因此，现在的光波导数值分析中，BPM是应用广泛的一种方法。 BPM广泛应用于光波导器件的模拟，如Y分支，MMI光功分器等。BPM发展至今，已经有快速傅立叶方法(Fast Fourier Transfer ,FFT-BPM)、有限差分(Finite Difference ,FD-BPM)和有限元光束传输法(Finite Element Method，FEM-BPM)等。,Beam Propagation Method (BPM),有限差分光束传输法(FD-BPM)是由Yevick.D等人于1989年提出的。 FDBPM的简要过程为：波导横截面被分成很多方格，在每一个格内的场用差分方程来表示，然后加入边界条件，就可得到整个横截面的场分布,输入初始场，通过不断叠代，最后可得到整个波导中的场分布。 这种方法已被成功的应用于于光波导器件的模拟，如Y型波导及S型弯曲波导中,MMI光功分器,定向耦合器等。,2019/5/26,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,102,Beam Propagation Method (BPM),2019/5/26,第二章 平面介质光波导和耦合模理论,103,在傍轴近似的条件下，可以假设 远小于 ，则 这一项被忽略，从而可以得到：,TE:,TM:,波动方程,Beam Propagation Method (BPM),在FDBPM中，考虑横截面(x,y)的